“不等式”起始课的教学与思考

☉江苏省如东县实验中学　茅玲玲

“不等式”起始课的教学与思考

☉江苏省如东县实验中学茅玲玲

笔者最近在一次教学观摩活动中执教“不等式”起始课，受到观摩教师的好评，本文展示该课的教学预设，并给出教后反思，与更多同行研讨.

一、“不等式”起始课的教学预设

（一）学习目标

（1）类比方程学习不等式.

（2）以章前图“甲、乙两商场”的生活问题为主线，引导学生自主定义、探究、建构不等式新知.

（3）理解不等式学习“基本路径”，为后续不等式具体内容的学习打好基础.

（4）经历情境问题的求解，感受模型思想，积累分类讨论方法，思辨独立思考与团队合作.

（二）重点、难点

理解不等式学习的“基本路径”，初步探索不等式的性质，会解简单的一元一次不等式.

（三）学习过程

1.情境问题

引例：甲商场购买某种商品超过100元后，超出100元的部分按90%收费.

（1）若累计购物200元，则实际花费多少元？

（2）若实际花费190元，则累计购物多少元？

预设：

（1）实际收费100+0.9（200-100）=190（元）.

（2）100+0.9（x-100）=190，即0.9x+10=190，解得x= 200.

追问1：这是一元一次方程，定义是：含有一个未知数，并且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程.

追问2：怎样解一元一次方程？

预设：去括号、移项、系数化为1.

移项的依据是什么？系数化为1的依据呢？

预设：等式的基本性质1、2.

例题：甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费.顾客到哪家商场购物花费少？

预设：

针对三种情况进行讨论.

（1）什么情况下，到甲商场购物花费少？

预设：100+0.9（x-100）＜50+0.95（x-50）.

（2）什么情况下，到乙商场购物花费少？

预设：100+0.9（x-100）＞50+0.95（x-50）.

（3）什么情况下，到两商场花费一样？

预设：100+0.9（x-100）=50+0.95（x-50）.

引入不等式的学习、定义、举例、探究性质、解法等.

2.新知学习

类比方程自主探究、建构不等式的概念、性质、解法等（板书规划如下）.

学法指导：阅读学生写作.

“实验发现”不等式的性质

七年级小陈

学习不等式的性质时，我模仿七年级上学期学习等式的性质的方法，也选了一些特殊数据进行“实验”.

计算：

（1）5＞3，5+2________3+2，5-2________3-2；

（2）-1＜3，-1+2________3+2，-1-3________3-3；

（3）6＞2，6×5________2×5，6×（-5）________2×（-5）；

（4）-2＞-3，（-2）×6________3×6，（-2）×（-6）________3×（-6）.

于是，我发现：……

预设意图：安排学生跟进计算、填空，猜想、发现不等式的性质，并质疑性质，从而引导学生发现不等式性质3；最后归纳出如下的不等式性质1～3.

不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.

不等式性质2：不等式两边乘（或除）以同一个正数，不等号的方向不变.

不等式性质3：不等式两边乘（或除）以同一个负数，不等号的方向改变.

符号表达：

不等式性质1：如果a＞b，那么a±c＞b±c.

进一步，安排学生举例解简单不等式.如x-7＞26，3x＜2x+1，-4x≥3等.

3.解决问题

情境问题继续解决.分三种情况讨论.

（1）累计购物不超过50元；

（2）累计购物超过50元而不超过100元；

（3）累计购物超过100元时，设累计购物x（x＞100）元，又可分三种情况进行讨论.

①什么情况下，到甲商场购物花费少？

预设：100+0.9（x-100）＜50+0.95（x-50）通过数轴“数形结合”表示后，记作x＞150.

②什么情况下，到乙商场购物花费少？

预设：100+0.9（x-100）＞50+0.95（x-50）.通过数轴“数形结合”表示后，记作100＜x＜150.

③什么情况下，到两商场花费一样？

预设：100+0.9（x-100）=50+0.95（x-50）.当x=150时，到两商场花费一样.

4.课堂小结，变式设问

引导学生小结本课所学知识，进一步给出开课情境问题的变式问题，提供给学生课后继续思考.

变式追问：甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费.

设累计购物x元，

（1）当到两商场花费一样时，求x的取值范围；

（2）当到甲商场花费较少时，求x的取值范围；

（3）当到乙商场花费较少时，求x的取值范围；

（4）……

预设意图：渗透数学建模思想，体现分类讨论思想，传递数学问题在数学发展过程中的推动作用（如费马大定理历经358年的证明过程，更重要的不是问题的最终攻克，还在于为了解决这个世纪难题，推动了数学诸多分支的发生和发展）.

二、教后反思

1.基于“整体观”，追求“前后一致，逻辑连贯”的教学

章建跃在《数学教育之取势明道优术》一文中指出：“教好数学”的内涵应该是“为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”.并进一步指出“在面对一个新的数学研究对象时，要有‘整体观’，要先为学生构建研究的整体框架”.基于上述“整体观”理念，我们从一个熟悉的情境问题出发，引导学生类比方程学习不等式；类比等式的性质发现不等式的性质；类比方程的解法学习不等式的解法等.目的就是向学生渗透“前后一致，逻辑连贯”的不等式学习.

2.基于“生活情境”，引导学生经历“数学建模”的全过程

数学教学需要不断追求数学的本质，包括数学是什么？为什么进行数学教学？价值定位是什么？数学育人，如何让学生形成自己的数学素养？史宁中教授说，数学的基本思想包括抽象、建模、推理.如果把握不住就是“烧中段”（去头、掐尾、烧中段）.我们开课阶段安排的情境问题是一个熟悉的生活情境，整节课都是围绕这个生活情境开展，其求解过程就是引导学生经历了数学化、选择工具、解决问题的数学建模过程.

1.章建跃，陈向兰.数学教育之取势明道优术［J］.数学通报，2014（10）.

2.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013（6）.

3.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

4.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.