建构教学理念下的数学概念教学

☉江苏省扬州市邗江区蒋王中学 唐元峰

建构教学理念下的数学概念教学

☉江苏省扬州市邗江区蒋王中学 唐元峰

数学概念教学可谓是数学教学的核心，这一点在中学数学教学阶段并不为教师所完全认知.从传统数学教学到今天课程改革十多年的趋势来看，我们的数学概念教学有一定的改变趋势，但是能尊崇课程理念的概念教学与常态课相比依旧太少了.笔者认为，究其原因还是多方面造成的.

（1）课程理念注重的是让学生努力通过自我发现、自主建构去实现概念教学，力主通过一种探索性的尝试和建构式的学习进行概念教学，但是教学实际所面对的现实与该理想还是有较大的差距，一方面来自课堂效率的原因，另一方面来自各种考试、应试的压力，教师在有限的课时内无法放手让学生自己去实践.

（2）课程理念的渗透还远远达不到教师（乃至各级教育主管部门）的内心，从近年观摩各种公开课、常态课发现，公开课上对数学概念头头是道的探索、建构，在现实教学常态课中实难展开，这好比我们参观车展，那些漂亮异常的概念车绝对是无法量产的，因为生产成本太高昂了，如今的公开课与常态课概念教学正是这样的现实反映，在实际日常教学中，教师远远没有从内心去感受过课程理念对于一个学生未来发展的指导性，而往往以近期短期应试分数作为教学第一的评判指标.

（3）长期从小学到初中的启发式、灌输式教育，要想在短时间内让学生养成探索数学概念的形成、产生和归纳的习惯，对学生要求而言也并非易事，所以教师在这样的概念教学中，拥有良好的教学设计是首要保障，何时该引、何时该讲、何时该动？都是建构课程理念教学的一种长期积累.

一、建构教学理念的概述

建构教学理论起源于美国教育家杜宾斯基，从上个世纪九十年代被引进国内开始做探索研究.其所描述的理论主要是由四个步骤组成的概念教学：第一，感知与操作（Action）；其次，过程与探索（Process）；再者，感性与抽象（Object）；最后，建立概念网络图（Scheme）纳入自身知识体系.因为这四个步骤的英文单词每一个首字母分别为A、P、O、S，所以在很多时候也以APOS理论来描述建构理论，用建构理论进行概念教学是符合新课程教学理念的.按杜宾斯基自己对四个步骤的解释与今天中学数学教学新课程理念还是有差别的，毕竟两个国家的学情并不一样.

笔者参阅了多种文献，如文1、文2、文3等，认为在中学数学教学中实施建构理论进行概念教学必需将四个步骤进行一系列的校本化，即参照学生学情进行合理的组织建构理念下的概念教学：首先，对感知与操作要依据学生学情而异，学生程度较好的单元体在设计概念感知与操作时可以简化一些，毕竟数学能力较强的学生对概念本质的认知会更通透一些，相反数学能力较弱的单元体则情境化的手段需要丰富一些，甚至以特殊代表一般予以展示；其次，过程与探索是建构理念下概念教学的重点，这里需要通过教师遵从合理的教学设计给予学生一定的引导性探索，这与杜宾斯基所谓的任学生放手探索知识是有区别的；再者，感性与抽象是概念教学的核心，前两者的顺利进行正是为了本环节上升到抽象阶段，以数学形式化的本质将概念存储于头脑中；最后，环节概念网络图，考虑到学生对概念属于新知学习，笔者认为一般由教师给出比较适合，让学生在探索—认知—抽象中最终形成概念的外延和内涵，并用图式的形式架构.

二、案例实施

案例1：“函数”概念的建构式教学.

阶段一：感知与操作

师：同学们，今天我们来学习高中数学中函数的概念，学函数概念之前给大家看一段幼儿园小朋友玩橡皮泥的视频：老师给每组同学发放一套橡皮泥玩具，可以将橡皮泥做成各种形状的磨具，请小朋友动手做各种各样的物品.大家看到，小朋友们利用各种磨具做出了各种形态的模型.这与我们今天学习的函数概念极为相似.

师：再请大家看一段视频，这是一种新型的处于实验室研究阶段的食品加工机，我们看到研究人员不断将面粉倒入机器中，然后按1号按钮生产出了面饼，按下2号按钮则生产出了馒头等.这很有趣，将来有这样的机器将大大方便我们的生活.接下来，请同学们根据上述两个视频，来阅读函数的概念，请你想一想上述视频与函数概念有什么关联吗？

阶段二：过程与探索

生：我觉得它们之间似乎有着一种关联.

师：对！这种关联我们可以用图形来展示一下.（如图1所示）

图1

生：我发现各种函数之中的自变量x的取值范围都可以看成是一种类似的橡皮泥或面粉，经过函数表达式的运算得到一种不同的结果，跟视频中举例有些相似.

师：很好！其实，函数正是将各种现实生活中的模型进行了抽象、归纳之后得到的一个概念，函数概念经过上百年才发展成今天的样子，其创立者莱布尼兹在历经多次修正才最终归纳得到.将上述图形进一步用字母抽象表达，你行吗？

生：（如图2所示）将前者（橡皮泥或面粉）比喻成自变量x，经过对应法则f加工之后得到函数值y，这就是函数概念最直接的含义吧.

图2

师：好！同学们对概念的探索相当有想法，我们将其进一步用形式化的数学语言进行表述.

阶段三：感性与抽象

生：对于非空两个集合A、B，若集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，则称这样的对应关系为函数关系.

师：对，因此函数其实是一种对自变量进行了不同对应法则加工、生成不同函数值的一种变换而已.

生：哦，函数的概念原来利用上述视频进行理解相当容易啊！

师：还不能这么说！其实，细细地品味函数概念，还有很多细节未能从视频中读出来，请大家再逐字分析下函数概念.（请同学相互讨论）

生：集合A中的元素必须是任何一个，那就意味着每一个元素都要参与对应，其他应该没有了.

师：好，这位同学对概念进行了充分的挖掘，还有吗？

生：每一个元素在集合B中有唯一的元素与之对应，所以B中的元素必须是唯一的与其对应.

师：好，我们来看看几幅图，请同学们看看哪几种关系为函数关系？（如图3～图6所示）

图3

图4

图5

图6

生：（讨论）我认为图3和图5表示是函数关系，它满足了函数概念的要求.

师：好，通过图3～图5我们知道了集合B中元素有无多余并不影响对函数关系的判断，这说明大家对函数概念有了很深的理解.至于图6为何不是呢？请同学们说说自己的想法.

生：因为函数概念的前提是两个非空数集，图6并非是数的集合，自然不能属于函数关系.

阶段四：概念网络图

通过上述的学习，学生充分地认识了函数概念的基本要求，将函数概念用一张网络结构示意图进行展示，让它的外延与内涵充分地暴露在学生的思维中，使其对函数概念的认知达到更加细致的地步.（如图7所示）

图7

设计意图：从本课的设计来看，是一种将建构式教学理论中渗透了传统的启发式教学的一种概念教学课堂实践，推动本课不断前进的理论是学生积极参与概念的建构理念，其中教师的主要作用依旧在于合理的设计及掌舵，在需要点拨的时候进行合适的引导，通过上述建构式教学的四个阶段得到的概念相比传统概念教学，对学生的记忆程度而言来得更为深刻.笔者对本课的教授恰好在两个平行班间进行尝试和探索，甲班采用了建构式概念教学，乙班采用了讲授法概念教学，通过学习和一定时间的分析，笔者认为讲授法概念教学对于学生理解函数概念相对于建构式教学而言在知识的发散思维、概念理解的深刻性上都存在一定的差距，以下表对比：

三、建构式概念教学的思考

笔者认为概念教学比较惧怕的两种倾向是：其一，不能将教材中形式化的数学语言合理地转化为教学语言，传授给学生，使得概念教学停留于表面，让学生无法清晰地知道概念的内涵和外延；其二，用习题教学来替代概念认知，我们常常发现这样的概念教学，某些教师将概念读一读、划一划，然后用大量的习题来替代学生对概念的理解，通过训练来认知概念，这种方式短期内有一定的效果，但是当问题形态不断转变时，学生对新的问题中存在的概念是否能够清晰辨别呢？当然是不可能的，因为用解题教学替代概念教学势必不能让学生完全了解概念的形成、内涵、外延等.因此，笔者认为，建构式概念教学是符合新课程教学理念的概念教学，其优点在于：

（1）让学生在教师合理的设计下进行了有效的探索，这是现阶段较为合适的探索方式.笔者思索如何在既要应对应试压力又要面对新课程努力培养学生能力上做好概念教学，这种方式是现阶段比较高效的模式.教师合理的引导让学生的探索有了效率、不盲目，也积极开发了学生的思维和实践能力.

（2）建构式教学更主要的目的是培养学生的自主学习能力.对于学生而言，教育更长久的目标是培养学生的自主学习能力，从建构式教学出发，将学生对于学习的方式进行有效的转变，久而久之对学生的学习自主能力有一定的提高.

1.李晓云.概念教学中的“动场”建构刍议［J］.中国数学教育，2009（7）.

2.丁杭缨.基于APOS理论下的概念教学模式研究［J］.福建教育，2009（7）.

3.华喜.也谈“建构教学”［J］.中学数学教学参考（上），2013（5）.

4.鲍梅.“还课”——有效的数学学习策略［J］.中学数学教学参考，2009（7）.FH