重视思维参与提高复习课的有效性
——高三复习课问题透视与应对策略

☉江苏省无锡市惠山区教育局教研室 叶亚美

重视思维参与提高复习课的有效性
——高三复习课问题透视与应对策略

☉江苏省无锡市惠山区教育局教研室 叶亚美

复习课，作为高三教学的一种常态课型，广大高三教师最为关注的是其有效性.然而，仔细审视高三课堂，不难发现，由于忽视学生的思维参与而导致的低效及无效的现象仍不时出现，下面就调研中发现的复习课中存在的一些普遍问题，谈一谈笔者的思考与建议，以期对提高高三复习课的有效性有所启示.

一、存在的问题

1.知识回顾欠主动

许多老师的复习模式是先将本节课所要复习的知识点罗列一下，然后让学生利用这些知识点解决相应的问题.在一些数学学习能力相对薄弱的班级的任课老师眼中，这样更可以提高复习效率.

案例1：高三复习课“不等式的应用——线性规划”片段.

问题1：直线l：Ax+By+C=0（A、B不全为0）将平面分成几个部分？

问题2：当k≠0时，在直线y=kx+b上方的点满足条件________；在直线y=kx+b下方的点满足条件_________；在直线y=kx+b上的点满足条件_________.

例1已知A（1，2）、B（1，1），若直线l：3x-y+m=0与线段AB有公共点，则实数m的取值范围为_________.

评析：通过问题1、2让学生先回顾线性规划中的相关知识，对于例1，学生都会利用线性规划知识进行解答.这样的复习形式，不足之处有两点：其一是强化了机械记忆，学生回答问题1、2可以完全靠记忆；其二是限制了学生思维，问题1、2把学生的思维限制在线性规划中，导致例1解决思路单一.

2.教学内容同质化

复习课不是新授课，复习课的目的不只是“温故”“释疑”“熟练”，还需有“升华”，即要使学生融会贯通，但许多老师的复习课设计往往只关注本节课要复习的内容的内部综合，很少关注本课内容与已有知识的整合，具体体现为选题单一，解决问题方法不灵活，这一同质化现象，使得学生不能达到“高屋建瓴”的境界.

案例2：高三复习课“基本不等式的应用”的设计.

（1）基础练习题.

②设x、y∈R，且x+y=5，则3x+3y的最小值为_________；

③函数y=x（4-x）的最大值为_________.

（2）求下列函数的值域.

（3）例题.

评析：从上面的设计可见：该老师课前进行了精心备课.选题体现了以下三点：（1）紧紧围绕着基本不等式的应用；（2）强化了对基本不等式使用中“一正二定三相等”的落实；（3）突出了如何构造基本不等式求最值及如何实现“和”与“积”的相互转化.尽管如此，从复习课的要求看本节课的设计，仍有明显不足，即所有题目均可以使用基本不等式解决，知识链单一，这样同质化的选题容易使学生形成思维定势，难以完成新旧知识的系统整合.

3.小结归纳不及时

常常看到一些复习课，上课开始老师就让学生做题，做完练习接着讲评，讲评过后便是2到3个例题，例题讲完一节课就结束了.在整节课教学中，老师往往没有及时进行归纳与小结的意识，一节课给人的感觉就是“老师领着学生一起做了几道题”，学生整节课都在盲目跟随老师做题，对本节课复习的内容缺少清晰的整体认识，难以把握本课内容的主旨、形成有效的思维链.

案例3：高三复习课“函数性质的应用（2）”片段设计.

基础练习如下所示.

（1）设函数f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x），则

（2）已知f（x）=|lnx|，若f（a）=f（4a），则a=_________.

（3）用min｛a，b｝表示a、b两数中的最小者，若函数f（x）=min｛|x|，|x+t|｝的图像关于直线对称，则t的值为_________.

学生板演后，老师结合板演情况就结果的正确性进行讲评，接下来讲解了3道例题.

评析：在复习课上能给学生充分的时间去练习并适时板演本身是非常好的做法，但本课中执教老师在学生练习后却仅对板演的正误进行分析讲评，接着就进行了3道例题的讲解，由于学生板演方法的差异，难以让学生体会到4个练习题的共同点，难以保证绝大部分学生在练习后有所感悟，也许有部分学生会意识到这些题都与图像有关，但对何时可借助图像解决问题未必有清晰认识.因此，老师在学生练习后不及时引导归纳总结，会使得本来有价值的练习变成无目标的盲目练习，直接降低练习的意义，影响学生感悟方法，当然更谈不上提升与迁移了，复习效率大打折扣.

4.例题教学习题化

一道题能被选为例题，首先应具备典型性，即隐含典型的数学思想方法；其次应确保示范性，即通过本题的教学，让学生学会分析，提高解题能力，形成良好的思维品质.高三复习课上，我们常常看到许多老师直接将例题作为练习让学生去做或者口答，在口答时常常是学生说老师板书，这样的做法实质上就是在“授学生鱼”，而不是“授学生以渔”，根本没有发挥例题的教学功能.

案例4：高三复习课“解析几何综合”课堂片断.

例1已知抛物线C：y2=4x，过点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求y1+y2的值.

生1：因直线AP与直线BP的倾斜角互补，故kAP+kBP= 0，则

师：解决本题的关键在于将“倾斜角互补”转化为“斜率之和为0”.

例2如图，已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆T过点M（2，1），离心率为抛物线C的顶点在原点，对称轴为x轴且过点M.

（1）当直线l0经过椭圆T的左焦点且平行于OM时，求直线l0的方程；

师：（1）（略），下面主要研究（2）.

设A（x1，y1）、B（x2，y2）.

则直线MA、MB与x轴总围成等腰三角形.

师：学生3的设点方法是遇到已知抛物线、直线时的常用方法，它减少了参数，降低了运算量，应予以重视.

评析：从课堂情况来看，学生较为顺利地解决了这两个例题，老师似乎也没有作更多的点评，笔者听后心里总觉得不踏实，不禁反思，这两道例题的作用何在？在例1的影响下，学生自觉采用了例1的思路去解决例2，学生解决例2是不是有点儿碰巧？如果直接给出例2，到底有多少学生能独立解答？学生面对例2的困难到底在哪里？很显然，解决例2关键在于以下两点，其一是“直线MA、MB与x轴总围成等腰三角形”时，怎么判断∠AMB不会是等腰三角形的底角；其二是当知道∠AMB为顶角时，又怎么会想到去求kMA+kMB的值.本课中，发言学生的解答尽管是正确的，但不能确保其他学生都能明白其中的缘由，老师也没有通过追问将这一思维过程展示，这样简单地将例题等同于学生的练习题的做法，显然没有起到例题的应有价值.

二、应对策略

1.改变复习方式，唤醒学生思维，构建知识框架

复习不应是简单地重复已有知识，而应将所要复习的知识融合到问题中，用问题唤起学生的回忆、唤醒学生的思维，在此基础上共同构建知识框架.这样主动的回忆才会让学生在思维参与中感悟更多，记忆更深.

如案例1，若上课伊始直接将例1呈现出来，学生会想到的方法可能是将A、B两点的坐标代入直线l的方程，算出m的值，然后借助数形结合得出m的取值范围.进一步引导学生思考，会发现还可以用线性规划知识予以解决.这样的复习过程是学生主动回忆、提取已有知识解决问题的过程，更能激发学生的学习积极性，也使接下来复习线性规划知识的过程显得更有意义.

2.适度变式拓展，激发学生思维，完善知识结构

适度的变式拓展可以有效遏制课堂教学内容同质化问题，开阔思维，完善认识.变式拓展可从两方面入手，其一是利用同质问题纵向拓展，其二是利用异质问题横向拓展.同质问题可以揭示问题本质，加深对方法的理解，而异质问题可以较好地打破学生的思维定势，在辨识中加深对问题本质的认识.同质问题与异质问题会使学生对所复习内容的认识既有深度又有宽度.

如案例2，对于题（1）③，不仅可以用基本不等式解答，也可以用二次函数知识解答，还可以通过求导来解答，教学中不能局限于应用基本不等式，应拓宽此类问题的解题思路，如可将限制条件作变化，也可将多项式的次数作改变，引导学生分别找出最合适的方法.另外，在例1②解决后，不妨将它改成“求函数-1）的最小值”.尽管与原题仅相差一个符号，但此时不能再使用基本不等式，迫使学生检索已有知识去解决问题.这样的变式拓展，深化了学生对基本不等式使用条件的认识，并完善了对“求函数的最值”的理解.

3.明确复习目标，引领学生思维，整体把握知识

没有目标的行动是盲目的行动，没有目标的课堂教学必然是无序的、随意的、低效的.因此，复习课中每选一题都应明确该题的作用与价值，并通过精心组织将其作用与价值在课堂上完美地演绎出来，同时，一节课的选题应围绕一条主线，即本节课的目标，只有在目标的引领下，学生的思维才会被激活，并体会到课堂教学的魅力.

如案例3中，4个小练习的目的旨在让学生感受图像在解题中的作用，因此，在处理完4个小练习后，老师应有意识地让学生总结4个小题的共同点，尽可能感悟到“可借助图像寻求解题思路”.同时，应及时总结出：函数的对称性、周期性、奇偶性、单调性常常会与图像有关，可考虑借助图像寻找解题思路.这样的总结不仅让学生明确了本课的学习目标，而且在后续例题教学中对“借助图像寻求解题思路”会有更深刻的认识.

当然，复习课不同于新授课，学生对本课知识是有一定认知基础的，所以对有些内容，也可以采用上课伊始即出示本课学习目标，让学生始终在目标的引领下，达到整体把握知识的目的.如高三复习课“导数”中，有老师一上课就提出本节课的学习目标是：（1）会利用导数求函数的单调区间；（2）理解函数极值的概念，会合理解决与极值、最值相关的问题.接着围绕这两个目标设计了相应的练习与例题，让学生在目标的引领下，通过练习，回忆使用导数求函数的单调区间的方法，体会不同语言叙述的本质，加深对“导数为0的点不一定为极值点”的认识.通过例题分析，学会挖掘条件，会根据导函数形式上的差异，正确、合理确定分类标准，解决与极值、最值相关的问题.

4.引导出声阅读，展示思维过程，提高学习能力

学生在解决数学问题的过程中，难在没有想法，没有思路，而不在于有了想法和思路后的实施过程.因此，复习课中应充分利用例题的典型性、示范性，通过出声阅读例题，让学生在阅读中思索，展示思维过程，逐步探究出问题本质，形成解决问题的一般思路.

如案例4中，为提高学生分析问题的能力，可直接出示例2，对于（2），在学生思考后可边读边引导学生思考.（1）“斜率为的直线l”确定了吗？——直线l不唯一确定，可以平行移动.（2）在直线l移动过程中，直线MA、MB与x轴围成的三角形总为等腰三角形，要分类吗？——∠AMB随着直线l的移动不断变化，直观感觉它可能为锐角，也可能为直角、钝角——∠AMB只能是等腰三角形的顶角，这里的“总为等腰三角形”其实只有一种情况，不妨设直线MA与x轴交于P，直线MB与x轴交于Q，只需证明△MPQ为等腰三角形，其中MP、MQ为腰.（3）如何证明△MPQ为等腰三角形？——证明MP=MQ或者证明∠MPQ=∠MQP.显然，证明MP=MQ相对复杂.（4）如何证明∠MPQ=∠MQP？——只需证明kMA+kMB=0.通过以上出声阅读过程，学生自然而然地找到了解题方法，并学会了思考.本问题解决后，老师还可以提出如下问题供学生继续探究，如：由上面“∠AMB随着直线l的移动不断变化，直观感觉可能为锐角，也可能为直角、钝角”，请求出当∠AMB为直角时直线l的方程.本问题的解决最直接的有两种思路，其一是利用，其二是利用△MPQ总为等腰三角形，则kMA=1.

总之，高三复习课的有效性，关键在于是否真正落实了学生在学习过程中的主体地位，因此，作为复习课的组织者、实施者，必须在深入了解学生已有知识的基础上，制订明确、合理的复习目标，围绕目标精心选题，深入研究每一道题的内在价值，并在课堂教学中得以完美体现.只有基于学生的认知，让学生真正实现行为参与、思维参与，才会使复习课更加有效.