多维剖析“探”解法思想指导“究”推广
——一道高考题的解法探究及推广历程

☉甘肃省天水市一中 宫前长

多维剖析“探”解法思想指导“究”推广
——一道高考题的解法探究及推广历程

☉甘肃省天水市一中 宫前长

在学习了《数学》（必修2）（人教A版）“圆与方程”一章后，给学生出了一道高考题，为了教给学生如何进行审题、如何进行解题方法的选择、思考角度的选择、数学思想方法的恰当选择和对试题的拓展，做了一次尝试，学生的学习积极性高，课堂效果很好.为此，整理此题的审题方法、思考视角选择及推广取向，请各位同仁指导！

一、问题提出

题目如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圆C2：（x-4）2+（y-5）2=4.

（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；

图1

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

二、盘点试题特点

试题是立足直线和圆的知识进行问题的设置，题目以考查“能力”为立意的试题.主要考查直线的方程、圆的方程及直线与圆的位置关系，是一道侧重于理解与掌握的试题，这些内容在新课标中是属于“理解、掌握”层次的，从问题的设置上看，试题具有如下的特点：

第（1）问采用具体的数据进行“定量”处理，涉及直线方程、圆的知识（弦、弦心距、半径和圆的方程等）、垂径定理、点到直线的距离公式.

第（2）问的设置是采用在定量的基础上进行“定性”的处理，问题是以“存在性探索问题”的方式给出，自然就会给学生创造出对所涉及的问题进行探究的平台，由第（1）问的“定量”到第（2）问的“定性”的过渡，对学生能力的考查是螺旋式上升的.

总之，试题的亮点就会“暴露”出来，题目的内涵是以“运动变化的思维”方式进行了“不变”和“变”的相互转化处理，尤其是“无穷多对”中蕴含了特殊与一般的辩证关系，使所要考查的“直线与圆的位置关系”凸现出来，学生在思考问题时，就会显露出多层次、多方向、多种思维方式进行考察，从某种意义说，此题是值得进行课堂探究的.

三、探究解题思路与方法

教学中，数学审题的讲解很重要，涉及审题思考角度的选择、数学思想方法的恰当选择、确定目标条件的选择、解题操作方法的选择等，这一些都需要勤观察、多联想、对比分析、合理等价表征及大胆的猜想，为解题方案的形成提供了有用的价值.

（1）设直线l的方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0.

由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离d=

（2）通过上述盘点试题特点的分析，就会形成如下几种解题思路.

思路1：根据试题特点的思路探究，得知所求的点满足题意的每一对直线与对应圆的圆心的距离是相等的，即直接设出点P的坐标和过此点的直线斜率，根据点到直线的距离公式得到关于点的坐标和斜率的方程，再利用过所求点的直线对是任意的特征解题.

解法1：设点P的坐标为（m，n），直线l1、l2的方程分别

因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等.

思路2：根据试题特点的思路探究，对所求的点满足题意的每一对直线进行特殊化处理，即此直线对经过圆心，此直线对互相垂直.又其点在两圆心连线的中垂线上，从而形成如下的解法.

解法2：设点P的坐标为（m，n），两圆心C1、C2的坐标是（-3，1）、（4，5），设C1C2的中点M的坐标是PC1⊥PC2且过点P、M的直线与直线C1C2垂直，有解得点P的坐标为

思路3：根据试题特点的思路探究，对过所求的点P满足题意的每一对直线进行特殊化处理，即此直线对互相垂直.又所求点P在两圆心连线的中垂线上，由等圆的方程相减易知中垂线的方程，从而形成如下的解法.

解法3：设点P的坐标为（m，n），由两等圆的方程相减可知两圆心的连线的中垂线的方程是（x+3）2+（y-1）2=（x-4）2+（y-5）2，即14x+8y-31=0.因为点P在中垂线上，所以14m+8n-31=0，与联立，解得点P的坐标为

思路4：根据试题特点的思路探究，对过所求的点P满足题意的每一对直线进行特殊化处理，即此直线对经过圆心，此直线对互相垂直，点P恰好是以两圆心的连线段为正方形的两个顶点（不含两圆心），可以借助相应的等腰直角三角形的知识来解决.

解法4：设点P的坐标为（m，n），两圆心C1、C2的坐标是（-3，1）、（4，5），由两等圆的方程相减可知两圆心的连线的中垂线的方程是（x+3）2+（y-1）2=（x-4）2+（y-5）2，即14x+8y-31=0.因为点P在中垂线上，所以14m+8n-31=0.由等腰Rt△PC1C2知，C1C2=√2PC1，即（4+3）2+（5-1）2= 2［（m+3）2+（n-1）2］，联立上述两个等式，解得点P的坐标

思路5：根据试题特点的思路探究，对过所求的点P满足题意的每一对直线对进行特殊化处理，即此直线对经过圆心，此直线对互相垂直，点P恰好是以两圆心的连线段为直径的圆与其中垂线的交点，很快联立方程组得到所求点的坐标.

在进行社区医院的工作中，对患者进行自我管理模式健康教育是很有必要进行的，社区医院应该充分认识到这一点，做好对患者的安全教育工作，使其配合医院的治疗，从而增强治疗疗效，帮助患者恢复身体健康。

解法5：设点P的坐标为（m，n），两圆心C1、C2的坐标是（-3，1）、（4，5），设C1C2的中点M的坐标是由解法3知两圆心的连线的中垂线方程是14x+8y-31=0.因为点P在中垂线上，所以14m+8n-31=0.以C1C2为直径的圆的方程是（x+3）（x-4）+（y-1）（y-5）=0即有（m+3）（m-4）+（n-1）（n-5）=0，联立上述等式，解关于m、n的方程得点P的坐标为

思路6：由思路4的启发，所求点P一定组成了特殊的Rt△PC1M（点M是两圆心连线的中点），直线C1C2旋转45°后与线段C1C2中垂线的交点是确定的，就是所求的点P，这样形成一种新的简单解法.

解法6：两圆心C1、C2的坐标是（-3，1）、（4，5），设C1C2的中点为M，则由两等圆的方程相减就得到了线段C1C2中垂线的方程（x+3）2+（y-1）2=（x-4）2+（y-5）2，即14x+8y-31=0.又直线C1C2的斜率是，设过点C1且绕点C1旋转45°的直线的斜率记为k，由夹角公式得tan45°=1，解得，此时直线C1C2旋转45°后的直线方程是，联立两个方程，解得.从而得点P的坐标

四、结论拓展，合情推广

通过对试题的分析和解法的探究，就会发现，过所求点的直线对的夹角是直角，也可以改为某一角，但此角的范围是（0，π），由试题特点的几何图形旋转分析，点是存在的，仍在两等圆圆心的连线的中垂线上，从而得到下述结论.

结论1：在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x-a）2+（y-b）2=r2和圆C2：（x-c）2+（y-d）2=r2.设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，满足条件的点P一定在两等圆圆心连线的中垂线上，又在圆心连线为直径的圆上.

结论2：在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x-a）2+（y-b）2=r2和圆C2：（x-c）2+（y-d）2=r2.设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对夹角为α（0＜α＜π）的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，满足条件的点P的坐标一定满足两等圆的方程相减的直线方程，即满足两圆心的连线的中垂线的方程.

由探究解题思路与处理方法中的解法1可知，过某一点的无穷多对互相垂直的直线（割线）被两个等圆所截的弦长相等，在平面中这样的点是存在的.如果其他条件不变，只是将两个“等圆”改为“不是等圆”时，又有怎样的结果？

推广：在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x-a）2+（y-b）2=和圆C：（x-c）2+（y-d）2=相离.设P为该平面上

2的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长之比为r1∶r2，试求满足条件的点P的坐标？（解法参照解法1）

五、总结

对一道数学题的问题“点（知识点、关键点、连接点、结构点等）”的深入剖析，就会破解它提升难度的“线（知识发展“线”、思维联系“线”等）”和“面（解析几何层面、函数层面、向量层面等）”有了更清晰的掌握和理解，为深刻审题和形成解题思路及解法的构思铺平了道路，也就能够把握住这道数学题所反映的数学本质，对提升解数学题的能力大有帮助.像本题的“点”主要是“直线对为什么会过定点”、“如何确定直线对过定点”，其“线”和“面”就是“过定点的互相垂直的直线对具备哪些性质”、“过定点的互相垂直的直线对的个数有多少”等，只要解决了这些问题，就会容易形成解题思路与方法.

在平时的数学学习中，多关注对基础数学问题中所蕴含的思想方法要即时进行归纳、总结，通过对数学问题中的问题“点”进行讲命题立意、说题意、探题理、寻方法等“线”和“面”活动，深化思维，自然凸现优美解法，真正回归到教材中在基础题上进行挖掘、提炼思想方法，形成高效课堂.

1.罗增儒．数学解题学引论［M］．西安：陕西师范大学出版社，2008.

2.宫前长.关注几何性质唤出简捷解法［J］.中学数学（上），2010（10）.

3.宫前长.高考数学复习的根本：回归教材［J］.中学数学（上），2014（4）.FH