提炼教学主线，让数学学习从无痕走向有痕*

☉江苏省南通市教育科学研究中心 曾荣

提炼教学主线，让数学学习从无痕走向有痕*

☉江苏省南通市教育科学研究中心 曾荣

“数学是思维的体操”，学生思维能力的形成、提升，以及数学认知结构的建构过程往往是潜移默化的，是无痕的.然而，正是这种“无痕”，使学生对学习数学产生了畏惧心理.对于思维能力正在不断提升的中学生来说，教师在教学时，若能将体现思维过程的思维链“有痕”地展示给学生，无疑会对学生思维能力的提高起到很大的帮助作用［1］.而要实现这种从无痕到有痕的转变，教师最有效的方式便是善于提炼教学主线，围绕主线进行教学.本文结合不同课型，重点介绍课堂教学中如何进行教学主线的提炼.

一、新授课中提炼主线，让新知自然生成

学生数学能力的提升主要表现为以下三方面：掌握基本的知识技能、形成科学的思想方法、培养探究创新的意识和能力.其中知识技能是从事一切数学活动的源头活水，学生的知识技能主要是在新授课中开始形成的.在新授课中，教师要善于结合知识的自然生成过程、探究方法的类比迁移提炼主线，引导学生获取新知.

1.以知识的自然生成过程为主线

“数学认知结构是存在于学生头脑里的数学知识结构与认识结构有机结合而成的心理结构”［2］.学生头脑里的数学知识结构是课程教材里的数学知识结构和老师的数学知识结构在学生头脑里的反映.而教师良好的数学知识结构的呈现则表现为：教师善于整合教材，根据知识的自然生成过程提炼课堂教学主线，并围绕主线精心设计教学的各个环节，帮助学生整体建构，不断提升学生的思维能力.以“向量的概念及表示”［3］为例进行说明.

“向量的概念及表示”是一节概念讲解课，涉及的基本概念有向量、单位向量、零向量、平行向量、相等向量、相反向量、共线向量等.这些概念看似零碎，但这些概念都扣紧了大小和方向两个关键词.教材编写者在编写时充分考虑到学生的认知规律和知识间存在的严格的逻辑顺序.在认知规律方面，整体按“建构模型—研究模型—应用模型”顺序，局部按“概念—表示法—概念间的关系”顺序编排；在知识编排方面，紧扣向量的两要素，从大小和方向两个角度进行研究.从大小角度出发，如向量的模是一个单位，则得出单位向量的概念；如向量的模是零，则得出零向量的概念.从方向角度出发，如两向量方向相同或相反，则得出平行向量的概念；若平行向量的模相等，则得出相等向量、相反向量的概念.理解了教材编写者的意图，我们确定了如下的教学主线（也是教师最后完整地呈现给学生的板书设计）.

图1

2.以探究方法的类比迁移为主线

新课程强调“自主、合作、探究”，数学新知的获取正是在探究活动中逐渐生成、廓清和发展的.教师在组织学生进行探究的过程中，应重视类比、归纳、综合、概括、猜测、预见等探究方法的渗透.教师从学生实际的探究意识和探究能力出发，以探究方法的类比迁移为主线，将有利于学生探究能力的培养.以“抛物线的标准方程”为例进行说明.

学生在学习抛物线的标准方程前，已有了学习椭圆、双曲线的标准方程及其性质的经验.这种经验，不应该仅仅体现在知识层面的类比，更应该体现在探究方法层面的迁移.教师要善于类比迁移原有的探究方法，并用它引领学生学习抛物线的标准方程.这样做，不仅有利于抛物线的学习，更有利于让学生进一步感受解析几何的研究方法，体会数形结合的数学思想.具体的操作流程是这样的：整体回顾椭圆的研究思路（图2）—类比确定抛物线的研究思路（图3）—几何画板演示抛物线的生成——建构抛物线的定义—建系推导标准方程—简单运用标准方程.

图2

图3

二、习题课中紧扣主线，让思维有效提升

习题课教学中，教师精致的教学设计、合理的变式流程、清晰的方法比较、精当的总结提升，将有效地提高学生的数学解题能力和思维能力.为此，在新授课中，教师要善于将变式的生成过程、方法的比较提炼作为教学主线，组织学生开展对习题的研究.

1.以变式的生成过程为主线

习题课教学中经常需要对问题进行变式，变式教学是数学教学中常用的一种手段.合理地进行变式教学，不但可以巩固双基，还可以提高学生的数学思维能力.通过不断地把题目的条件和结论适当改变得出新题目，可使学生时时处在一种愉快的探索知识的状态中，从而充分调动学生的积极性，启发学生的思维，提高学生的解题能力和探索能力.教师的这种变式训练，应重视思维层次的不断提升，演变要体现出思维变化的过程.笔者在执教“由数列递推关系求通项公式”［4］时，对问题变式设计了如下教学主线：在数列｛an｝中，已知a1=2，试结合下列递推关系求通项公式.

图4

通过这一教学主线，将变式演变的思维过程层层深入地展示在学生面前，同时自然地将各种题型概括给学生，学生在丰富的变化中掌握了方法，训练了思维，提高了能力.

2.以方法的比较提炼为主线

解题教学时，常常需要进行一题多解训练.这种一题多解教学，不能简单地停留在方法的堆积层面，要善于进行方法的比较.通过比较，理解每种方法的出发点，发现各种方法的优劣、方法之间的内在联系，从而达到一题多解、多解归一的目的.笔者在执教“数形结合法在直线与圆位置关系中的运用”时，以方法的比较提炼作为教学主线，取得了较好的效果.

例题已知直线l：x-y+m=0和圆x2+y2=1，求实数m的取值范围，使得直线和圆分别有两个、一个、零个交点.

对于以上例题，笔者在教学时让学生分别从形和数两个角度进行求解，并在学生交流总结的基础上，引导学生用如下的流程图（图5、6）进行提炼.通过两种方法的比较，让学生体验数与形的关系，感悟数形结合思想的重要性.在比较提炼的基础上，再将数与形的关系用图7表示出来.有了这样的理性思考，后续的研究也就水到渠成了.

图5

图6

图7

三、复习课中狠抓主线，让知识有效建构

定期有效的复习，对于帮助学生建构知识网络、提升思维品质，有着极其重要的作用.在复习课中，教师要善于将知识建构的螺旋上升、理性思维的升华发展作为教学主线，组织学生复习、梳理.

1.以知识建构的螺旋上升为主线

数学知识具有极强的系统性，讲究思维的连贯性和延续性.现行各种版本的数学教材都非常注重知识的演绎过程.为此，编者在编写教材时，通常按照一定的主线层层推进，或注意知识的衔接，前后呼应，螺旋上升.笔者在执教高三复习课“平面向量及空间向量”［1］时，根据知识建构的螺旋上升线索设计了如下主线.

图8

2.以理性思维的升华发展为主线

通过复习课，教师要帮助学生达到融会贯通的目的.而这种融会贯通，除了解题能力得到提高以外，更重要的是学生对数学本质的认识能力不断增强.所以教师要善于以理性思维的升华发展为主线组织教学.在进行“函数与方程思想在三角函数中的应用”的教学时.为了让学生明白该课题的研究背景，笔者设计了如下问题.

问题1：试研究三角函数与一般函数的关系.

（2）个性：___________________________________.

为了让学生更感性地认识三角函数与一般函数的关系，笔者设计了如下问题.

问题2：利用函数的观点认识诱导公式.

以上两个问题使学生从理性层面充分认识到三角函数与一般函数的关系，使“函数与方程思想在三角函数中的应用”成为可能.接下来再研究具体的数学问题便顺理成章了.

四、试卷讲评课中明晰主线，让评讲有序开展

试卷讲评课由于受试卷类型、学生答题情况、试卷难易程度等多种因素限制，所以讲解的方式往往较多样，下面介绍三种常用方式.

1.以知识点的分类为主线

如果试卷是单元测试类试卷，知识点较集中、联系较密切，那么教师在讲解时可以所考查的知识点的分类为主线进行讲评.教师可以将单元所学内容根据知识体系进行分类，以表格的形式进行展示，然后将试卷中的试题对号入座，对于同一类题可以选择具有代表性的进行讲解，对于具有一定综合性的题可以放在最后讲解，达到融会贯通的目的.

2.以学生的错误分类为主线

如果学生答题情况比较理想，错误率不高，教师可以对学生的错误进行分类，选择具有代表性的错误进行讲解.当然，这种以学生的错误为主线的讲解方式不能停留在错误本身，要对问题进行挖掘、变式，使学生明白错误原因，彻底纠正错误.

3.以数学思维提升为主线

试卷中的试题难易程度不同，学生答题情况也各不相同，为了帮助学生通过试卷讲评达到优化解题思路、规范解题过程、突破重点和难点的目的，我们可以数学思维提升为主线组织教学.具体可以分为以下三步.

（1）会而要优，提高效率.试卷中正确率较高的题并非完全没有讲解的价值，对于这些题重在讲解最优化的解题方法，帮助学生提高效率.

（2）会而要全，严密规范.对于那些学生思路较清晰的题，除了要帮助学生找到最优化的解法，还要注意展示严密、规范的解题过程，帮助学生完整周全地进行解答.

（3）善于挖掘，巧找切口.试卷讲解的重点当然是那些学生思维受阻的题，对于这类题，不能简单地展示解题过程，关键在于帮助学生寻找症结所在，找到解决问题的切口.

“教学过程是一个系统，要求在整体感知教材，理解教材的过程中，尽快找到解决某一类问题的方法和规律，做到举一反三，提高学习效率”［5］.紧扣主线进行教学，有利于学生整体建构，提高教学质量.

1.曾荣.展示“有痕”的思维链——例谈数学教学的板书设计［J］.中学数学月刊，2009（1）.

2.涂荣豹.数学教学认识论［M］.南京：南京师范大学出版社，2003.

3.曾荣.深挖教材提炼主线精心设计不断提升——《向量的概念及表示》教学设计评析［J］.考试·数学版，2010（3-4）.

4.曾荣.回归高三数学复习的基点——以“由数列的递推关系求通项公式”为例［J］.中国数学教育，2011（9）.

5.王敏勤.整体建构是和谐教学的基本原则［J］.中国教育报，2005（6）.

Y

*本文是江苏省“十二五”教育科学规划课题《高中数学“阅读·引导·提炼·探究”教学范式的实践研究》（C-c/2013/02/028）的成果之一.