基于经验自然延续的教学
——以“角的表示”为例

☉江苏省如皋市石庄镇初级中学　吕爱勤

基于经验自然延续的教学
——以“角的表示”为例

☉江苏省如皋市石庄镇初级中学吕爱勤

在学生的数学认知活动中，基本活动经验有着巨大的作用.它是学生获得新知的前提和基础，没有经验参与的数学活动是不能深刻持久的，学生的所获是很难融入到已有知识结构中去的.因此，在数学教学中，我们应从他们固有的经验入手，设置基于经验之上的数学探究活动，让学生的认知在固有经验上自然延续.本文将结合“角的表示”教学片断，谈谈基于经验自然延续的教学，希望能引发您的思考.

一、“角的表示”教学片断及简析

图1

1.回顾旧知，用交流唤醒经验

教师：（投影一个点）这里有一个点，你能给它起个名字吗？

学生1：点A.（教师板书：a）

学生（齐）：错了，应该是大写字母A.

教师（恍然大悟的样子）：哦！看来老师记错了！在表示什么几何图形时，可以用小写字母？

学生2：线段，直线，射线.

教师：是吗？（投影图1，注：这里不含字母，图中字母随着教学进程逐渐添加）这三条线该如何表示呢？

学生3：用两个大字字母.

投影：在三条线上分别出现两个大写字母.并请学生作答.

学生4：第一条是直线AB；第二条为射线OP；第三条为线段MN.

教师：还有其他不同的表示方法吗？

学生5：第一条还可以说成是直线BA.

学生6：第三条也可以说成是线段NM.

教师：这种表示方法和刚才的表示方法相比，有什么不同？

学生7：两个字母的位置颠倒了！

教师：可以这么表示吗？

学生8：可以！从“公平”的角度看，两个字母都可以放在前面.

教师：很好，看来这两种表示方式都是可以的.那么，还有没有其他表示方法了？

学生9：还可以用小写字母表示.

教师：好的，你说说看.

学生10：第一条可以表示为直线a；第二条可以表示为射线l；第三条可以表示为线段m.

在学生10发言过程中，教师用电子笔在课件上进行相应标注，如图1.

教师：你说得完全正确！那么，在我们的已有经验中，点和“线”（特指直线、射线、线段，师生先前已经达成共识，下同）是怎样表示的呢？

学生11：只能用一个大写字母表示点.

教师：表示直线、射线和线段呢？

学生12：既可以用一个小写字母表示，又可以用两个大写字母表示.

教师：在表示“线”的时候，这两个字母表示的是什么？

学生13：是“线”上的两个点.

简析：通过前两课的学习，学生已经掌握了用字母表示点和“线”的方法，积累下获得这些知识的经验，它们是后续几何学习的起点.在本节课的认知活动中，前两课积累的“用字母可以表示几何图形”，“用大写字母表示几何图形”、“用小写字母表示几何图形”，以及“表示点、直线、射线、线段”这一系列经验等都可以得到有效延续.所以，唤醒这些经验显得十分重要.片断1中，教者从表示“无名点”、“无名线”入手，巧妙设问，让学生重回认知情境，有效唤醒已有经验，为下一步获取新知做好了准备.

2.探究新知，用追问激活经验

教师：表示点只有一种方法，而表示线可以有两种方法.那么表示这个角（投影图2），你有几种方法呢？

图2

学生（齐答）：三种.

教师：是吗？说说看是哪三种？

学生14：∠O或∠AOB或∠BOA.

教师：这能算三种吗？

学生15：不能.

教师：为什么？

学生16：在表示直线时，直线AB和直线BA只能算一种.

教师：这个例子举得好！看来，用一个大写字母表示和用三个大写字母表示只能算一种了！你们同意吗？

学生（齐）：同意！

教师：这种表示方法，有没有什么要求呢？学生17：用一个字母表示，只能用顶点.教师：为什么？

学生18：角是有公共端点的两条射线组成的图形，这个公共端点就是它的顶点.也只有用这个点来表示这个角时，两条射线才会“服气”.

教师：嗯！有道理！要不然两条射线可要“打架”了.

学生19：老师，我知道了，用三个字母表示角的时候，在顶点之外的两条射线上也各取了一个点，这样做也是为了“公平”.

教师：有点道理.那么，这三个点写的时候要注意什么呢？

学生20：顶点写在中间，这样就不会“疏远”任何一条射线了.

教师：看来为了“公平”，我们写这三个字母还是要注意哟！

简析：顺着“点的表示方法只有一种，线的表示方法有两种”，让学生猜想角有几种表示方法，这是认知经验的自然延续.学生得出“三种”，应该是在情理之中的.学生14给出的用一个或三个大写字母表示的方法仅是教者期待的方法之一，教者抓住这一生成，利用学生的经验，让他们较为深入地明晰这“三种”用大写字母表示角的联系与区别.在此过程中，学生能类比直线的表示方法，明晰“∠AOB、∠BOA和∠O”都是同一种方法，实属不易.如此探究，让学生脑海中“公平”经验得以强化，为下一步的生成与应用夯实了基础.

3.即时巩固，通过应用固化经验

图3

教师：图3中有几个角，该如何表示这些角呢？

学生21：有两个角.

学生22：不对！应该是三个角！

教师：到底几个？

学生23：三个.

教师：哪三个？如何表示？

学生24：∠COA和∠BOA和∠O.

教师：这样表示行吗？

学生25（很激动）：不行！不能用∠O表示这里的任何一个角！

教师：为什么？

学生26：O点既是∠AOC的顶点，又是∠BOC的顶点，还是∠AOB的顶点，用∠O表示其中任何一个角都不“公平”.

教师：很好！看来这些角是不能用∠O表示了！那么什么情况下能用一个大写字母来表示角呢？

学生27：同一顶点处只有一个角.（说明：七年级学生所认知的角一般都小于平角）

教师：你说得真对！这一点今后大家在用大写字母表示角时可要注意哟！

简析：追求“公平”，不让一个点、一条线不“服气”，上一个教学片断中的经验得到延续.学生从“一个顶点，多个角”的问题展开思考，通过表示一些具有公共顶点的角，将刚刚获得的经验进一步应用.“这样表示行吗”，一句简单的追问，让前一片断中的经验在辨析交流中进一步延伸.新知得到了巩固，经验被不断强化，随着几何学习的深入，这节课上的经验将会逐渐被“固化”，融入学生的知识网络之中.

4.再获新知，用探究积淀经验

教师：我们已经学习了用大写字母表示角的方法，猜一猜，我们有没有其他方法表示角呢？

学生28：应该还可以用小写字母表示吧！

教师：是的！不过为了与“线”的表示方法略有区别，我们这里用希腊字母来表示角，如图2中的∠AOB，我们还可以表示为∠α.（投影图2中的弧线及字母“α”）

教师：刚刚我们猜想可以用三种方法表示角，猜想一下，有没有比用希腊字母表示角还容易的方法？

学生29：用数字表示.

教师：何以见得？

学生30：数字比字母更容易写，而且不受数量限制.

教师：非常棒！你的猜想符合规律，这个角还可以表示为∠1.（投影：将图2中的字母“α”隐去，投影数字“1”），像图3中的∠AOC也可以表示为∠2.（投影）

教师：下面，我们一起来小结一下角的表示方法.

学生31：可以用大写字母表示.

学生32：不仅可以用希腊字母表示，还可以用数字表示.

教师：刚才的学习给了你什么启示？

学生33：表示角的方法很多，我觉得用数字表示角最简单.

学生34：如果顶点处只有一个字母，可以用表示顶点的字母表示这个角.

教师：很好！今后，在解决几何问题时，用什么样的方式去表示角，应取决于问题所处的图形情境.灵活应用三种表示方法，将简化你的解题过程！

简析：片断1中用小写字母表示“线”的经验，在这则片断中得到了很好的延续.师生对话，有效点燃了学生用“小写字母”表示角的热情.这一经验延续，对后续几何内容的学习十分重要.此外，“有没有比用字母表示角还要容易的方法”，激活了学生求简的经验，能想到用数字来表示实属不易.暂不考虑该生是如何发现这一方法的，最起码他陈述的数字表示角的优越性确实令人信服.“简便，不受个数限制”，个体经验的放大，引发了其他同学的深层思考.丰富的生成随着经验的延续自然呈现，令人欣慰！

二、教后反思

历经这次基于经验自然延伸的数学教学，笔者感慨良多，经验是蕴藏于人的认知网络深处的知识，它是隐性的，只在特定时点上才能发挥其价值.因此，我们必须正视学生的经验并运用好这些经验.

1.重现认知情境能有效唤醒学生的已有经验

经验的隐性特征决定了其教学应用中的价值较难发挥.在初中数学教学中，要为学生创设出合适的情境，尤其是最初学生能够积累下这一经验的情境，这样的设置极易带领学生重回旧境，唤醒他们的固有经验，服务于新知的学习.以本文所述片断为例，“点的表示”、“‘线’的表示”均是“从‘无名’走向‘有名’”，“从无法走向有法”，这样的过程是一致的.在教学中，教者让学生重回知识建构的原情境，知识回顾的过程实则也恰到好处地激活了学生获取知识积累下的“用字母表示几何图形”（点、线）的经验.情境的重现，让学生浮想联翩，唤醒了诸多共性经验，如，“只能用一个大写字母表示点”，“直线AB和直线BA是同一条直线”；也不乏一些个性化的经验，如，“公平”的经验等.这些数学认知活动中的经验和生活中的经验，对数学学习是十分有效的.从教学效果看，后面三则片断几乎都沿用了片断1中梳理出的经验.由此可见，认知情境的再现，对唤醒学生固有经验的作用是巨大的.

2.顺势而为是经验得以延伸的基本保证

学生的认知是有规律的，只有符合个体需求的知识才能进入其知识网络.此外，我们还应保证进入的方式必须是学生主体最适宜接受的，否则，对今后的生活作用再大的知识也不一定会融入已有的结构.所以，引导学生获得新知的方式就显得很重要了！笔者认为，在已有知识和经验之上的“顺势而为”是一种有效的手段，有利于学生从已有的认知网络中捕捉到新知的“生长点”.教师的引导是这种顺势而为的“推手”，学生在一个个追问下自然会顺势生成符合教学要求的新知.基于经验唤醒下的数学活动，学生的探究，有旧知（知识与经验）的铺垫，加之学生的主动参与，教师只需顺着学生的交流进行适度矫正，固有的经验便会得到自然延伸，新知的生成自然会十分顺利了.以上面的片断为例，在学习“角的表示”前，学生已经具备了“用字母表示点和‘线’的经验”，这些是“新鲜”的，沿着新鲜的学习经验，老师的顺势而导，学生在猜想与验证中获取了本节课应得的新知，并同步实现了经验的积累和能力的提升.

三、写在最后

经验不仅存在于学生生活中，还存在于学生的数学学习中，作为一种隐性的知识，无论是生活中的经验，还是数学学习中的经验，抑或是其他学科认知活动中的经验，都可以成为学生获取新知的起点.在教学中，笔者就是利用这些固有经验，让他们在学生的认知活动中延伸叠加，不断充实学生的数学认知结构，让更多的数学知识有序地融入到知识网络中去.如此一来，学生的数学探究会随着经验不断应用与叠加渐行渐远，让他们的数学知识网络日益丰满充实.