挖掘代数结构渗透数学思想
——2014年浙江高考数学文科第16题解法探究

☉浙江省杭州市余杭区教育局教研室 陈朝阳

挖掘代数结构渗透数学思想
——2014年浙江高考数学文科第16题解法探究

☉浙江省杭州市余杭区教育局教研室 陈朝阳

题不在大，有“神”则灵.试题的“神”体现在试题的结构上，体现在蕴含的数学思想上，体现在知识的背景上，体现在对数学思想方法合情合理的要求上.2014年浙江省高考数学文科第16题以其独特的代数结构，丰富的知识内涵，可以多方面检测学生对基础知识、基本技能和基本数学思想的掌握情况.根据试题条件与结论之间代数结构的挖掘，多角度切入，全方位探究，可以得到多种不同的解法，从而培养或提升学生的数学思维能力.

题目：已知实数a、b、c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值为_________.

一、在消元思想支配下求解

解法1（主元法：构造为方程）：由a+b+c=0，得b+c= -a①.

将条件a2+b2+c2=1配方，得a2+（b+c）2-2bc=1.将①代

解法2（主元法：转化为方程）：由a+b+c=0，得c=-（a+ b），代入a2+b2+c2=1，得

评析：此题最明显的代数结构呈现是变量多，而多变量问题通常考虑“多变一”，选定一个变量作为主元，通过减元转化.解法1中，转化成韦达定理的形式，构造含a的一元二次方程，进而由判别式可得结果.解法2直接消去c后，得到a、b的二元形式，把它看成关于实数b的一元二次方程，再利用判别式也可得结果.

二、构造不等式思想支配下求解

因为（b+c）2≤2（b2+c2），所以a

解法4（利用不等式：基本不等式2）：由a+b+c=0，得c=-（a+b），代入a2+b2+c2=1，得

解法5（利用不等式：基本不等式3）：由a+b+c=0，a2+ b2+c2=1，得a=-b-c，1-a2=b2+c2≥

解法6（利用不等式：基本不等式4）：a2+b2+c2=（a+b+ c）2-2（ab+bc+ca）=-2（ab+bc+ca）=1⇒ab+bc+ca

解法7（利用不等式：基本不等式5）：实数a的最大值必然大于0.

利用不等式（x+y）2≤2（x2+y2），得：

解法8（利用不等式：柯西不等式）：由a+b+c=0，得c=-（a+b），代入a2+b2+c2=1，得

令a=x+y，b=x-y，则6x2+2y2=1.

评析：此题的条件中两个等式的代数结构简洁，可以利用基本不等式、柯西不等式来处理最值问题.如何充分挖掘题设条件，分析式子的代数结构特征，并合理利用基本不等式或柯西不等式得出等号成立的充要条件，是完成在“不等”中挖掘“等”这一解题模式的关键.

三、在变换思想支配下求解

解法9（代换：三角代换1）：由a+b+c=0，得c=-（a+b），代入a2+b2+c2=1，得

解法10（代换：三角代换2）：由a2+b2+c2=1，得b2+c2= 1-a2.

评析：1-a2=b2+c2，视点（b，c）在以原点为圆心为半径的圆上，为三角变换打下基础.利用三角换元是处理多元问题的常用手段，但解答本题过程较烦琐，这也警示我们：在解题方法上不能墨守成规，应因地制宜选择最佳解题方法，培养思维的敏捷性和灵活性.

四、在配方思想支配下求解

解法11（配方法）：由a+b+c=0，得c=-（a+b），代入a2+

五、在数列构造思想支配下求解

解法12（构造等差数列）：由a+b+c=0，可得-a=b+c，此式说明d，代入a2+b2+c2=1中，整理得0，则a

六、在解析几何思想支配下求解

解法13（解析几何思想）：令b=x，c=y，则x+y=-a，x2+ y2=1-a2.

评析：把条件a+b+c=0、a2+b2+c2=1中的b、c看成变量x、y，则是直线与圆的关系问题.联想到圆心到直线的距离不大于半径，能得到关于a的不等式，就可以求得a的最大值.这也需要有敏锐的眼光和解析几何的功底，才能从式子中看出其特征.

七、在逻辑分析思想支配下求解

解法14（逻辑分析思想）：因a+b+c=0，所以a取最大值的必要条件是a＞0，故当且仅当b=c＜0时，a取最大值，

评析：由条件a+b+c=0及目标的挖掘，可知a取最大值的必要条件是a＞0，当且仅当b=c＜0时，a取得最大值，这需要应试者具有较好的逻辑思维能力，正是应用逻辑分析思想，使得原本的三变元问题化归到二元方程求解，求解思维巧妙而深刻.

从试题的结构、背景、解法等方面进行探索，我们可以在高观点下更透彻地理解高考数学试题的命题意图，从一道题可以看到一类题；通过对高考数学试题的多角度的分析，可以沟通方程、函数、不等式、三角、几何、逻辑等知识间的内在联系，发现此类问题的规律，探求出解决它们的常用方法，从而形成解题模式，进而可达到快速“模式识别”.反思本题的多种解法，其思维是充分发散的，但问题的本质和结果却高度聚焦，折射出试题的丰富内涵和数学本质！多种解法，揭示的仍是通性通法，以及其思维产生、发展和深化的过程，能归纳解题的方法、技巧、规律，从中领悟基础知识、基本思想、基本方法的应用.

G.波利亚说得好：没有任何一道题是彻底完成了的，总还会有些事情可以做，在充分进行研究和洞察后，我们可以将解题方法不断加以改进，深化对答案的理解和感受，期待涌现出更多、更优、更美的解法.