从等式基本性质2表述异同说起

☉山东省日照市新营中学　田献增

☉上海教育出版社刘祖希

从等式基本性质2表述异同说起

☉山东省日照市新营中学田献增①

☉上海教育出版社刘祖希

①田献增（1963-），男，山东日照人，DYQ学习策略创始人，中学高级教师，主要从事教育教学研究.

比较国内11个版本义务教育数学教科书中等式基本性质2的表述形式，可以发现：“等式两边同时乘同一个数”时，这个数是否可以为0，出现了两种不同的观点.调查发现，这一现象的出现，对教师教学和学生学习带来了思想的混乱，同时也影响了相关教科书自身体系的完备性.

一、苏科版与人教版等11个版本教科书对等式基本性质2表述形式的比较

1.苏科版教科书中的表述形式

等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数，所得结果仍是等式.（凤凰出版传媒集团，江苏科学技术出版社数学七年级上册，2012年6月，简称苏科版）

显然，这里认为：等式基本性质2中等式两边都乘同一个数，条件是“这个数不能等于0”，并且“所得结果”中“结果”的含义是指含有等号的新的数学表达式.

2.人教版等10个版本教科书中的表述形式

（1）人教版教科书中的表述形式.

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.（人民教育出版社数学七年级上册，2010年5月，简称人教版）

首先，从等式基本性质2的表述中可以看出，等式两边都乘同一个数，条件是这个数是任意数，就是说“这个数可以等于0”.这与苏科版的观点是不一致的.

其次，“结果仍相等”中的“结果”是指等号左、右两边的两个“新”的代数式（与苏科版“所得结果”中的“结果”含义不一致.此问题与本文无关，不作讨论）.同时“结果仍相等”中的“相等”，含有强调两个代数式的值“一定”相等之意.

（2）华师大版等8个版本教科书中的表述形式.

①等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式（.华东师范大学出版社义务教育教科书数学七年级下册，2012年7月，简称华师大版）

②等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式（.北京师范大学出版社教科书数学七年级上册，2013年3月）

③等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式（.山东教育出版社义务教科书数学六年级上册，2012年7月）

④等式两边都乘（或除以）同一个数（或式）（除数或除式不能为0），所得结果仍是等式（.湖南教育出版社义务教育教科书数学七年级上册，2012年6月）

⑤等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式（.河北教育出版社教科书数学七年级上册，2012年7月）

⑥等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式（.上海科学技术教育出版社义务教育教科书数学七年级上册，2012年6月）

⑦等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式（.青岛出版社义务教育教科书数学七年级上册，2012年6月）

⑧等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式（.浙江教育出版社义务教育教科书数学七年级上册，2012年7月）

比较以上8个版本教科书对等式性质2的表述形式可以看出，其共同点如下所示.

①等式两边都乘同一个数（或式），这个数（或式）可以等于0.这一观点与人教版观点是一致的，与苏科版观点是不同的.

②“所得结果”中的“结果”是指含有等号的新的数学表达式.因为“等式两边都乘同一个数（或式）”时，这个数（或式）的限制条件差异，导致这一观点与苏科版表述形式相同，但本质不同；与人教版表述形式不同，本质相同.

（3）京教版教科书表述形式分析.

如果a=b，c为任意数，那么ac=bc；如果a=b，c≠0，那么a/c=b/c.（北京教育科学院、北京出版集团公司义务教育教科书数学七年级上册，2013年6月））

这里的等式性质2是用符号表述的，它与华师大版等8个版本教科书表述形式不同，但本质是相同的.

2.结论与思考

通过上述比较可以发现以下几点.

（1）苏科版教科书认为：在等式基本性质2中，等式两边同时乘一个数，这个数不能是0；人教版及华师大版等10个版本教科书认为：这个数可以是0.显然，这是两种对立的观点.

（2）华师大版等8个版本教科书中的结论（所得结果仍是等式）与人教版教科书中的结论（结果仍相等），尽管表述形式不同，但由于变形条件一样，可以推断，结论的本质是一样的，即：都是指等号两边的两个代数式的值“一定”相等.

（3）因为苏科版等式基本性质2中的条件要求乘同一个数时，“这个数不能是0”，所以在这里，不但不能确认“所得结果仍是等式”中，等号两边的“两个代数式的值”一定相等.相反地，可以确认等号两边的“两个代数式的值”不一定相等.理由是假如该教科书意在强调等号两边的两个代数式的值“一定”相等，就可以像人教版等10个版本教科书一样，无需在“等式两边同时乘一个数”时，排除数字0了.当等式两边同时乘0时，等号两边的“两个代数式的值”都是0，这是一定相等的.

为此笔者思考：为什么同一个数学原理——等式基本性质2，在不同的教科书中变形的条件不同，问题的根源是什么？

二、“等式基本性质”的含义以及表述形式差异形成的原因

数学概念的性质是指从数学概念直接推导得出的运算法则或者运算公式等延伸的知识，数学的概念和性质具有紧密的衔接关系.因此追溯上述教科书对等式基本性质2表述出现观点差异的原因，还需从什么是等式说起.

1.等式的定义

国家新课程标准颁布实施后，义务教育教科书把等式作为一个不加定义的数学概念.尽管如此，但不是说它没有确定的含义.

（1）等式的定义及其含义.

1989年8月第2版人民教育出版社初级中学代数第120页中对等式定义是：“…（像这种）表示相等关系的式子叫做等式.”

显然，这里没有明确等号两边的数值“一定”相等，即等号左、右两边的值不一定相等.其内涵仅是含有等号的数学表达式.

事实上，“等式（equality）是数学的基本概念之一，指表达相等关系的式子.在等式中通常用‘=’把认为相等的两个对象连接起来［1］”这里仅指把“认为”相等但不一定相等的两个对象连接起来.

我们知道，常见的用“等号”连接起来的式子，有以下几种，如：“1+2=3①”“a+b=b+a②”“x-6=13③”“x2+1=2④”“3+1=0⑤”“m2+1=0⑥”“=0⑦”等.

一般地，像①②这样的等式，称为恒等式.恒等式是“一种常见的等式，表示两个解析式对所含变数字母的全部取值都相等的等式［3］”

因为等式③只有在x=19这个条件下才成立，等式④也只有在x=1或x=-1的条件下才能成立，所以像③④这样的在一定条件下成立的等式称为条件等式.即：“若一个等式在所讨论的范围内仅当满足某些条件时才能成立［2］”，这个等式就是条件等式.

而等式⑤中，显然3+1=4，而4≠0，等式⑥中也不存在这样的实数m使m2+1=0，同样地，等式⑦中也不存在这样的实数x使=0，所以我们把像⑤⑥⑦这样的等式称为矛盾等式.

由此可见，等式的外延是指恒等式（identity）条件等式（conditionalequality）或矛盾等式（contradictoryequality）等等式［3］

（2）从方程的定义看等式的含义.

“方程是含有未知数的等式.”（人民教育出版社义务教育教科书数学7年级上册，2012年6月）“方程（equation）亦称方程式.数学的一个重要概念和研究对象.一般只含有未知数或变数的等式［4］”，在初等代数中，只论代数方程，含有未知数的代数式称为方程.按方程解的情况常把方程分为三类，即：条件方程、矛盾方程和恒等方程［5］.从以上可以看出：方程是等式，条件方程属于条件等式，矛盾方程属于矛盾等式，恒等方程属于恒等式.

因此，从方程的定义也可以看出：等式的定义是一个侧重于形式化的定义，其内涵是含有“等号”，其等号两边数值是不一定相等的.或者说方程概念对应的等式的外延是指恒等式、条件等式或矛盾等式.

反过来，若等式的本质要求“等号两边数值一定”相等，数学内部体系会产生如下逻辑错误.

因为方程是等式，等式必须满足“等号两边数值一定相等”，所以方程必须满足等号两边数值相等.又因为无解的方程或矛盾方程等号两边数值一定不相等，所以无解的方程不是等式.因为无解的方程不是等式，所以无解的方程不是方程.

（3）对11个版本教科书等式基本性质2中等式的属性比较.

由上可知，等式基本性质2中前提中的等式外延是：恒等式或条件等式或矛盾等式.结论中等式的外延如下所示.

①苏科版教科书因在表述等式两边同时乘同一个数时，强调这个数不能是0，因此“所得结果仍是等式”里的“等式”外延是“恒等式或条件等式或矛盾等式”.即利用等式基本性质2对等式变形后，变形前后等式属性变化如表1所示.

表1

②人教版教科书中的“结果仍相等”对应的等式外延是“恒等式”.

③华师大版等8版本教科书中“所得结果仍是等式”里的“等式”外延是“恒等式”.

④京教版同③.

以上10个版本利用等式基本性质2对等式变形后，变形前后等式属性变化如表2所示.

表2

2.“等式基本性质”的意义与等式基本性质2表述差异带来的困惑

（1）等式基本性质2与方程同解原理的比较.

国家义务教育课程标准实施后，为了降低数学课程的难度，在解方程中，将过去数学教科书中的“方程同解原理”或“遍乘定理”以“等式基本性质”代替，“等式基本性质”在解方程中的作用相当于“方程同解原理”或“遍乘定理”.

从数学体系上说，等式基本性质是“方程同解原理”或“遍乘定理”的依据.具体地说，等式基本性质2是方程同解原理2的依据.方程同解原理2“方程的两边都乘以（或除以）不等于0的同一个数，所得的方程与原方程是同解方程.”（见人民教育出版社初级中学代数1989年8月第2版第123页）显然，与等式基本性质2变形条件不一致.或者说，等式基本性质2是遍乘定理的依据.“如果h（x）≠0，且h（x）对方程f（x）=g（x）的未知数的一切可能值都有意义，那么与方程f（x）·h（x）=g（x）·h（x）同解.因此，方程的两边都乘以（或者都除以）不等于0的同一个数，所得的方程与原方程是同解方程.”［6］这里同样与等式基本性质2变形条件不一致.

“方程同解原理2”或“遍乘定理”都要求：方程的两边都乘以同一个数或式时，这个数或式都不能等于0.目的是保证变形前后的方程本质属性不变.如表3所示.

表3

当方程（等式）的两边都乘0时，所得新方程与原方程不同解，改变了方程的本质属性，条件方程（等式）、矛盾方程（等式）都变为恒等方程（等式）了.如表4所示.

表4

比较上述分析可知，方程是等式，方程应满足等式的性质，作用等同于“方程同解原理2”或“遍乘定理”，本质应该与“方程同解原理的2”或“遍乘原理”是一致的.

（2）等式基本性质对等式变形的意义.

等式基本性质属于数学原理范畴，它是等式恒等变形或推理的依据.等式基本性质这一数学原理表述的正确与否，直接关系到利用等式基本性质进行等式变形或经推理所得结论正确与否.具体地说，既关系到解方程的正确与否，也关系到解决相关数学问题时，所做的等式变形后所得结论的正确与否.

利用等式基本性质将等式变形或推理时，像将一个条件等式或矛盾等式变形后得到一个恒等式是毫无意义的（如表2）.利用等式基本性质将等式变形或推理，必须保证变形前后等式的“属性”不变，即原来是矛盾等式（条件等式或恒等式），变形后还应该是矛盾等式（条件等式或恒等式）（如表1），并且对于条件等式来说，变形前后所得等式的条件应该完全相同.

具体到方程中，将一个条件方程或矛盾方程变形后得到一个恒方程是毫无意义的（如表4）.也就是说，利用等式基本性质将方程变形或推理，必须保证变形前后方程的“属性”不变，即原来是矛盾方程（条件方程或恒方程），变形后还应该是矛盾方程（条件方程或恒方程）（如表3），并且对于条件方程来说，变形前后所得方程的条件应该完全相同，也就是说变形前后所得方程的解应该完全相同.这也是方程同解原理的意义所在.

三、等式基本性质2表述差异带来的困惑

由以上分析可知：类似于“等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式”的表述形式，因为乘以一个数时，这个数没有排除0，导致前后两个“等式”所表示的外延缩小，从逻辑的角度看，犯了“偷换概念”的错误.

1.对数学体系的影响

因为等式基本性质2“等式两边同时乘同一个数”时，这个数为0，会犯偷换概念的错误，从而导致数学自身体系出现了像类似上述问题中的“无解的方程不是方程”的逻辑错误或矛盾.

这一现象的出现是否是课程标准或课改能容忍的或允许的，在此无从考究.即使课程标准或课改对教材体系或逻辑体系没有目标要求，但作为数学自身体系，也不应出现这样的逻辑错误或矛盾.原因是数学本身就担负着培养学生思维能力或逻辑思维能力的任务.

2.对数学教学和学习的潜在影响

像上面介绍的因为“等式两边同时乘以同一个数，这个数可以是0”而引发的逻辑问题，尽管在数学中“隐蔽”性很深，短时间内对学生学习造成的影响也不明显，但从长远看，对学生思维能力的培养有负面影响是毫无置疑的.对教师教学带来的不便也是显然的.笔者通过不全面调查获知，教师对此理解非常混乱.特别是在2009年3月底，在日照市新营中学杨老师执教的公开课（课题：人教版分式方程第一节）后的评课过程中，老师们针对课上问题“解分式方程为何要检验”，只能用“分母不能是0”来解释.笔者认为这个解释是勉强的.也与维果茨基最近发展区理论不一致.

但是若用相应教科书体系中的数学原理“等式基本性质2”就无法解释清楚，甚至出现矛盾.原因是解分式方程过程中的第一步是“方程两边同时乘以最简公分母”，按相应教科书体系中的“等式基本性质2”理解，“方程两边同时乘以最简公分母，这个最简公分母可以是0.既然可以是0，就没有违背该数学教科书体系中的数学原理等式的基本性质2，后面的变形、计算步骤只要不违背其他数学原理，计算正确，所得结果应该是“真”的，无需进行检验.否则，这样就会出现如下事实：如果说没有违背数学原理的解题过程也需要检验，以此类推，那么解一元一次方程、一元二次方程同样是需要检验的.事实上，数学教科书中只强调解分式方程必须检验，而解一元一次方程、一元二次方程时不需检验.

没有违背数学原理的数学解题过程要检验不是数学的本意.数学活动过程中之所以要检验，只是因为解题过程中出现了违背数学原理的解题步骤，并且这里的“检验”是弥补前面违背数学原理“错误”的过程.

四、建议对“等式基本性质2”表述加以规范统一

综上所述，建议数学中对等式基本性质2表述予以统一，即：“等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数或式，所得结果仍是等式”，达到完善数学自身体系的目的.

1.数学辞海［M］．山西教育出版社，中国科学技术出版社，东南大学出版社，2006.