五种版本高中数学教材函数概念的比较研究

☉中国人民大学附属中学 吴中才

五种版本高中数学教材函数概念的比较研究

☉中国人民大学附属中学 吴中才

一、函数在高中数学中的地位和作用

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是由常量数学进入变量数学的转折点，函数的思想方法贯穿高中数学课程和数学教学的始终．函数是联系高中数学各板块的纽带，运用函数的思想和方法，可以研究几何、三角、数列、统计等领域中的单调性、最值及变化趋势等问题；通过建立函数模型，可以解决生产、生活中相关的实际问题．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数．函数是继续学习数学和其他学科的必备基础.

二、五种版本高中数学教材对函数概念的处理

按照课程标准的“内容标准”，函数概念被安排在数学必修1中，因此，五种版本教材都是在必修1中呈现函数概念．下面，我们从章节设置、概念引入、概念表述、定义域与值域、对映射与函数相等概念的处理、教材编写特点等方面进行比较研究．

三、分析与比较

1.章节设置

人教A版和湘教版都是把函数编排在第一章集合知识之后，另外三套教材则是从第二章另起一章．这两种方式没有本质区别，只是分段位置不同使得整个模块的知识结构有所不同．人教A版和湘教版的编排方式很有道理，先用一个章节把集合及一般函数概念与性质作一交代，再研究具体基本初等函数．整个框架是由一般到特殊的设计，认知上强调下位学习．但若考虑到集合、函数、基本初等函数这三者的关系，似乎把集合单列一章，逻辑关系会更清晰些，且这种下位学习的结构不会因函数与集合的分开而受到隔离．所以，人教B版、北师大版、苏教版采用的这种编排方式无论从知识结构还是从认知规律来看，都更合适．

2.概念引入

五个版本的教材都复习了初中函数的概念．人教A版、人教B版、苏教版教材还从一些数学、物理实例出发帮助学生理解概念，这是学生的知识经验和生活经验．从学生已有的两种经验出发建构新知，形成概念，符合学生的认知规律和课程标准建议．北师大版和湘教版未借助实例引出概念．北师大版突出了生活中的变量关系，湘教版突出了映射的概念，而这两方面在课程标准中的要求并不高．以前的人教版教材是先讲映射的，并把映射讲得较透彻，再讲函数．而现在人教A版、人教B版、苏教版对此已做出相应调整，更符合课程标准精神．

3.概念表述

五种版本的教材对函数概念的表述没有太大区别，都强调了函数是两个非空数集上的一种对应关系（或对应法则），抓住了函数概念的本质特征．但各版本教材的处理细节略有差异．

人教A版和北师大版的概念中只表述了存在唯一确定的数f（x）与之对应，以及映射符号f：A→B．但由于f（x）表示自变量x对应的函数值没有交待，映射概念在这两种版本教材中也都被置后，所以在概念中出现f（x）和符号f：A→B还是有点欠妥．

苏教版指出“这种对应叫做A到B的一个函数”，湘教版称“这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数”，人教B版则说“这种对应关系叫做集合A上的一个函数”．这三种版本都强调了“对应关系（或对应）是函数”这一本质．但苏教版说“A到B的一个函数”似乎不妥，因为B不一定是值域．相比而言，湘教版说得很清楚但笔墨较多，人教B版则准确而简洁，突出本质，比较符合学生的认知．

4.定义域与值域

五种版本的教材对定义域和值域的描述基本一致，人教B版强调了某点处的函数值的概念，这样为学生理解f（x）做了铺垫；苏教版用的是“输入值”和“输出值”来描述定义域和值域，这种表述利用动态词突出了x与f（x）之间的对应关系；湘教版则是利用象来描述值域，因为前面讲了映射，以及象和原象的概念，显得更明了．

5.对映射、函数相等概念的处理

对映射概念，只有湘教版安排在函数概念之前，其他四种版本皆置后处理．先讲或后讲关系不太大．先讲映射，是由一般到特殊，属下位学习；先讲函数，是由特殊到一般，属上位学习．这都是符合学生认知规律的．人教A版和北师大版都是在函数的表示方法之后讲映射的，而苏教版则更是放在了函数的性质之后．只有人教B版是在函数的概念与函数的表示方法之间专门用一个小标题讲述映射与函数，充分且紧密，对学生建构概念很有好处．此外，对于映射与函数的关系，人教A版、北师大版、苏教版（提了一个问题引导学生思考）都未作出分析和比较，也只有人教B版做得较充分．湘教版是先讲映射的，由映射到函数直接由一般到特殊便可得到，属于另一种处理方式，逻辑关系也很清晰．

对于函数相等的概念，人教A版在正文中给出了定义，湘教版在边栏做了交代，其他三种版本均未提及．这一内容课程标准也未提及．从函数的三要素看，两个函数相同，意思就是两个函数相等，未必要增加一个新概念，才能让学生真正理解函数的三要素．

6.教材编写特点

五种版本教材的编写都有一个共同特点：注重学生的知识经验和生活经验，从学生的年龄特征和认知规律出发，逐步展开概念之间的联系和逻辑关系．这样有助于学生形成概念，建构新的知识体系．

人教A版更注重函数的集合观与变量观之间的联系，有利于学生在旧知的基础上建立新知．教材比较淡化映射的概念，是在分段函数（函数的表示方法）之后将函数概念一般化得到映射的概念．接着，教材安排函数性质的学习，这种处理体现了螺旋上升的原则．

人教B版比较注重函数概念的多个层次及概念间的逻辑关系，概括起来呈现了三个层次：变量观→集合观→映射观．此外，教材在函数和映射概念形成前、后都有举例，这能较好地帮助学生建立和巩固概念．

北师大版比较注重变量间的关系，还举例说明加油站储油罐的储油量和油面宽度是有依赖关系的两个变量，但它们之间并不是函数关系．教材还比较注重函数与映射的关系，由实例给出映射概念之后，组织了对函数与映射关系的思考交流，然后结合映射的概念重新描述了函数概念，也较好地体现了螺旋上升的原则．

苏教版注重从对应关系引入函数概念．在举出实例后，教材突出了两点，一是提及每个问题都涉及两个非空数集A和B；二是强调用“箭头图”可以清楚地表示这种对应关系，这种对应具有“一个输入值对应到唯一的输出值”的特征．教材比较强调用解析式表示函数定义域的理解，编写篇幅不小．另外，教材在讲映射概念时还提到函数与映射是单值对应，意图可能是想突出函数概念的本质．

湘教版选择的是由映射到函数的思路呈现函数概念．教材比较注重知识的内在联系和逻辑关系，结合边栏将整体思路到处理细节都交待得比较细致、到位，特别适合学生自学，以及新教师了解和掌握知识结构与函数各要素的作用．

四、思考与建议

函数是一个非常重要的概念，各套教材编写时都认真设计了概念的形成过程．本文的比较研究虽是管窥函数概念的呈现，但从这一样本也能看出各版本教材的编写风格和大致特点，希望能给同行或教材编写者一点参考，不当之处请大家指正．下面谈些个人的思考与建议：

1.教材编写的规范性

作为一套数学教材，它的规范性体现在用字、语言、作图、符号、字体等方面．从五个版本教材函数概念部分的编写来看，总体都比较规范，但有几处并不一致．北师大用的是“像”和“原像”，其他版本教材用的是“象”和“原象”；人教B版和苏教版用的是“惟一”，其他版本教材用的是“唯一”；在给定义域、值域下定义时，北师大版用的是“叫作”，而其他版本用的是“叫做”；“值域”的英文基本用的是“range”，湘教版在初中函数概念中用的是“co-domain”．建议各套教材采用统一出版标准．

2.课程标准的内容标准

课程标准是教材编写的依据，也是课堂教学的依据，还是高考命题的依据，它是一本纲领性文件，具有很高的规范和指导作用．课程标准中列出的内容标准就是我们编写教材、教学和命题的蓝本．课程标准没有提及相等函数、一一映射、单值对应，只要求了解映射的概念．这样做是为了减少一些无关紧要的概念，突出主干概念，减少对主干概念的干扰和记忆负担．从前面的分析看，没有这些概念并不影响学生对函数概念的理解和掌握，因此，建议淡化无关概念．

3.考虑学习心理因素

“教材不是写给教师教的，而是写给学生学的．”新课改伊始，这种观点就比较流行．因此，教材有了“问题提出”、“实例分析”、“抽象概括”、“思考交流”、“阅读与思考”、“学而时习之”、“温故而知新”等栏目，以及边栏、旁白等形式．教材编写不可忽视的因素就是学生的认知心理．皮亚杰的认知发展理论有一个核心概念是“认知图式”．他认为，认知图式包括动作图式、符号图式、运算图式等．

在函数概念的形成和认识过程中，我们要帮助学生形成一些正确的认知图式．对于用f（x）表示函数值，人教A版、苏教版、湘教版都是直接使用的．北师大版在函数定义中也是直接使用的，只是在函数概念之后补了一段文字：“当x＝a时，我们用f（a）表示函数y＝f（x）的函数值．”而人教B版是在定义之后用了这样的文字进行阐述：“如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f（a）或y|x=a．”这种正确、及时的符号图式在教材编写时应当予以考虑．

1.中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准［M］．北京：人民教育出版社，2003．

2.普通高中课程标准实验教科书·数学1必修A版［M］．北京：人民教育出版社，2004．

3.普通高中课程标准实验教科书·数学1必修B版［M］．北京：人民教育出版社，2004．

4.普通高中课程标准实验教科书·数学1必修［M］．北京：北京师范大学出版社，2004．

5.普通高中课程标准实验教科书·数学1必修［M］．南京：江苏教育出版社，2005．

6.普通高中课程标准实验教科书（必修）·数学第一册［M］．长沙：湖南教育出版社，2005．FH