初中数学慢教育设计应遵循的“四原则”

☉江苏省连云港市新浦中学　朱桂凤

☉江苏省连云港市教育科学研究所孙朝仁

·江苏省连云港市孙朝仁名师工作室·

初中数学慢教育设计应遵循的“四原则”

☉江苏省连云港市新浦中学朱桂凤

☉江苏省连云港市教育科学研究所孙朝仁

任何一种教育教学方式都有独特的设计视角和关注的焦点，初中数学慢教育作为教育世界的本真方式也不例外.其设计除遵循共性的一般学科原则外，还应着力遵循能体现其个性的整体性、过程性、变式性以及体验性等基本原则.

一、整体性原则

数学慢教育的最突出表征就是设计视角的整体性.这里的“整体性”不止于以单元为单位，将目标的设定和指导过程加以分段，在单元外更大的整体范围内对具体一堂课的教学目标、内容、方法、策略以及教学组织形式进行具象设计，更在于让课堂因问题设计的整体性而层次分明，因建构方法的整体性而浑然一体，因思维外扩的整体性而通体相关.这些科学构想比数学慢教育实施本身更重要，因为“凡事预则立，不预则废”（《礼记》语）.

“一个专心的认真备课的教师，能够拿出有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道门就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的知识领域.”从数学家波利亚的教育论断里，我们至少能获悉关于整体性设计原则的三个维度：一是体现整体性的问题构想；二是反映整体性的方法建构；三是回应整体性的认知迁移.

比如，在学习“一元二次方程”章头课时（苏科版九年级上），让学生阅读第80页到第81页，然后让学生概括本节课要研究哪些内容，并提炼本节课理应实现的学习目标.提出该问题目的有两个：一是让学生了解一节课主要内容的整体性，即一元二次方程的概念及其一般形式；二是开课伊始就让学生明白本节课要达到和能达到的学习目标，即理解一元二次方程的概念和在具体情境中探索一元二次方程概念的过程，发展学生的方程思想.让学生归结本节课的研究方法、还应该研究哪些内容以及怎样研究.这能让学生站在类比思想整体的平台上发展方程建模意识，经历整体性的元认知活动，终归于一元二次方程概念的形成.为将课内思维延伸于课外，又呈现基于整体表达的差异论问题：以“一元二次方程”为话题，写一篇数学短文.这给不同学生提供整理知识经验、思想方法不同层面的契机，让每个学习者都有话可说、有事可做，能让零散的知识结构在整体思维的参与下转化为个体的认知结构，从而发展学生的数学能力.

反观案例分析，不难发现整体性原则是数学慢教育设计的关键.因为整体性阅读意识，让学生有整体把握新知的契机，使得待学内容主题聚焦，屏蔽快教育课堂的琐碎倾向；因为整体性建构方法，让学生在思路回流中领悟思想，使得经验方法开放，屏蔽快教育课堂的封闭倾向；因为整体性的反思意识，让学生在“数学地”表达中体验思维的关联，使得分析思维深刻，屏蔽快教育课堂的浅化倾向.基于整体性原则设计慢教育课堂，终归于让学生能整体把握裴光亚先生对“数学性”的数学表达，即通过树木见到森林的哲学境界，这就是慢教育设计原则的整体性带来的效益.

二、过程性原则

过程性原则是数学慢教育设计的核心原则.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下称为“课标”）在课程目标中指出，数学课程目标包括结果目标和过程目标.结果目标使用“了解”“理解”“掌握”“运用”等行为动词表述，过程目标使用“经历”“体验”“探索”等行为动词表述.如果说结果目标动词本身就是一种思维过程性的结果，那么过程目标动词本身则是一种思维过程的过程.其实，经历是体验的前提，探索是体验的过程，而数学慢教育的本质就是过程性.因此这里的“过程性原则”包含三层意义：一是指问题设问形式开放，适合在思考的过程中经历知识的发生、发展过程；二是问题解决过程开放，适合在由“条件→行动”的过程体验中形成解决问题的产生式系统；三是问题解决方法开放，适合差异落实因“才”施教，让不同层面的学生在探索的过程中都“做”有所获、“研”有所得.

H.Wu在《美国数学学会》2011年第三期发文，阐述了“数学的基本原则”：每一个概念都是被精确定义的，且定义为逻辑推理提供了基础；数学陈述是准确的，在任何时刻已知与未知都是明确的；每个论断都能被逻辑推理支持；数学是连贯的，它是一个挂毯，里面所有的概念和技巧逻辑上交织成一个单件；数学是有目标导向的，标准课程中的每一个概念或技巧都是有目的的.对于“希望教好学生”的教师而言，必须意识到这些原则，方能释放数学学科教育的正能量.若把这些原则用在数学慢教育课堂，则与过程性原则一脉相通.概念是一个概括化过程；找出已知、待知和未知是思维联系的过程；逻辑推理是分析思维施加作用的过程；数学的连贯性是靠横向数学生活化、纵向数学数学化的过程来表现的；数学目标导向是在过程中得以体认的.过程是数学慢教育的灵魂，唯有抓住过程性设计慢教育，方能让数学慢教育以过程的方式释放过程的力量.

比如：在学习“中点四边形”时，基于“过程性原则”呈现的问题组是：（1）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是怎样的四边形？为什么？（2）画出一个矩形和菱形的中点四边形，你发现了什么？（3）经历上述研究，你认为中点四边形的形状由原四边形的什么要素决定？如何决定的？（4）一个四边形具备怎样的条件，才能保证它的中点四边形是正方形？为什么？问题（1）是研究中点四边形的基本问题，体现教材编者重视基本问题的设计，问题解决方式半开放，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定；问题（2）从“特殊”入手，为后续“一般”研究提供思维上的铺垫，让学生在直观画图的过程中，感受矩形的中点四边形是菱形，而菱形的中点四边形是矩形；问题（3）有了问题（2）特殊思维奠基，在三角形中位线性质的帮助下，借助从特殊到一般的方法，终归于由原四边形的对角线的数量关系和位置关系确定其中点四边形的形状；问题（4）在前面3个问题研究结论的基础上，推演出原四边形的对角线垂直且相等的论断并不困难.

纵观上述案例，梯级问题组设问的形式均开放，为学生有过程的“做”提供广阔的思维空间；就问题解决的过程而言：可以独立完成，可以合作完成，还可以半独立半合作完成，可以组内研究，也可以组际研究，可以生生交流，也可以师生交流，终归于不同层面过程性思维的发展；就问题解决的方法而言：可以直观的“画+度量”，可以“猜想+验证”，可以推理演绎，还可以借助媒体直观演示等，终归于过程性问题论断.如果说“画”的过程是慢教育的基本方式，那么说理的过程则是慢教育的主流形式，则概括归结的过程是慢教育的集大成者.因此，过程性是数学慢教育设计的核心原则.

三、变式性原则

变式性原则是数学慢教育设计的主体性原则.“变式”教学是中国数学教育的优良传统，是防止非本质属性泛化的有效举措.就这个层面而言，设计变式问题是课堂教育教学的重要环节和关键所在.由于数学慢教育“过程”的过程性，课时容量相对快教育偏少是可想而知的，因为要腾出更多空间让学生进行必要的深度思考，造就了数量和质量不能两全的认知现实的矛盾.而慢教育的本质就是追求高效，这就势必要在变式上下功夫，以精炼的变式问题拉动丰富的课堂体验，让知识经验、思想方法在变化的载体中渐次图式化和结构化.这里的“变式”不在于一般课堂的形式化变式即大量的题海训练，而在于变式的本质初衷.一是让学生在变化的问题中把握不变的本质；二是让学生在变式问题的解决中获得变式的能力，这是数学慢教育课堂设计的本质特征.

“智慧技能学习的唯一有效方法就是建立在理解基础上的变式练习”，换句话说，心智技能的形成离不开数学变式，这就从另一个侧面确认了变式性原则是数学慢教育设计的主体性原则，唯有变式练习和变式联系，方能将数学命题的陈述形态转化为以产生式或产生式系统表征的程序性形态，即形成一定的技能.而变式问题是数学命题学习的一项重要技术，应用初期宜采用显性变式（数量的变化、图形位置的变化等），应用后期宜采用隐性变式（变化背景、变化参数等），方能促进学生数学命题能力的纵向迁移，这也是数学慢教育设计应把握的变式设计问题的导向.事实上，变式观点得到马顿变异理论的强有力支撑，归因于显性变式提供问题情境的相似性有助于数学命题的自动生成，隐性变式提供问题情境的不同性有助于数学命题图式的获得.因此就这个层面而言，数学慢教育的变式原则更具有一般设计的指导意义.

比如，在学习“生活中的不等式”章头课时，笔者基于变式性原则设计变式题组.

一只纸箱质量为1kg.当放入一些苹果（每个苹果的质量为0.25kg）后，箱子和苹果的总质量不超过10kg.

（1）填表：

（2）估计这只纸箱内最多能装多少个苹果？

（3）当箱子里放入x个苹果时，你能用不等式表示题目中的数量关系吗？

（4）若该箱苹果的包装盒上印有这样的字样“净含量：9±0.25kg”，设这箱苹果的实际质量为mkg.你能用不等式表示这箱苹果的实际质量吗？

（5）你能解释不等式0.25x+1≤10其他的实际意义吗？

设计说明：问题（1）和（2）属于显性变式，而问题（3）和（4）属于隐性变式，问题（5）属于更高级的显性变式，涉及逆向思维经验的调用.经历这样问题变式组的探究过程，既排除了数学命题无关特征的干扰，又形成问题解决的产生式系统，促进学生将数学命题的陈述形态转化为程序形态的能力，实现数学慢教育变式设计的功能，提升了方法经验迁移的水平.

四、体验性原则

数学慢教育是以“兴发教学论”为支撑的“体验性”学习方式，因此体验性原则是数学慢教育设计的重要原则.体验学习是一种以学习者为中心，通过亲身体验与自觉反思相结合来获得知识、技能和情感、态度的行为方式.这里的“体验性”强调个体经验对学习的指导意义，不是简单主张在“实践”中获得新知识和新能力，而更关注对经验的概括与总结、反思与提炼，强调在“亲自经历”中不知不觉地领会知识技能的状态，而且要求能在深刻的反思中获得结构性经验的提升，使学习者通过反思与体验过程获得成长发展内力，所以数学慢教育设计的体验性原则应该是“做中学”与“思中学”的复合体.这和“课标”倡导的“数学活动经验需要在‘做’的过程和‘思考’的过程中积淀”的学习原则是一脉相承的.

体验学习有不同的理论模型，其中库博（Kolb）用四个元素建立起的四阶段循环模型是最具代表性的体验学习理论，即由体验阶段（Experiencing）、反思内省阶段（Reflecting）、归纳阶段（Generalizing）、应用阶段（Applying）组成的体验学习圈模式.把这四个阶段用在数学课堂设计层面，则反映数学慢教育“体验性原则”设计的四层要义.一是问题设计以活动的形式梯级展开，有利于学生“以身体之、以心验之”；二是以活动为载体的问题开放，有利于不同个体经验水平的提升和能力生长；三是问题解决的思想方法多样，有利于不同思维水平的学生都能找到思维的切入点并有所发展；四是问题设计体现“学以致用”的意识，有利于学生借助既得经验方法解决新问题并形成一定的心智技能.

比如，在“制作无盖的长方体纸盒”活动中，基于“体验性原则”创设问题：（1）用一根长为20cm的绳子围成一个长方形，怎样才能使长方形的面积尽可能大？（2）如何用一张正方形的硬纸板制作无盖的长方体纸盒？（3）若正方形硬纸板的边长为20cm，每个小正方形的边长为xcm，你能用含x的代数式表示无盖的长方体纸盒的容积V吗？当x为多少时，V的值尽可能的大？

设计说明：这是课题学习类活动，反映学习圈模式四个阶段的思想内涵，回应“体验性原则”的设计意义.3个问题由特殊到一般按照思维的内逻辑顺序梯级展开，问题（1）方法开放，体验借助已有经验水平解决问题（周长相同的四边形，正方形面积最大）；问题（2）活动开放，体现在做的过程中积累并概括经验；问题（3）体现在思考中积累并应用经验方法研究新问题.如果说三个活动均在不同层面与体验阶段合拍，那么第1个问题是反思阶段的具体表现，第2个问题是归纳阶段的再现，第3个问题是应用阶段的复合反应，其间既有体验的成分，也有反思和归纳的成分，更有应用的眼光.

概而言之，初中数学慢教育设计的基本原则相辅相成，贯穿慢教育课堂的终始.整体设计是关键，过程设计是核心，变式设计是主体，体验设计是基调，各原则之间既独立又复合，既联系又区别，辩证地行走在慢教育课堂的前沿.

1.朱桂凤.从容行走在“慢”与“不慢”之间——初中数学课堂慢教育哲学［J］.中学数学（下），2014（8）.

2.朱桂凤，孙朝仁.数学慢化教育元话语与操作要义［J］.中学数学（下），2014（10）.

3.朱桂凤，孙朝仁.数学慢教育研究综述［J］.江苏教育研究，2013（7A）.