高考中一道“裂项求和”问题课本探源

☉广东省兴宁市第一中学 赖海波

高考中一道“裂项求和”问题课本探源

☉广东省兴宁市第一中学 赖海波

“裂项求和法”是数列求和问题中重要的一种方法，多次出现在全国各省市的高考命题中，其本质是“裂项相消”，即把数列的每一项裂分成两项之差求和，正负相消之后剩下首尾若干项.本文以2014年高考山东卷中数列解答题为例，就裂项法在数列求和中的应用进行探究.

题目（2014年山东卷）已知等差数列｛an｝的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

由题意得（2a1+2）2=a1（4a1+12），解得a1=1，所以an= 2n-1.

所以Tn=

例1（2012年高考全国）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）.

解析：设数列｛an｝的公差为d.

a5=a1+4d=5，S5=5，解得a1=1，d=1，则an=

S100=

变式1：根式型

例2已知数列｛an｝满足N*），则数列｛an｝的前n项和Sn=____________.

变式2：对数型

例3已知数列｛an｝满足则数列｛an｝ 的前n项和Sn=______________.

Sn=（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+［ln（n+1）-lnn］=ln（n+ 1）-ln1=ln（n+1）.

变式3：指数型

例4已知数列｛an｝的前n项和为Sn，a1=3，数列｛Sn+1｝是公比为4的等比数列.

（1）求数列｛an｝的通项公式an；

解析：（1）Sn+1=（S1+1）·4n-1=4n，则Sn=4n-1.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3·4n-1.又a1=3满足an=3·4n-1，故数列｛an｝的通项公式为an=3·4n-1.

变式4：放缩后裂项

例5（2013年高考广东）设数列｛an｝的前n项和为Sn.

（1）求a2的值；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

总之，裂项相消法是数列求和中应用最广泛的一种方法，一些常见数列（包括等差和等比数列），都可以采用裂项相消法求和.对于不能直接裂项求和的数列，则可通过放缩变形，使其成为可裂项求和类型.