一类动态型试题的命题特点与实践
——以近五年本区中考模拟试题为例

☉浙江省宁波市江东区教研室潘小梅

一类动态型试题的命题特点与实践
——以近五年本区中考模拟试题为例

☉浙江省宁波市江东区教研室潘小梅

所谓动态型试题，是以几何图形或几何图形中的一个或几个元素为研究对象，通过一定的运动方式，探索图形中某些元素的位置关系和数量关系，达到考查学生运用知识解决问题能力为目的的一类试题.这类试题常常集几何、代数于一体，有较强的综合性和灵活性；它揭示了运动过程中数量关系和位置关系在一定条件下可以相互转化，蕴含“运动”与“静止”、“特殊”与“一般”的辩证思想.正因如此，动态型试题越来越受到中考命题者的青睐，成为中考命题的焦点.那么，从命题的角度看，动态型试题有哪些特点呢？本文试图以近五年命制的动态型试题为例，从命题的视角来剖析一类动态型试题的命题特点，和各位同行交流分享.

一、动态型试题的命题特点剖析

动态型试题以运动观点探究几何图形的变化规律，重在考查学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力.因此，不管从宏观的试题结构，还是从微观的设问方式来看，它都具有自身的命题特点.现结合一道笔者亲自参与设计的经典动态型中考试题来剖析动态型试题的命题特点.

图1

例1如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度，得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q.

（1）四边形OABC的形状是_________，当α=90°时，的值是__________.

（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴时，求的值；

②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积.

（3）在四边形OABC旋转过程中，当0＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=BQ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图2

图3

图4

详细解答如下：（对学生无此要求）

如图4，过点Q作QH⊥OA′于点H，连接OQ，则QH=OC′=OC.

①如图4，当点P在点B左侧时，OP=PQ=BQ+BP=3x.

在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）2，解得（不符实际，舍去）.所以所以

图5

②如图5，当点P在点B右侧时，设OP=PQ=BQ-BP=x，则PC= 8-x.

在Rt△PCO中，（8-x）2+62= x2，解得x=

1.动态变化特征：改变图形的位置关系或数量关系动态型问题关键是图形的“运动”，图形的动态变化表现为图形位置的改变或图形形状、大小的改变.那么，图形或图形中的一个或几个元素如何才能动起来？改变图形位置的常用策略是图形上的点按照某种规律运动（如沿直线或曲线的图像匀速运动）或图形的变换（如平移、旋转、轴对称、位似等）；改变图形形状和大小的常用策略是改变决定图形形状和大小的参数，如改变图形中角的大小或边的大小等.例1中四边形OABC位置的改变就是通过旋转变换改变图形的位置，探索不同位置下的值与旋转角度之间的关系.不同的运动方式决定了不同的表述方式，要求表述清晰、简洁，准确地表达动态变化的规则和形式.

2.试题考查特点：寓函数思想于动态变化过程之中

由于动态型试题一般反映了动态变化过程中，图形的位置关系和数量关系的相互转换，因此，试题往往会遵循学生平时探究问题的习惯和思路，试题呈现的一般结构为：

如例1中，先在题干中给出平面直角坐标系中的四边形OABC，并给出了图形运动的方式（旋转变换），然后提出问题：“的值与旋转角度α之间的关系”，整道试题围绕这个问题展开设问，让学生在解决问题的过程中感受位置关系随着数量关系的变化而变化，反之，数量关系也随着位置的改变而改变，将运动中的函数思想渗透在试题中.

3.设问的特点：从特殊到一般，体现探究问题的习惯和方法

动态型试题的基本图形和运动方式一般在题干中给出，因此，题支就围绕需要解决的问题展开设问.设问不仅要体现函数思想，更要遵循平时探究问题的习惯和解决问题的思路.由于函数表示的是两个变量之间的依存关系，因此，设问的顺序一般遵循从特殊到一般的方式：如例1的第1问、第2问都是对四边形OABC特殊位置的设问（四边形OABC的顶点落在y轴上或直线BC上）.第3问寻求旋转变化过程中的一般规律，这和学生平时的思考习惯正好吻合，体现了研究的过程和策略.那么，设问中如何体现函数思想呢？方法是根据位置关系设问数量关系或根据数量关系设问位置关系.如例1的第1问先让学生判断四边形OABC的形状和旋转角为90°时的值，为后续问题的展开奠定基础；第2问根据位置关系（四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴时；四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时），设问数量关系（求的值；求△OPB′的面积），考查了相似三角形的性质与判定、运用勾股定理建立等量关系的方程思想，同时，让学生在解决问题的过程中逐渐明晰旋转变化过程中各个量之间的关系（如△OPQ始终是等腰三角形），为第3问的解决提供隐性的铺垫.第3问反过来进行设问，从数量关系设问位置关系（求点P的坐标），要求学生运用解决前面两问积累的经验深入思考运动过程中的数量关系，充分考查了学生迁移经验综合解决问题的能力，同时，由于运动状态下数量关系的唯一并不代表位置关系的唯一引起分类讨论，巧妙地考查了“分类讨论、转化”等数学思想方法，并把函数思想体现在试题中.

二、动态型试题命题尝试

从以上剖析可知，动态型试题有其自身的特点与规律，那么，如何命制一道动态型试题？笔者在命题实践中一般经历如下的研究过程：确定动态变化的条件→寻找动态过程的变量→研究特殊情形（特殊位置或特殊图形）→运用动态过程中的不变性提出问题.以下笔者以近5年本区中考模拟试题为例来介绍动态型试题的命题过程和经验.

1.通过图形变换改变图形位置

例2（2010年宁波江东区中考模拟试题）如图6，矩形ABCD内接于圆O，将矩形ABCD绕圆心O按顺时针方向旋转α（0＜α≤90°）得到的矩形A′B′C′D′仍然内接于圆O.设旋转后的矩形落在弓形AD内的图形的周长为C.已知AB=6，AD=8.

（1）如图7，当α=90°时，旋转后的矩形落在弓形AD内的图形是四边形A′B′EF，则四边形A′B′EF的周长是_______.

（2）如图8，当旋转后的矩形落在弓形AD内的图形是四边形时，求sinα的范围，并比较四边形A′B′EF的周长和圆O的直径的大小关系.

（3）当旋转角α为何值时，旋转后的矩形落在弓形AD内的图形是等腰三角形？此时等腰三角形的周长是多少？

图6

图7

图8

解析：（1）易知四边形A′B′EF的周长是14.

（2）如图9，当旋转到点B′与点A重合时，旋转角即为∠AOB，在△AOB中，可求得它的正弦值为，当点B′过了点A后旋转的矩形落在弓形AD内的图形开始变为四边形，所以sinα的取值范围是0＜sinα＜.如图9，四边形A′B′EF的周长为线段AB和线段AD的长度之和，思路很多，如：证△A′FD和△AEB′是等腰三角形；证△A′FA≌△DFD′等.在△ABC中，由三角形两边之和大于第三边可知四边形A′B′EF的周长大于圆O的直径.

图9

（3）如图10，设A′B′与AD、AB分别相交于点M、P，A′D′与AD相交于点N，并设A′M=a，AM=b，当旋转45°时△A′MN是等腰三角形.∠A′=90°，知△A′MN和△AMP都是等腰直角三角形，同（2）易证A′N=DN，AP=B′P，故AD=AM+MN+ND=b+a+a=8，A′B′=A′M+MP+PB′=a+b+b=6.由AD-A′B′得a-b=2，所以a-b=，即A′MAM=.故△A′MN的周长=AD+=8+

图10

本题编拟过程及命题意图如下：

（1）确定动态变化的条件.《数学课程标准》要求能探索图形变换的性质，感悟图形研究中的运动变换思想，以动态、相互联系的观点理解图形的性质及相互关系.因此，确定旋转变换作为考查的对象.常见的图形旋转问题会把三角形或四边形进行旋转，命题时希望能有所创新，所以别出心裁地将矩形放在圆中进行旋转，开辟了旋转变换问题的新视角.

（2）寻找动态过程的变量.变换问题本质上是以数量关系来刻画位置关系.运用几何画板探索发现，“旋转后的矩形落在弓形内的图形的周长”和“旋转角度”有密切关系，从而确定问题研究的主线是“探究旋转后的矩形落在弓形内的图形的周长和旋转角度之间的关系”，即问题的两个变量是周长、旋转角.

（3）研究特殊位置.运用几何画板动态展示发现，旋转后的矩形落在弓形内的图形可能是三角形，也可能是四边形，其中最特殊的位置是旋转角为90°的情形，此时落在弓形内的图形是一个长方形，而这个长方形的周长竟然代表着所有落在弓形内的四边形的周长.

（4）研究设问的方法.为了让学生探究“旋转后的矩形落在弓形内的图形的周长和旋转角度之间的关系”这一问题，遵循学生认识事物的顺序展开设问：设问1——先从最简单的情况入手，让学生观察图形并获得直观感知，轻松地进入解题状态；设问2——通过图形特殊位置让学生比较图形周长和圆的直径大小，仍然紧扣核心问题，加深对问题的认识，而且设问2的解法多样，给了他们广阔的展示自身学习水平的空间；设问3——反过来，由确定的旋转角度来探索周长，整个问题的解决还需要运用整体思想，对学生提出了很大的挑战.3个问题覆盖初中阶段众多知识点：圆、三角形全等、等腰三角形性质、三角形三边关系、勾股定理、方程，以及旋转变换、整体思想、化归思想等，设问由特殊到一般，层层递进.能够诱发学生开展积极的、深层次的思考，进而反映出学生的数学思维水平.

2.通过点动改变图形位置和形状

例3（2012年宁波江东区中考模拟试题）已知：如图11，抛物线C1：y=（x-m）2+n（m＞0）的顶点为A，与y轴相交于点B，抛物线C2：y=-（x+m）2-n的顶点为C，并与y轴相交于点D，其中点A、B、C、D中的任意三点都不在同一条直线上.

图11

图12

（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由.

（3）是否存在m、n的值，使四边形ABCD是邻边之比为1的矩形？若存在，请求出m、n的值；若不存在，请说明理由.

解析：（1）略.

（2）m=3，n=0.

本题编拟过程及命题意图如下：

（1）确定动态变化条件.四边形和抛物线相结合的图形比较常见，尤以四边形的某些点在同一条抛物线上的问题居多.本题以两条成中心对称的抛物线为蓝本构造四边形ABCD.四边形ABCD的顶点由抛物线的解析式确定，这样一旦抛物线的顶点运动，四边形ABCD的形状和大小便随之运动.用“点动”带动“形动”也是常用的动态条件.

（2）寻找动态过程变量.本题中“四边形ABCD的形状”随着“抛物线顶点的位置”变化而变化，这样动态变化的变量就形成了.

（3）研究特殊情形.四边形ABCD的形状随着顶点A位置的改变而改变，当顶点A在某一个特殊的位置时，四边形ABCD可能是正方形，也可能是矩形，反过来，当四边形的形状确定时，相应的四边形ABCD的形状也就随之而确定了.

（4）研究动态问题设置.例3的第1问让学生判断四边形ABCD的形状，证明的方法有别于平时学生遇到的几何证明，需要结合抛物线的解析式加以证明.第2问反过来由四边形的形状设问抛物线顶点的位置，考查了特殊位置（点A落在x轴上时），四边形ABCD的形状与抛物线的顶点之间的关系.第3问再问抛物线的顶点运动至哪些位置时，可以使得四边形ABCD是边长之比确定的矩形.让学生在问题解决的过程中感受“四边形ABCD的形状如何随着点的运动而变化，感受动态问题中的函数思想.

3.通过设置参数改变图形形状

决定图形形状和大小的是图形的边和角，因此，我们可以通过改变图形本身的角或边的大小来改变图形的形状或大小，从而使图形动起来.

例4（2013年宁波江东区中考模拟试题）如图13，分别以矩形ABCD的一组对边AD、BC为一边在矩形ABCD外作菱形ADEF和菱形BCGH，∠FAD=∠HBC=α（0＜α≤90°），点O是矩形ABCD的边AB的中点，连接OE、OG、EG.

（1）小明在探究中发现：如图14，当α=90°时，有以下两个结论成立：①OE=OG；②AB∥EG.于是，小明猜想：“当α≠90°时，以上两个结论仍然成立.”你同意他的猜想吗？请你分别作出判断，并说明理由.

（3）若矩形ABCD的边长AB=4，AD=5，当△OEG的中位线长正好等于线段AD长时，请你直接写出sinα的值.

图13

图14

图15

解析：（1）以上两个结论仍然成立.

①OE=OG的证明方法有如下3种.

方法1：如图16，延长OA、EF交于点M，延长OB、GH交于点N，先证△FAM≌△HBN，得FM=HN，从而EM= GN，再证△EMO≌△GNO，得OE=OG.

方法2：如图17，连接AE、BG，先证明△EDA≌△GCB，得AE=BG，再证明△EAO≌△GBO，从而OE= OG.或者：如图18，连接OD、OC，先证明△AOD≌△BOC，再证明△EDO≌△GCO，得OE=OG.

图16

图17

图18

图19

方法3：如图19，取CD的中点M，连接OM并延长交EG于点N，连接EM、GM，先证明△EMD≌△GMC，再证明OM⊥CD，证明△EMO≌△GMO，得OE=OG.

②AB∥EG的证明方法有如下4种.

方法1：如图20，在第①小题得OE＝OG，∠GOB＝∠AOE的基础上，证明∠GOB＝，∠EGO＝，从而得AB∥EG.

图20

图21

方法2：如图21，在已证EM＝GN，∠M＝∠N＝90°的基础上，证明四边形EMNG是矩形或平行四边形，从而得AB∥EG.

方法3：如图22，在已证OE＝OG，∠OED＝∠OGC的条件下，证明∠DEG＝∠CGE，∠EDC＝∠GCD，利用四边形内角和，得到∠CGE＋∠GCD＝180°，从而AB∥EG.

图22

图23

方法4：如图23，过点D作DM⊥EG于点M，过点C作CN⊥EG于点N，在已证明OE＝OG的条件下，证明△EDM≌△GCN，得DM＝CN，再证明四边形CDMN是矩形，得到CD∥MN，从而得到AB∥EG.

本题编拟过程及命题意图如下：

（1）确定动态变化条件.搜索全国各地的中考题，发现常见的图形动态问题的特征为以单一图形上点（单点、双点、多点）的运动或变换（平移、旋转、轴对称）引起的动态问题，于是脑子中出现了多图组合的设想.首先想到了当矩形和菱形有一边长相等的时候，可以组合在一起，在几何画板中构造了图24：由2个全等的菱形和1个矩形组合成的复合图形，拖动点B可以改变矩形ABCD的边长大小，拖动点E可改变菱形ADEF的内角大小，则四边形BCGH的形状也随着改变，但两个四边形始终保持全等.

图24

图25

（2）寻找动态过程的变量.图24中四边形ADEF和BCGH的形状随着改变，但图形太过简单提不出一个合适的综合性问题.所以想到再增加一些线段，由于图24本身是轴对称图形，继续构造轴对称图形得到图25，出现了一些三角形.在图25中拖动点E，发现线段EG始终与AB平行，且它的长度随角度的改变而改变.这样就找到了动态过程中的一对变量：“线段EG的长度”随着“菱形的一个内角”（不妨设∠FAD=α）的变化而变化，不妨设长方形ABCD的边长分别为AB=a，AD=b，则EG=a+ 2bsinα，如果给定a、b的值，则EG的长是关于角度α的函数.

（3）研究特殊情形.先来研究图形的特殊情形：如图26，当α=90°时，显然有OE=OG，继续拖动点E，也可以得到一种特殊位置（如图27）：点O、D、E在同一条直线上，图27考查的知识点很丰富：如何证明DC//EG？根据CD的长求得EG的长需要具备相似三角形的相关知识.

图26

图27

继续观察到图27，还发现线段CD很可能正好是△OEG的中位线，于是便有了设问：“若△OEG的中位线恰好等于线段CD的长，求sinα的值”，通过多次的尝试发现当AD=4，AB=6时，可保证OD是一个整数，倒过来问题便可迎刃而解.

（4）研究设问的方式和顺序.在以上探究过程中，笔者发现在所有问题的解决中，都需要说明AB∥EG，这个结论有一定的难度，但如果不提出让学生证明AB∥EG，有许多学生很可能会默认两直线平行，而直接运用两直线平行去解决问题，达不到考查目的.于是想到了利用特殊位置探究规律并向学生展示“从特殊到一般”研究问题的方法.例4第1问以特殊位置存在的数量关系和位置关系引导学生探究一般位置时线段的数量和位置关系，起点低，证明方法多样，同时又为后续的问题作了思维上的铺垫.第2问让学生运用探究到的结论来计算、求解问题，综合考查了初中数学相似三角形、等腰三角形等初中数学核心知识.第3问根据三角形中位线的位置不同设置问题，考查了三角形中位线的概念，分类讨论思想，运用方程等工具解决问题的能力.全题以“从特殊到一般探究结论→应用结论解决问题”的方式展开，让学生经历数学问题研究和解决的过程，考查了学生的知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等诸多方面，有良好的评价导向功能.

最后，笔者想说的是动态型问题灵活多变，姿态万千，笔者只是梳理一些浅薄的实践经验，还望各位读者海涵，并提出更多的建议与笔者分享.