同课异构精彩纷呈，教学立意引人入胜
——以一元二次方程（第1课时）为例

☉江苏省张家港市合兴初级中学　高建东

同课异构精彩纷呈，教学立意引人入胜
——以一元二次方程（第1课时）为例

☉江苏省张家港市合兴初级中学高建东

笔者近期在一次初中数学教研活动中，观摩了四位老师执教“一元二次方程（第1课时）”，总体感觉享受了同课异构的精彩纷呈，执教老师的教学风格、教学立意也值得反思回味，本文记录两种截然不同的教学设计，并尝试解读他们的教学立意，与同行研讨.

一、“两种”教学设计

（一）第一种教学设计

1.学习目标

（1）知道一元二次方程的概念，以及一元二次方程的项和系数的概念，会准确判断一个方程是不是一元二次方程.

（2）会把一元二次方程化成一般形式，并能准确地说出它的项和系数.

（3）能运用一元二次方程的概念进行解题.

2.教学流程

情境引入：一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长.设长方形的长为x，则所列方程为：_________.

这是一个什么方程呢？（小组讨论，个别发言）

活动一：自学概念并进行简单运用.

针对目标，自学课本内容，然后回答下列问题：

（1）什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式是什么？（请在课本上画出来，并在关键词下做上记号）

（2）在下列方程中，一元二次方程的是_________.（不是一元二次方程的需说明理由）

①3x2＋7＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③（x-2）（x＋5）＝x2-1；④3x2-＝0.

（3）将方程2x2＝3（x-6）化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（将过程展示在小黑板上，小组交换检查展示内容，并用红色粉笔批阅）

完成后小组内进行交流，特别是你还有什么疑惑？

思考：在写一元二次方程的项和系数时要注意什么？

活动二：巩固概念并利用概念解题.

（1）课本练习（完成后组长组织组内互相交流批改，找出错误原因.组长将其中错误的解题过程展示到小黑板上并用彩色粉笔改正，全班共享）.

（2）关于x的方程（m-1）x2-8x+5=0是一元二次方程，则m的取值范围是_________.

（3）一个一元二次方程的未知数为y，二次项系数为-1、一次项系数为3、常数项为-6，请你写出它的一般形式（.完成后小组进行交流）

课堂小结：本节课你学到了什么新的知识，有什么体会或收获？还存在哪些疑惑？

3.检测反馈

（1）将下列方程化为一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.

①5x2-1＝4x；②4x2＝81；③4x（x＋2）＝25；④（3x-2）（x-1）＝8x-3.

（2）根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：

①4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；

②一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；

③把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长度x.

（二）第二种教学设计

1.教学目标

（1）了解一元二次方程的应用价值，掌握一元二次方程的定义及一般形式.

（2）建立解一元二次方程的基本思想、具体方法和理论依据的知识体系框架.

（3）激发自主探索学习的意识、兴趣，培养自我获取、构建、发展、超越的精神态度和能力.

2.教学流程

活动一：提出实际问题，激发研究的兴趣，培养数学意识，引入课题.

（1）如何用一张长16厘米，宽12厘米的硬纸片做成一个底面积为96平方厘米的无盖的长方体盒子？（由课本引例中的数据改编而成）

预设意图：在纸片的四个角上剪去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就可以做成无盖的纸盒.问题是要使做成的盒子的底面积必须是96平方厘米，因而实际问题转化为数学问题，即是要求出截去的小正方形的边长.

活动二：全班研究：如何用列方程的方法求解？

解析：设截去的小正方形的边长为x厘米，则盒子的底面的长及宽分别为（16-2x）厘米和（12-2x）厘米.

由题意，得（16-2x）（12-2x）=96.

整理后，得x2-14x+24=0.

学生发现，方程x2-14x+24=0不是已学的一元一次方程，不会解.

活动三：教师给出一元一次方程3x-5=0，引导学生比较两个方程的异同点：

①3x-5=0；②x2-14x+24=0.

相同点：都是整式方程，合并同类项后，两方程都是只含一个未知数.

不同点：新方程中，未知数的最高次数为2，而一元一次方程中未知数的最高次数是1.

通过比较，学生由学习一元一次方程的经验，自觉地给新方程命名为“一元二次方程”，明确了本节课研究的课题.

活动四：引导学生由概括一元一次方程的定义和一般形式的经验，自主地概括一元二次方程的定义及一般形式.

教师根据学生的学习水平，编制练习题，引导学生练习和讨论.

（1）关于x的方程mx2+m=nx2-nx是不是一元二次方程？说明判断的依据（意在突出一元二次方程一般形式中的条件“x≠0”，强化对一元二次方程的定义的认识）.

（2）将下列方程化成一元二次方程的一般形式后，说出各项及二次项、一次项的系数：

（x+1）2-2（x-1）2=6x-5→x2-4=0；①

3x（x-1）=2（x+2）-4→3x2-5x=0；②

（x+2）（x-4）=7→x2-2x-15=0.③

活动五：引导学生探讨解方程①、②、③的基本思想和具体方法.

（1）研究由已有知识能否求得方程①x2-4=0的解.

（2）小组研究方程②、③的解法.

（3）教师引导学生进一步研究、概括解一元二次方程的基本思想：降次，转化为一元一次方程来解.降次方法：直接开平方法，因式分解法.

教师提出新的研究课题：方程x2-2x-15=0可否通过适当变形，运用直接开平方法来解？

活动六：回到开课情境，请同学求出引例做无盖盒子需要在四个角截去的小正方形的边长.

学生选用因式分解法求得了问题的解，即截去的小正方形的边长为2厘米.

课堂小结：师生共同回顾学习过程，总结学习体验.

对照板书（见图1），小结本节课研究的知识结构.

图1

二、两点思考

1.“尊重”教材，稳扎稳打，有序推进

我们都知道，教材不同于一般的数学教辅资料，“教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的.”可以发现，第一种设计遵循了教材上的进度安排，稳扎稳打，有序推进一元二次方程的第1课时，主要精力在一元二次方程的定义、概念、识别等训练上，不急于向前推进，追求了夯实基础，做好充足的准备工作之后再“迎上去”，开始探究和发现一元二次方程的解法.

2.理解数学，整体建构，立意高远

近读专业刊物发现，章建跃教授近年来倡导“三个理解”得到一线教师的积极响应，并积极践行.特别是作为“三个理解”之一的“理解数学”也得到2013年弗莱登塔尔奖得主梁贯成教授的积极回应，比如文2，梁教授在回应数学教师专业发展时就曾指出：“对数学知识的理解是很重要的.如果你自己的数学根底不好的话，教学效果肯定不会很好.”可以发现，上文中的“第二种教学设计”就站在了理解数学的高度，整体建构一元二次方程的起始课，追求了高远的立意，引导学生经历了一元二次方程的归纳定义、解法探究、问题解决等全过程，虽然涉及知识点众多、方法与思想多样，但是全课又显得自然生长，是一节引导学生“探索未知世界”的好课，值得我们玩味、深思.

1.章建跃.中学数学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考（上），2010（3-5）.

2.陈汉君，童莉，佘文娟，黄倩.儒家文化视角下华人数学教育的发展——专访2013年弗莱登塔尔奖得主梁贯成教授［J］.数学教育学报，2014（3）.

3.【日】佐滕学.21世纪学校改革的方向［J］.人民教育，2014（1）.

4.王光明，廖晶.“探索世界”范式及其对数学教育的启示——ICME12获奖报告述评［J］.课程·教材·教法，2013（12）.

5.郑毓信.“开放的数学教学”新探［J］.中学数学月刊，2007（7）.