解题教学要引导学生“回到概念”
——以七年级上学期期末模拟测试考题为例

☉江苏省南通市八一中学　丁丽云

解题教学要引导学生“回到概念”
——以七年级上学期期末模拟测试考题为例

☉江苏省南通市八一中学丁丽云

最近，笔者所在七年级数学组为了“备战”期末考试，安排了模拟测试，最后一道题选用了北京某区七年级期末卷上的一道把关题，由于学生考试时间有限，很少有学生能完整解决该题，也使得这道习题呈现了一定的区分功能.本文对这道较难几何题展开讲评，希望引发大家深入思考这类问题的解题策略、讲评技巧.

一、题例与思路讲解

例1已知∠AOB＝α（30°＜α＜45°），∠AOB的余角为∠AOC，∠AOB的补角为∠BOD，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD.

图1

（1）如图1，当α＝40°，且射线OM在∠AOB的外部时，用直尺、量角器画出射线OD、ON的准确位置.

（2）求（1）中∠MON的度数，要求写出计算过程.

（3）当射线OM在∠AOB的内部时，用含α的代数式表示∠MON的度数.（直接写出结果即可）

1.读懂语句想概念，明确起点是关键

问题的“题干”中并没有“如图”，就说明题目中虽然有一个图形，但是并不是题干所约定的一个图形，这是不少学生初读题时就陷入一个不好的思考方向.实际上问题的起点只是一个“∠AOB＝α（30°＜α＜45°）”.进一步，这个角的余角为∠AOC，仔细观察和分析会发现，这个角与∠AOB有一条公共边，但另一边（射线OC）的位置有几种？唯一吗？想清楚这个问题是很关键的，因为涉及“余角”的概念，数学上对于余角的定义，只强调数量关系，并没有特殊的位置关系；同样的思考就可用于“∠AOB的补角为∠BOD”.理解题意后，才会发现，问题的起点就很复杂，需要分类讨论，我们可以用量角器画图，如图2、图3所示.

图2

图3

进一步思考，射线OD1一定需要用量角器来作图吗？射线OD1与OA的位置关系如何？它们恰在一条直线上吗？回答是肯定的！类似地，射线OC1与OB的位置关系是一种垂直状态吗？当然，它们各自的另一种情形（射线OC2，OD2），目前还是需要用量角器来画图的；进一步两种角的平分线也就可以画出了（图3）.

上面说了这么多，还没有进入第（1）问，“慢”得真让人不可思议，这是什么意图呢？因为我们需要真正明确问题的起点.当我们深刻理解了上面的这些可能的图形及位置关系，就对于后续问题的求解起到很好的作用.

2.特例引路画准图，分类讨论防漏解

第（1）问“当α＝40°，且射线OM在∠AOB的外部时”这句话的意思是什么呢？要分开解读，第一，α＝40°说明∠AOB的大小被确定；第二，“射线OM在∠AOB的外部”就比较难理解了！从图3发现，我们要舍一种情况，得出图4，图4中，待求的∠MON有两种可能，即∠M1ON1，∠M1ON2，根据互余、互补易得∠M1OA＝25°，∠N1OB＝∠N2OB＝70°，求出相应的∠M1ON1，∠M1ON2为135°、5°.

图4

3.强化条件是何意，以美启真来破题

第（3）问有一定的难度，但是与上面第（1）问的思考类似，结合强化条件“射线OM在∠AOB的内部”从图3出发，得出图5.

图5

很明显，问题还应该是有两解，∠M2ON1，∠M2ON2.那么怎么用含α的式子表示呢？还是先退回“题干”中思考概念吧！根据互余、互补的概念能否用含α的式子表示∠M2OA，∠N1OB，∠N2OB呢？想清楚这个步骤是很关键的，即∠M2OA∠D2OB＝（180°-α），进一步可以表示出∠BOM2＝∠AOB-于是，∠M2ON1＝

反思回顾收获大：问题的答案已经获得，但并不代表思考就可以终止.美国数学教育学者舍费尔德所说的“求出答案并继续前进”就是这个道理.下面我们基于对称的角度来思考，请看图6.

图6

在图6中，我们构造出两条对称轴（请注意，学生在小学就知道对称轴的概念），基于对称，就容易发现射线OD1与OD2，OC1与OC2它们的对称关系，这样也就知道问题的两种情况不仅仅是“数量”上的关系，而且也有“图形”上的关联，可见，数学上的数形结合思想方法并不是一句空话.

二、关于解题教学的思考

上面围绕这道几何把关题给出问题的思路突破，其实也是解题教学上的一种讲评策略，以下再由这道具体习题的解题与讲评说开去，进一步思考解题教学值得在哪些方面用力.

1.当思路受阻时，引导学生“回到概念”

解题思路受阻是解决数学题时经常碰到的，这时是盲目突进、胡思乱想？还是有序思考、冷静从容？从哪些角度尝试呢？当问题毫无思路或念头时，要先向上退，退到问题表述中，逐字逐句重新读题，比如上文提出的考题，第（1）问有强化条件“射线OM在∠AOB的外部”，如何解读这句，对于问题的思路打通是很关键的，除了上文在解题准备阶段先分析出图2、图3有助于进一步分析之外；这句强化条件也能启发思考，射线OM在什么情况下才会在∠AOB的外部？从而思考角的概念，知道角的内部、外部与角的两边（共端点的两条射线）之间的关系，也就使得问题结构进一步清晰化.

2.当解答漏解时，引导学生“回到概念”

这道考题最大的一个问题就是容易出现漏解.这时需要引导学生反复阅读“∠AOB的余角为∠AOC”，就可以“回到概念”，回到“余角”的概念，就知道余角的概念只是一种数量关系，而与位置关系无关，结合这道题有一个公共边OA，则需要考虑不同的情形，也就能够获得进展，防止漏解了.

3.当解后反思时，引导学生“回到概念”

我们知道，数学问题解后缺少回顾反思，常常“入宝山而空返”.解后反思环节，除了思考问题考查的深层结构、经典模式、思想方法等角度外，还可思考问题考查了哪些核心概念，这些概念的本质属性对于问题思路的获取有何作用.比如，上面在回顾反思阶段，基于对称的角度让学生获得更为全面的认识，有一种“居高临下”之感，就容易洞察问题的本质，明晰问题的结构，这样有助于达到“解一题、会一类、通一片”的解题效果.

1.袁亚良.一次市级说题比赛的成果展示与思考［J］.中学数学教学参考（中），2014（5）.

2.杨千帆.3P策略：有效的师生沟通策略［J］.基础教育课程（上），2015（6）.

3.肖维松.回到概念：解题教学的一种取向——以2014年江苏泰州卷第25题教学为例［J］.中学数学教学参考（上），2014（7）.