“二用”一道课本例题的心路历程

☉浙江省绍兴市高级中学 阮伟强

“二用”一道课本例题的心路历程

☉浙江省绍兴市高级中学 阮伟强

一、问题的提出

古希腊哲学家赫拉克里特曾说过：“人不可能两次踏进同一条河流.”借用此名言，我们是否可以这样说：“一个数学教师不可能两次用相同的方式教同一个例题，因为学生在变，教师的教学理念在变.”就此，笔者在“二用”一道课本例题时，有着深刻的体会与感受，期间，更由于章建跃教授的“意外”参与，收获了“别样”的精彩.故将“二用”一道课本例题的心路历程记载下来，和大家分享.因行文所需，先将课本例题及第（1）问的解答摘录如下.

题目（人教A版《选修2-1》第109页例4）如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1）求证：PA∥平面EDB；

（2）求证：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C-PB-D的大小.

解析：如图2所示，建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1.

图1

图2

（1）连接AC，AC交BD于点G，连接EG.依题意得A（1，0，0），P（0，0，1），因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，故点G的坐标为，即PA∥EG.而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，因此PA∥平面EDB.

二、“一用”

“一用”的时间是2009年的11月，对象是使用人教A版教材的第一届学生（高二年级）.参考《选修2-1教师教学用书》的建议，采用一个课时来完成例题的教学.

1.课堂简录

当笔者按课本证法讲解第（1）问时，学生中发出了一阵嬉笑声，追问何故？竟异口同声说：“多此一举！”理由是：既然在平面EDB内作出了直线EG，且在△PAC中，由中位线性质易得PA∥EG，直接可推证出线面平行.这里，光用向量的坐标运算证线线（PA与EG）平行，体现不出坐标法证线面平行的优势和魅力.面对学生的质疑，笔者心中一阵窃喜，在充分肯定学生想法的同时，要求学生说说自己的证法.马上，有学生给出了下列“向量味”十足的两个证法：一是证P→A与平面EDB的法向量垂直；二是证P→A与平面EDB共面.

证法1：设平面EDB的一个法向量为n=（x，y，z），由z=0，x+y=0.令z=1得y=-1，x= 1，故n=（1，-1，1）.因为PA⊄平面EDB，因此PA∥平面EDB.

接下来，当完成第（2）、（3）问的解答后，学生也提出了一个想法：从两问的解答来看，第（2）问的设置是为第（3）问服务的，呈现出了所求二面角的一个平面角，这样，求二面角的大小就直接转化为求的夹角.事实上，没有第（2）问的铺垫，也就是不作出二面角的平面角，可利用法向量直接求二面角的大小.

解析：设平面PBC的一个法向量为n1=（x，y，z），由n1·可得x=0，-y+z=0.令z=1得y=1，则n1=（0，1，1）.同理可得平面PDB的一个法向量为n2=（-1，1，0）.因为cos＜n1，所以二面角C-PB-D的大小为60°.同时，有学生看出了直线AC、DE分别是平面PDB、PBC的垂线，从而问题可化归为求的夹角.

2.课后反思

面对学生对例题第（1）问解法的质疑和解法的再探究，笔者觉得有必要对教材关于例题解法及问题的设置提出下列修改建议：

①第（1）问适宜直接呈现上述证法1，为学生提供利用向量，特别是借助平面的法向量，证诸如线面平行、面面平行（包括垂直）的范例，以弥补教材（第104页）虽给出了用法向量判定线面位置关系的结论，而无相应配套例题的缺陷，从而确保教材的可读性和工具的示范作用.同时，适宜用旁白的形式给出思考题：你还有其他用向量证线面平行的方法吗？你能用综合法证明吗？

②当完成第（3）问的解答后，适宜用旁白形式给出思考题：如果不作出二面角的平面角，你能用向量的方法求二面角的大小吗？试说明用向量法求空间角大小的最大优势在哪里？

基于这样的修改后，学生也许能较清晰地回答课本第110页提出的思考题：解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法.你能说出它们各自的特点吗？也更符合课标的要求：能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量法在研究几何问题中的作用.

3.专家回应

在2010年的2月，笔者利用寒假，将上述课堂简录及反思整理成文，以《一道课本例题解法的质疑与探究》为题，投寄给《中小学数学》（高中）杂志社.不久，文章在当年的第6期上发表.感到特别欣慰的是，杂志主编章建跃教授还就文中的“反思”，专门撰写了《必须关注教学内容的变革》一文（编后漫笔）.该文中指出：“人教A版给出的解法并不是地道的向量法，有‘为向量而向量’的嫌疑.难怪学生会有‘多此一举’的质疑.阮老师的教学处理有机智，在学生有质疑时，让他们自己给出‘向量味’十足的证法.只是，在他的教材修改建议中，又提议用旁白等形式提醒学生用综合法证明.这种表现很有代表性.事实上，很多老师由于对立体几何课程改革的敏感性不够，导致对向量法态度上的举棋不定，有的甚至认为中学应取消向量法.当然，这种状况‘教材和教参的编写者要负相当大的责任’.”并进而指出：“立体几何课程改革中，应强调解析方法……从几何学的发展角度看，研究方法的进步是标志……另外，高中以学习向量几何为主已是世界潮流……”最后，指出：“综上，高中几何应以向量几何为主，综合法应在初中平面几何中得到更好的训练.目前的问题是大家对向量法的优美和力量注意不够，需要我们加强研究，改变习惯思维和做法，使向量几何真正融入高中数学，成为主角.”

三、“二用”

读罢章教授的“编后漫笔”，笔者有醍醐灌顶之感.为此，在2012年11月，当面对施用人教A版教材的第二届学生时，就课本例题的教学做了全新的设计.总体思路是：分两个课时来完成例题的教学，第一课时侧重于原问题的探究与适度的改变、拓展；第二课时突出例题的变式探究（基于图形的变化）.而所有问题的解决，则立足坐标法，结合向量运算来完成.

1.第一课时的设计

首先，将例题的题干“剪辑”为：如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点.

然后，设置下列4个问题：

（1）求证：PA∥平面EDB；

（2）求证：PB⊥DE；

（3）求直线PB与平面EDB所成角的余弦值；

（4）求二面角C-PB-D的大小.

意图：通过图形的“简化”，设置更利于用向量法来解决的空间问题，从而让学生充分感受向量法的优美与力量.

教学流程（简述）：第（1）问采用“一用”中的两个证法.第（2）问除了利用坐标法来证明P→B·D→E=0外，有学生提出：不建坐标系，直接利用向量运算来证也十分简洁.

图3

解法2：如图4，分别过C、D作CF、DG垂直PB于F、G.设点F的坐标为（x，y，z），由得（x，y，z-1）= λ（1，1，-1），即x=λ，y=λ，z=1-λ.

图4

完成上述两个解法后，教师要求比较各自的特点，学生认为：解法1较之解法2运算更简洁些，但解法2中两向量的夹角必为二面角的大小，而解法1有一个缺憾，就是两法向量的夹角与二面角的大小是相等或互补的关系，需做进一步的判断，才能得到正确的答案.接着，教师问学生：当较难作出空间所成角时，用坐标法再结合向量运算来解决，怎么样？学生回答：威力无穷！（教材的旁注）

最后，笔者向学生布置了一个“开放性”的课外作业：要求从例题出发，提出至少4个有关空间位置关系判断，或求空间角大小的问题，并给出相应的证明过程及答案.

2.第二课时的设计

从例题出发展开“变式”教学，充分发挥例题潜在的价值与功能.限于篇幅，下面只给出变式问题，具体的解答过程不再给出.

变式1：如图5，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=a（a＞0）.

（1）求直线PA与平面PBC的夹角的取值范围；

（2）当a为何值时，二面角A-PB-C的大小为120°；（3）设二面角C-PA-D的大小为θ，直线BP与平面ABCD所成的角为φ，若cosθ=sinφ，求a的值.

意图：通过侧棱PD的长可变，让学生体会坐标法处理动态几何问题的优势，掌握含“参数”的向量运算下，解决空间问题的规律和注意点.

图5

变式2：如图6，在四棱锥PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的菱形，且∠ADC=60°.

（1）求证：AC⊥平面PBD；

（2）若PD=DA，求PA与BD所成角的余弦值；

（3）当平面PAB与平面PCB垂直时，求PD的长.

意图：将底面正方形变为菱形，旨在增加建系的难度，让学生积累灵活建系的经验与对策，提高不规则坐标系下，处理几何问题的能力.

变式3：如图7，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD菱形，BD= 2，PD=2，E是PB上的一点，PE=2EB.

图6

（1）求证：PB⊥平面ACE；

图7

（2）设二面角D-PA-B为直角，求PC与平面PAB所成角的大小.

意图：通过底面菱形的一条对角线AC长可变，进一步强化灵活建系的能力，提高处理动态几何问题的能力，尤其是含“参数”的运算能力.

课外作业：从变式2、3出发，提出值得研究的问题，并给出答案.

四、结束语

“二用”一个课本例题，笔者认识到：从学生的学习需求出发，加上专家的引领，才能更好地去理解教材，并较好地把握“用教材教”的“度”.总之，钻研教材，就是要先“入”教材，再“出”教材.没有对教材的“深入”，也就没有对教材的“浅出”，更没有对教材的“超越”.因此，我们有理由相信：随着自我学习与研究的不断深入，对课改理念的理解与领悟会更加到位、精确与清晰，届时，“三用”例题时，定会呈现出又一番亮丽的景色！

1.章建跃.必须关注教学内容的变革［J］.中小学数学（高中），2010（6）.

2.阮伟强.一道课本例题解法的质疑与探究［J］.中小学数学（高中），2010（6）.

3.高敏，王安成.试论数学教师的创造力［J］.中学数学（上），2013（5）.

4.林生，邱美艳.善为道者微妙玄通——以《数学归纳法》为例［J］.中学数学（上），2014（1）.FH