不等式高考试题分析与教学策略分析

☉江苏省启东市汇龙中学 张健

不等式高考试题分析与教学策略分析

☉江苏省启东市汇龙中学 张健

高中数学由众多内容组成，其中不等式是高中数学的重要组成部分.学生对不等式的学习从初中就开始了，掌握了不等式的基本性质和解法，为学生在高中进一步学习不等式知识打下了基础.此外，现实生活中蕴含着丰富的不等式知识，随处可见不等式在生活中的应用.如今，不等式在数学高考中更是占据了重要的位置，同时与函数、方程、三角等高中数学知识联系紧密.分析研究不等式高考试题，不仅能把握不等式高考的新动向，提高学生的做题效率，提高学生的考试成绩，同时也培养了学生分析问题的能力、解决问题的能力、空间想象能力，以及严谨的数学素养和数学思维能力.

一、不等式在高中数学中的重要位置

不等式是高中数学基础理论知识的重要组成部分，是联系现实、刻画现实不等式关系的重要工具和重要数学模型，也是研究数量关系的必备知识，在高考数学中有着举足轻重的位置.高中数学不等式内容与高中数学函数、方程、三角等内容有着密切的关系.如在函数中，对数的真数大于0、分数的分母不为0等都离不开不等式，此外，如函数的最值、函数的定义域、函数的单调性、数列的前n项的最值，空间线面距离、面面距离、夹角范围等，也都需要用不等式来进行描述和表示.可以说，不等式是高中数学集合、数列、函数、方程、立体几何内容的重要交汇点，在高中数学其他内容知识中有着广泛的应用.不等式的求解会运用到分类讨论、数形结合、转化、函数与方程思想，对培训高中生的数学思想和严谨的数学素养起到重要作用，更是培养高中生发散思维的关键.

例如在苏教版高中数学教学中，平面区域与二元一次不等式的教学能够让学生直观感性地明白不等式的几何意义和深刻理解不等式的性质，以及培养学生数形结合的思想.又如通过线性规划的教学能够培养学生的观察能力、分析能力、归纳总结能力和抽象思维能力.

二、不等式高考试题分析

不等式是解决数学问题的重要工具，是历年高考的热点.而每一年高考中不等式的考查点都是以函数和实际问题为背景，要求学生除了掌握高中数学基础知识和技能外，还需要掌握正确的数学方法和科学的数学思想，还要有清晰、严谨的逻辑推理能力和测试运算能力，对问题进行分析和研究，并最终解决问题.如今，高考一般不会单独对不等式进行命题，而是将其融合到其他题型中去，与其他数学知识紧密结合在一起，一般在数学高考中占据10分左右的分值.传统的不等式高考侧重对不等式的性质、推导以及证明进行考查，而如今侧重点放在学生对不等式的感受上和进行运算和处理上.现在的不等式高考试题中更多的是一些综合性试题，在填空题和选择题中主要是求最值，在解答题当中主要考查不等式与函数或数列的综合题型.

1.不等式的性质及其解法

解不等式是一个重要的运算解题能力，在高考试题中较为常见.

例1（2010年高考全国卷理科）设偶函数f（x）=x3-8（x≥0），则｛x|f（x-2）＞0｝=（）.

A.｛x|x＜-2或x＞4｝B.｛x|x＜0或x＞4｝

C.｛x|x＜0或x＞6｝D.｛x|x＜-2或x＞2｝

解法1：由f（x）是偶函数，得f（x-2）＞0⇔|x-2|3-8＞0，则|x-2|＞2，所以x＜0或x＞4，答案为B.

也可以利用分类讨论求解，解答过程如下所示.

解法2：（1）当x≥0时，f（x-2）=（x-2）3-8＞0，即x3-6x2+ 12x-16＞0，即（x-4）（x2-2x+4）＞0.

由于x2-2x+4=（x-1）2+3＞0，所以x＞4.

（2）当x＜0时，-x＞0，则f（x）=f（-x）=-x3-8，则f（x-2）= -（x-2）3-8＞0，即x（x2-6x+12）＜0，故x＜0.

所以｛x|f（x-2）＞0｝=｛x|x＜0或x＞4｝，答案为B.

点评：本题主要通过不等式与偶函数的结合来考查，把握住不等式与偶函数的关系就可以解决好这类型的题目.实际上，因为f（x）是偶函数，只要把解析式表示为f（x）=|x|3-8就可以了，而且这样更加简洁.此外，运用分类讨论思想，可以拓展学生的思路，培养学生的发散思维.

2.二元一次不等式组与线性规划

解：题中不等式组表示的区域如图1所示.

当目标函数z=abx+y运动到A（1，4）时，目标函数z取得最大值，即8=ab+4，所以ab=4，所以a+b≥2=4.

图1

点评：本题型主要考查线性规划知识及基本不等式知识，体现了知识的联系.

三、高中数学不等式教学策略

随着新课改的不断推进，高中数学教学中更加注重学生对数学问题的分析能力和解决能力的培养，其中不等式内容的教学更加注重培养学生的空间想象能力、数学运算能力以及数学思维能力.

1.与初中不等式知识相衔接

数学是一门系统的学科，学生对不等式的学习是从初中就开始的.通过初中不等式的学习，高中生掌握了不等式的基础知识和简单实用的解法.在高中数学不等式教学中，教师适当地引导学生回顾初中不等式知识，加强高中不等式教学与初中不等式内容的衔接，有助于增加学生对高中不等式学习的亲切感，提高学生学习不等式的兴趣，同时也让学生体会到温故知新的学习乐趣.此外，教师在高中数学不等式的教学中，除了要加强与初中不等式内容的衔接，还要讲解清楚不等式的概念，并指导学生合理利用不等式的性质去求解不等式问题.

2.结合实际问题，提升学生解题的积极性

不等式也是刻画现实生活的重要数学模型和解决实际问题的有用工具.从实际问题出发，让学生的思维从紧张的解题气氛中回到熟悉的生活场景中，不仅能提升学生求解不等式的积极性，提高学生学习不等式知识的兴趣，也能让学生了解到不等式这个数学工具的实际功效.

3.注重不等式多种解法的探索，提升学生的数学思维能力

高中不等式的求解方式已告别了初中的单一简单的求解方式，而是可以借助其他高中数学内容的运用，使得不等式的求解更加方便和易于理解.此外，在高中数学不等式问题一般也会存在多种解法.所以在高中数学不等式教学中，数学教师应该注重学生对不等式的多种解法的探索，正确引导学生探索各种实用的解法，提升学生的数学思维能力，培养学生的发散思维.不等式的求解能力是一种综合性能力，教师在高中数学不等式教学中应该将不等式放置在大环境中，常与函数、方程等其他数学内容相结合，让学生明白它们之间的关系.

4.注重推理论证过程的传授，培养学生的思维能力

在高中数学不等式的教学中，教师还应该注重不等式推理论证过程的传授，让学生掌握不等式知识的论证推导过程，加深学生对不等式的理解，让学生从感性学习不等式转化为理性学习不等式.在不等式教学中，教师更应该注重科学的教学方式，让蕴含在不等式中的数形结合思想被学生完全吸收，提升学生的抽象思维能力和创新思维能力.

在高中数学教学中，教师应该尊重学生的主体地位，发挥好教师的引导、辅助作用，让学生学会在数学的汪洋大海中自如遨游.不等式是高中数学的重要组成部分，高中数学教师应该适当地结合实际问题，激发学生学习不等式的兴趣，还应该正确引导学生掌握科学的不等式解题方法，让学生运用已掌握的不等式知识和科学的解题方法求解各种高中不等式问题，提高学生的解题能力，为学生在高考的成功打下基础.此外，在高中数学不等式的教学中，教师也应该不断开拓学生的空间想象能力，培养学生的发散思维能力，以及抽象的逻辑思维能力，让学生在求解不等式问题时创出创新型解法.

1.赵莉.高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究［J］.语数外学习（数学教育），2013（1）.

2.张惠淑.高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究［D］.天津：天津师范大学，2012.