试卷讲评：倾听学生的思考

☉江苏省南京市大厂高级中学 余建国

试卷讲评：倾听学生的思考

☉江苏省南京市大厂高级中学 余建国

试卷讲评课在高三数学教学活动中约占三分之一课时，俨然已成为高考复习的常态课，毫无疑问，讲评课的质量对复习效果和高考质量有着相当重要的影响.研究讲评课的策略、重视讲评课的效率已受到数学教师的高度重视.例如，利用网络阅卷的优势，对考试的大数据进行分析，从而充分地了解考情；在讲评试卷前，把试卷发给学生，给予学生充足的时间，让他们先自行剖析出错原因，自我纠正；讲评课上进行足够多的变式训练和补偿矫正等.笔者认为，讲评课还有值得研究的空间.例如，教师需要学会倾听，课堂上尽可能地还原学生的思考过程，在错解中帮助学生寻找有价值的思维，培养学生的元认知能力，保护和尊重学生的自尊心等.本文以南京市2015届学情调研卷的讲评课教学片断为例，与读者交流和分享对讲评课的认识.

一、案例回放

（南京市2015届学情调研卷第13题）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-6x+5=0，点A、B在圆C上，且的最大值是_________.

教师课前查阅了网络阅卷的数据，获知该题错误率很高，同时仔细调阅了学生的答题卡，在讲评课中请一位做对的同学发言.

师：这道题错误率很高，全班有23人做错，但生1做对了.请说说怎么做的.

生1：我猜的.

全班哄堂大笑.

师：运气真好.怎么猜的？

师：这种猜测有一定的道理.圆是轴对称图形，由对称美去猜测结果，数学家也这么干，但不能仅仅是猜.同学们回忆一下，求模的通法是什么？

师：做到哪一步了？

师：转化一下呢？

师：再平方，那不就更繁了？三个向量的和的模如何求最大值啊？！

猜也猜过了，“错误”的解法也分析过了，老师看差不多了，就请一位做对的同学展示他的解法.

图1

师：能求最小值吗？

师：这个解法事实上是转化为圆与弦的关系，即不是从“平方”的通法上求解的.除了“平方”，坐标法也是求模的通法.有同学在订正试卷时给出了如下解法（PPT展示）.你认为正确吗？

设A（x1，y1）、B（x2，y2），由于点A、B在圆C上，所以x21+6（x1+x2）-10①.

由①②得2x1x2+2y1y2=6（x1+x2）-22③.

当x1=x2时，AB⊥x轴.可求得x1=x2=4，此时

生4：我认为不正确.基本不等式应用中，没有“积为定值”，就不可能“和有最小值”，况且这儿是“求和的最大值”.

师：所以这个解法有问题.

接下来老师讲评下一道试题.

二、案例分析

这是教师使用最熟练、最普遍的试卷讲评课教学模型.即：

这种试卷讲评课教学模型操作简单，特别能体现教师讲评的作用，教师讲评深入仔细、清晰自然，但从总体上来说，老师仍然按照自己的预设“完成”该题的讲评，而实际考试及此后的课前自我订正中，学生究竟是怎么想的，遇到了什么困难和他们是如何克服困难、解决问题的，有无反思这个过程的基本活动经验，这些老师并没有留意，笔者认为，这些才是试卷讲评课最有价值的地方.

1.先猜后证，发现妙解

学生猜测，当OC⊥AB且AB在点C的右侧时有最大值，这是一种很好的数学直觉，课堂上老师虽然鼓励了学生，但不能止于鼓励，应该启发、指导学生探求证明结论的一般方法.老实讲，有时学生的思维火花或突发奇想，对教师也是一种挑战.事实上，学生2的转化方向是对的.

2.再现过程，训练思维

讲评课上教师让生3展示他的正确解法，这个解法正中教师下怀，正解从学生口中说出更符合学生的学习心理，易于被接受，但特别值得一提的是：不论是教师讲，还是学生讲，最重要的是如何找到解题思路的.学生在听课时，不仅仅满足于教师（学生）在解题时每一步的推理验证是正确的，他们更想知道进行每一步的动机和目的，面对问题时自己能否独立解决.通过讲和评，再现思维过程，教会学生正确的思维模式，使解题思维得到有效的训练.

教学中，教师应该追问生3“你是如何想到的？”“取AB的中点有什么用？”因为在直线与圆相交时，垂径定理总是起着醍醐灌顶、茅塞顿开的作用，通性通法永远是解题的“康庄大道”.更重要的是：通过中点M及，将两个动因素（A、B）转化为一个动因素（M），弄清楚点M的运动规律（轨迹），就能顺利求解.“由于弦AB为定长，你想象一下，点M应该在什么曲线上运动？”“你能证明吗？”……在这些追问中，不仅还原了思维过程，更能渗透消元转化的数学方法，让学生学会对自己的思维过程进行评估，从而培养元认知的能力，也给其他同学以启迪.

3.错解分析，挖掘价值

波利亚曾说过：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试错的方法.”针对学生的错误不能全盘否定，首先要肯定学生思考过程的价值，顺着学生原来的思路，在其思维的缺陷处设置认知或思维冲突，使之自觉地纠正错误.

教师展示的PPT上的“错解”，事实上只是到了最后才出现推理上的逻辑错误.坐标法虽然很繁杂，但结果却出人意料地简单找到x1+x2的最大值即可.事实上，如果x1＞4，x2＞4，从几何直观上看所以根据圆关于x轴对称，x1＞4与 x2＞4不可能同时成立，即x1≤4或x2≤4，且在x1=x2=4时，所以x1+x2取得最大值8；类似地，x1≥2或x2≥2，且当x1=x2=2时，AB=2，所以x1+x2取得最小值4，所有最小值4.这可以从下面的参数方程方法中得到证明.

所以学生虽然用基本不等式求解出现了错误，但教师首先要肯定坐标法是处理向量问题的通性通法，形式简单的结果也说明了这一点.由于从前面的解法中已经得到了最大值8，何不从反面“如果x1＞4，x2＞4”会出现什么结果来思考呢？教师要善于发现学生错误中的闪光点，抓住学生思考中合理性的成分开展探讨，巧用错误，让课堂妙趣横生，充满生成.

4.适当点拨，拓展延伸

调研考试试题的价值在于诊断，而讲评试题的价值比诊断更丰富.试卷讲评中，教师应启发学生敢于正视自己的错题，能从不同角度进行思考，提出不同思路，在达成共识的同时发展求异思维，即给予学生解题技巧的指导，适当点拨，拓展延伸，以“出题点”牵“方法规律”.

三、倾听学生的思考

1970年，美国教育心理学家（Flanders）对教师主观选择课堂教学行为的调查分析发现，仅有5%～10%的教师行为被学生接受.事实上，教师任何单方面的假设都不足以收获成功的教育，对于向来以传授知识为己任的数学教育来说就更是如此.学生重视考试是毋庸置疑的，对每一个问题的思考是深思熟虑的，对自己试卷上的每一个错误也是“刻骨铭心”的，而在试卷讲评课上如果仍然是教师的满堂灌，忽视学生的思考，置学生的心声于不顾，试想“灌”下去的能有10%被接受就不错了.所以讲评课上教师要学会倾听，在思维过程的再现中寻找教学的良机.

从讲评内容上看，要找准起点、重点和难点.奥苏贝尔说过，“影响学生的唯一重要因素，就是学习者已知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学.”试卷讲评前，教师除了通常的数据分析和卷面分析外，更要深思典型错误的症结所在，预估学生的受阻环节.为了提高课堂效率，不妨让学生在课前自我纠正，并制作“自我分析表”，填写错因、别解或思考过程，从而心中有数，这也是一种倾听.讲评课上就可针对分析表给予恰当的讲解，以说明错误的性质、类型及根源，并可提出研究该问题的方法.

即使针对一份试卷仅讲评典型的几题，一般也需要两三个课时，若每节课都让教师分析讲评，学生难免产生厌烦情绪，因此可以采取灵活多样的讲评形式来启发学生.在讲评中，可以选择一些有代表性的试题，让学生上台扮演“老师”的角色；也可以将学生分成几组，教师参与他们的相互讨论，帮助解决个别错题；还可以以组为单位，就某个指定问题或所有问题进行竞赛解答.总之，来自于学生的心声更容易得到全体学生的共鸣，教师学会倾听，更可以从中捕捉教学的契机，教学相长.

总之，在试卷讲评过程中，只有倾听，才能从学生的视角找准错误的根源，直指本质；只有倾听，才能暴露学生真实的思维过程，对症下药；只有倾听，才能尊重和保护学生的自尊心，把发现错误的机会留给学生，提高纠错的效益.讲评中教师要站在更高的角度及时指点学生，引领学生走出认知与思维的误区，提高学生的元认知能力，养成缜密的思维习惯.

1.陈会彦，余慧娟．数学日记领我走进孩子的世界［J］．人民教育，2004（20）．

2.余建国．纠错：回到教与学的本源［J］．教育研究与评论（中学教育教学），2014（8）．

3.吴卫卫．再谈如何上好高三数学试卷评讲课［J］．中学数学（上），2014（9）．