操作中运用数学思想，实践中积累活动经验*
——基于苏科版教材七年级上册课题活动——“神奇”的式子

☉江苏省泰兴市西城初级中学　田　堃

操作中运用数学思想，实践中积累活动经验*
——基于苏科版教材七年级上册课题活动——“神奇”的式子

☉江苏省泰兴市西城初级中学田堃

一、教材呈现

活动内容：

在上述问题中，分别把人、点、球队看成研究对象，把两人握手、两点连线、两球队间的比赛看成研究对象间的一种关系，要求的握手总次数、线段总数、比赛总场数就是求所有对象间的不同关系总数.

当n个研究对象中任意两个对象都发生一种关系时，这样的关系总数应是种.

活动1：

分别数出图2、图3中三角形、长方形的个数，并与同桌交流.

图2

图3

活动2：

幼儿园老师给小（1）班20个小朋友分发不同的玩具.玩了一会儿，老师说：“小朋友们，你们可以任意找小朋友交换玩具，但是只能交换1次.”问：交换结果可能有多少种？

活动3：

一列从南京开往连云港的火车，途中要停靠新沂、徐州等11个站，按照各站间的地名不同而设置不同的车票，共需定制多少种车票？距离相等的票价相同，最多应设置多少种不同的票价？

二、课堂实录

（一）活动引入

在活动中运用数学思想，在探究中提炼解题结论.

师：同学们，前面我们已学习过线段的相关知识，下面请大家思考问题：如图1，一条直线上有12个点，图中共有多少条线段？

题目一展示，气氛立即热烈起来，大部分学生立即举手争着要求回答.经老师示意，由一位学生回答.

生1：66条线段.

师：谁能说说是如何计算的？

话音刚落，大多数学生积极举手，争着要求发言.

生2：我是这样计算的，以A1为端点，共有11条线段，接下来依次为10、9、…、1条线段，累加以后就得出答案.

师：结论是正确的，谁能说说这里运用了哪种数思想呢？

教室里静下来许多，举手要求发言的学生只有10名左右.

生3：分类的数学思想.

师：很好，我们在学习有理数时就已介绍过这一数学思想，今后的学习中，特别是种类比较多时，我们要有意识地运用分类的数学思想，它能使复杂问题简单化.接下来我们回到计算过程，这里是从11依次递减加到1，本题的计算还不是很繁，如果数字增大呢？我想让大家在此处探索一下有没有简便的计算方法.

事实上老师在巡视时发现相当多的学生就是采用累加的方法求出结果的，其实在前面讲解线段时针对该类型的加法计算曾经补充讲过，这里学生出现了遗忘.有必要在此复习回顾，从而更好地培养学生养成提炼解题结论的习惯.

生4：我的计算过程是这样的：将式子11+10+…+1及1+2+…+11上下对齐相加就会求出结果

老师：好的，我们在讲解线段问题时曾介绍过当一条直线上出现n个点时求线段总数的方法，并给出了计算结果的表达式希望同学们在学习过程中要养成总结、提炼的习惯，这样就会使不同数值的问题的结论形式统一，便于我们对问题进行归类.让我们在接下来的活动中共同见证这一“神奇”的式子.

（二）操作探究

1.感悟类比思想，见证神奇式子

给出活动1.

师：你是如何探究出解题思路的？你知道这里运用了哪些数学思想吗？

同学们在思考片刻后纷纷展开讨论，争执之声不绝于耳，很快就有不少学生举手要求回答，老师在巡视中发现部分学生举起的手又放下了，有一种欲言又止的感觉，老师知道其中缘由，有意选择两位学生来回答.

生5：图2中共有45个三角形；图3中共有36个长方形，我是模仿计数线段的方法求出的，这里运用了分类的数学思想.

生6：我的回答有和生5相同的部分，不同的是计算时运用的是分类思想，但在探索解题思路时运用何种数学思想我说不出来.

师：刚才这位同学回答的很好，事实上我们没有讲解过这种数学思想，但我们通过求解发现，在统计三角形、长方形的个数时大家都不知不觉地运用了刚才计数线段时的方法，这就是类比的数学思想.波利亚曾说过：“类比是一个伟大的引路人”.在中学数学中，由两个数学系统中所含元素的属性在某些方面相同或相似，推出它们的其他属性也可能相同或相似的思维形式被称为类比推理，运用类比推理的模式解决数学问题的方法称为类比法.类比既是一种逻辑方法，也是一种科学研究的方法，是最重要的数学思想方法之一.在数学中，我们也经常采用类比的方法.例如：把分式与分数、不等式与等式等进行类比，用已有的方法解决新的问题.最后我们来看看这两题的列式是不是符合的类型.

学生们一致认同.

2.运用类比思想，学会积累经验

给出活动2.

师：同学们先独立思考5分钟，再由活动小组长组织进行讨论.

巡视中老师发现：在5分钟的时间里独立解出的约占百分之二十，有部分学生似乎找到了方法，从眉头紧锁的部分学生的面部表情中老师读到了还有不少学生没有理解.后经小组讨论发现仍有十多名学生不能理解.

师：对于尚未理解的同学来说，可否先从简单处着手，比如我们选4个同学做实验，这样便于探究出结论，然后慢慢扩大数字，下面找4位已掌握的同学到前面演示一下，请没有掌握的同学认真观察.

示范结束后，老师发现都能列式计算了.

师：刚才我们选择4位同学来做实验，告诉大家什么样的道理呢？

生7：说明处理复杂问题时可从简单处着手，积累一定经验后再慢慢推广.

老师：好，这是不是我们的活动经验啊？今后的活动中要学会运用.虽然我们有少数同学是通过找4位同学做实验，从简单处积累解题经验来加以理解的，现在来看，还可以这样求解，只要运用类比思想，这里我们把20个小朋友类比成直线上的20个点，任意找小朋友交换玩具不就类比成任意两点连成线段了吗？结果再次出现“神奇”的式子.

给出活动3.

师：认真阅读，注意比较本题与前面几题有何异同，特别是探索相似之处，再迅速作答.

5分钟后，有学生纷纷举手要求发言.

生8：我认为票价与前面的线段、小朋友交换玩具等相似.

生9：车票与线段等问题不同，如线段AB与线段BA是同一条线段，而两车站之间“南京-徐州”与“徐州-南京”是不同车票.

师：刚才两位的回答很精彩，由此我们得出：在运用类比数学思想时注意点是什么呢？

生10：关注相同或相似之处.

师：正确.接下来用3分钟时间大家抓紧完成.

3.学会总结归纳，践行拓展提升

老师：从前面的活动不难发现，在上述问题中，分别把点、小朋友、车站看成研究对象，把两点连线、三角形、长方形、两小朋友间的不同玩具交换、两车站之间的票价看成研究对象间的一种关系，要求的线段总数、三角形个数、长方形个数、小朋友之间玩具交换的可能总数、票价总数就是求所有对象间的不同关系总数.这些我们都是在类比数学思想指引下逐一求解的，今后在数学学习中要认真分析，若研究对象所含元素的属性在某些方面相同或相似，就有可能推出它们的其他属性也可能相同或相似.

活动4：

两条直线相交，最多只有一个交点；3条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有多少个交点呢？n条呢？

师：大家抓紧时间思考，5分钟后老师直接提问.

5分钟时间到了，老师巡视过程中发现不少学生还在不停地运算，就是n条直线的情况没能求出.老师让一位学生到黑板上详细写出演算过程.

生11：3条直线相交——3个交点；

4条直线相交——6个交点；

5条直线相交——10个交点.

师：现在暂时不考虑n条直线的情况，大家一起讨论3条直线、4条直线相交的情况，黑板上的演算已经给大家提供了很好的研究方法，这里实际是在做列表对比分析，这位同学做得很好，不足之处是过程还不够详细，下面我和大家一起来列表分析.

（1）

（2）

表（1）中反映的就是生11的解答思路，这里的分析不够详细，因此题目本身隐含的规律未能揭示出来，如果我们从3条直线来仔细分析，3个交点相比前面增加了两个交点，这里结合图形就更加直观，当第三条直线出现时，它和前两条直线相交产生的两个交点就是新增加的交点数2.于是，当出现第4条直线时，它与前3条直线有3个交点，见表（2）.由此，当第n条直线出现时，新增加的直线与前面（n-1）条直线相交有（n-1）个交点.这里我们可以预见结论仍是这一神奇的式子，课后继续整理.现在谁就本题的探索过程作一小结？

生12：列表分析便于作对比来发现问题，操作实践时对每一个变化都要仔细分析.

（三）课堂小结，课后巩固

师：现在各小组交流本节课的收获，推选代表发言进行全班交流.

老师在巡视中走进小组，帮助学生总结、整理，最后形成对本节综合与实践活动课的共同认识.

（2）类比的数学思想：运用类比的数学思想，关键在于探索相似或相同之处.

（3）解决问题一般从简单处入手，认真观察，细心分析.

布置课后作业时老师留下两道题.

（1）课后每人命制2道习题，要求与课堂上的活动类似，但背景不能相同.

（2）有n支球队参加排球联赛，每队都与其余各队比赛两场，求联赛的总场次.

三、教学反思

1.构思与达成

活动引入旨在通过熟悉的例子回顾一下分类的数学思想及该类型计算的方法，在此基础上对所列加法式子加以提炼整理，形成“神奇”的式子对解题结论加以整理、提炼，不仅从结论上使学生形成记忆，而且能强化分类归纳，便于掌握.比如学到用一元二次方程解决实际问题时有这样的问题：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑.设平均一台电脑会感染x台电脑，列出式子：1+x+x（1+x）=81，整理提炼有（x+1）2= 81，这就使学生从本质上理解此题，并能加以归类.

活动1的安排有意让学生在不知不觉中去模仿活动引入的计算技巧，再向学生提出运用了哪些数学思想，由此激发学生思考探索，加深对类比数学思想的理解，初步见证“神奇”的式子

活动2首先是针对运用类比数学思想的条件而设置的活动，活动2不像活动1那样容易找出相似之处，必须在充分理解的情况下才能从本质上揭示相似之处；其次，不少学生，特别是成绩中下的学生在活动初期找不到思路，小组交流仍然不得要领，这就使学生对老师提供“从简单处入手”这一活动经验产生强烈的需求.

活动3，由于有了前面的铺垫，本来有难度的活动对学生来说反而没有困难，这里只需对车票与票价加以区别即可.

活动4是一个略有提升的活动，好多学生能对直线条数的增加依次计算，但就是不能突破，此活动的进行对形成仔细观察、小心求证的活动经验大有帮助.

课后巩固中，老师给学生布置作业：课后命制习题，把整节活动课推向高潮，不落俗套.

从活动气氛、交流、发言情况看，本节活动课中，学生活动积极性高，主体性强，参与度高，目标达成效果好.

2.交流与展望

交流之一，活动1中，绝大多数学生都运用活动引入中的线段计数技巧，这实际是在潜意识中运用类比的数学思想.教材已设置了握手、计数线段、单循环比赛三个情境，这无疑为后面的活动打下基础，有意为活动1做铺垫.若教材直接安排活动1、2、3呢？老师们是否能在备课时设置类似的情境呢？一旦没有活动引入，而直接从活动1来阐述类比思想是否有些唐突？

交流之二，活动2与4中，在探索求解思路时，如果老师放手让学生小组讨论交流，答案也能求出，但本节活动课上，老师先引导小组交流适当时间后，再通过讲解来突出从简单之处着手探讨，这样使学生既有直接体验，又有老师的理论方法指导，更有利于活动经验的积累，也提高了课堂效率.

交流之三，基本数学思想及基本活动经验也是《义务教育数学课程标准（2011年版）》对数学综合与实践活动的价值追求.如活动1中，学生能在不自觉中模仿引入部分的计算技巧，这实际是在潜意识中运用类比的数学思想.再如活动2中，老师提出让4位同学做实验，然后去扩大数字慢慢探索，这种由简单处着手分析探索规律无疑教给了学生活动的基本经验——认识事物从简单到复杂.我们有理由相信这种于简单处分析总结再到复杂问题的活动经验会使学生一辈子受用的.我们的教育就是要使学生即使忘记了一些课堂所学的知识还能留下思想、经验等，这才是我们追求的教育.

交流之四，值得提出的是数学思想与活动经验，首先需要在活动过程中加以感悟，在活动过程中不断积淀，也就是说需要一定的时间、过程才能让学生熟练掌握，而不是上几节课、搞几次活动就能达到效果.一句话，需要长期渗透.一线教师要依据学生的年龄特点，从知识的生长点、延伸点出发，精心设计活动课的素材，使初中数学综合与实践活动课常态化.

本节综合与实践活动课可谓是室内课，它与“常规数学课”区别不是很大，所以老师在课堂组织及讲授模式上也基本参照“常规数学课”.若是室外综合实践活动课，上课的模式该如何呢？课堂落脚点又在哪里？

笔者认为，无论综合与实践活动课内容如何，它的授课模式受制于内容，但在任何情况下都不要离开创新，没有创新就没有活力，没有发展.

虽然说授课的模式有多种，但综合与实践活动课根本的出发点应突出基本数学思想和基本活动经验，以此培养学生的创新精神和实践能力.数学综合与实践活动课程的实施，使学生不仅掌握必要的知识，更重要的是提高了其学习数学的积极性，使其乐于研究探索问题的起源和发展过程，在此过程中，学生的自主探究学习的能力、合作学习的能力及解决问题的能力得到了充分的发展，更能给予学生一个“完整的数学”.让数学综合与实践活动课堂成为学生创新发展、可持续发展的快乐大舞台吧.

1.吴海宁.数学实验是积累提升活动经验的载体——《神奇的纸带》课堂教学实录与反思［J］.中学数学（下），2014（6）.

*该文为江苏省教育科学“十二五”规划2013年度课题《基于苏科版教材初中数学综合与实践活动的实践研究》（课题编号：D/ 2013/02/106）的研究成果之一.