初中数学总复习整体观策略研究*

☉江南大学附属实验中学　庞彦福陈晓丽

☉江南省苏州中学园区校耿恒考

·江苏省无锡市庞彦福名师工作室·

初中数学总复习整体观策略研究*

☉江南大学附属实验中学庞彦福陈晓丽

☉江南省苏州中学园区校耿恒考

初中数学总复习是初中数学教学过程中的重要环节，复习课的类型多种多样，复习的方式林林总总，因教师对教学的认识、理解不同而设计各异，因学生的实际情况、地域不同而方法纷呈.毋庸置疑，复习课不是简单的重复或重新的教与学，复习内容不是知识的重新回顾或再记忆.初中数学总复习需要合理整合和深度思考.复习的作用应该是固化基础知识和基本技能，升华数学思想及方法，结晶数学学习与数学活动的经验，复习的作用是由元认知到再认知的升华.数学结构是一个整体，其整体性不仅体现在数与代数、图形与几何、统计与概率等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上的纵向联系与横向联系方面．笔者尝试从“整体着眼，局部完善”的视域先进行知识体系的整体架构，然后分版块、分单元从不同角度来落实复习目标的达成.

一、系统整合，形成网络

数学知识是按照一定的体系形成与发展的，而我们在新授课教学中往往是只关注某一个知识点或某些知识的形成与应用.单元或章节之后也往往忙于知识的回顾及考试，不一定注重知识间的联系与衔接，这样，在学生的学习过程中就会人为地将数学知识体系分隔开来.我们知道分散的一个个珍珠只有串成项链才更能体现出其价值与意义，数学知识亦是如此.

初中数学应用于考试的试卷中就是两个字“算”与“证”，也就是运算与推理.“算”的具体体现是由“数”的运算到“式”的运算.“数”的运算是基础，“式”的运算是“数”的运算的延伸与发展，是初中阶段运算的重点，而且整个“数”与“式”的运算还会运用到数学（无论是“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”还是“综合与实践”）的推理之中.譬如“幂的运算”中“指数”的加或减就会出现正数或负数或0，也可能会出现分数，因此，零指数幂、负指数幂的出现就显得自然而然，分数指数的出现，也为根式的“粉墨登场”做好了充分的准备.

学生有了整体构架的意识之后，解决问题的思路就会有全局观念.笔者在一次复习课教学中，设计了这样的问题.

例1已知（x-1）x+2=1，求整数x的值.

当出示例1时，先不要求学生解答，只说出解题的想法与思路.

学生1：应从三个方面考虑，一是非零数的零次幂等于1；二是1的任何次幂都等于1；三是-1的偶次幂等于1.

学生2：有的情况还应该考虑开方的可能.

教师：能举出具体的例子吗？

学生2：比如1开2次方、1开3次方结果都等于1.

……

学生有了知识建构的整体意识和观念之后，不仅考虑问题会更全面，而且也为以后的学习奠定了良好的基础.例如，当学生了解到平方根、立方根与分数指数幂的关系后，遇到根据例1而改编的问题：“若（4x-1）x=1，求x的值”时，不仅应该想到以上三种情况，而且还能够想到”x=及x=”的情况.至于是否成立的问题则是解题后的检验反思环节了.

再比如，复习函数内容时，可以设计成：引导学生思考，研究函数问题有效的平台及工具是什么？学生自然会想到“平面直角坐标系”.而构成平面直角坐标系的是“数轴”，这样就容易将实数与数轴、有序实数对与平面直角坐标系，以及函数的图像和研究方法理清了思路，明确了知识间的结构与联系，如图1所示.

图1

二、板块整合，构成整体

板块整合是将相关联的知识进行有效整合.整合不是硬性的拼接，是根据知识间的内在联系的一种自然衔接.板块整合既要做到知识之间的有效对接，同时要突出主干知识的核心地位、统领作用.

《课标（2011年版）》将初中数学的内容分成4个版块：“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”及“综合与实践”.复习时可以结合这种版块的模式，也可以将前两个大版块再进行细化、分解.但无论怎样细化、分类，一定要让学生体会到知识间的密切联系，感悟数学的整体意识，提炼解决一类问题的思想方法.

例2（2011年无锡）如图2，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+ x2+1＜0的解集是（）.

A.x＞1B.x＜-1

C.0＜x＜1D.-1＜x＜0

图2

解析：由抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，代入y=x2+1可得交点A的纵坐标是2.把（1，2）代入y=可得k=2.从而+x2+1＜0⇒＜-x2-1，则求不等式+x2+1＜0的解集等同于当x为何值时函数y=图像在函数y=-x2-1图像下方，由二次函数图像性质知，函数y=-x2-1图像开口向下，顶点在（0，-1），与y=图像的交点横坐标是-1.故当-1＜x＜0时，函数y=图像在函数y= -x2-1图像下方，即关于x的不等式+x2+1＜0的解集是-1＜x＜0.所以选D.

本题将“数与代数”板块的反比例函数、二次函数、不等式、坐标，以及函数与不等式之间的内在联系整合在一起，构成知识链，很好地体现了板块融合的效果.

三、单元整合，落实效益

进行系统整合、版块整合之后，要在不同单元里将知识点及知识的运用落实到单元复习中.因此，同一单元也要进行必要的整合与优化.使学生有效理解单元与单元之间知识的联系和有效衔接，能够更好地弄清楚同一单元内容与知识的内涵，在其他单元中所起的作用.单元整合要注意不能人为地进行分割，要做到合理的联系与知识间的运用.对方程的复习就可以采取先从“元”与“次”的角度将初中阶段的方程联系起来，再从方程的解法与应用的层面总结解决问题的策略，然后归纳、提炼出研究方程问题的共性，以及不同类型的方程中应该注意的问题.譬如，一元二次方程的解决中，复习的不仅仅是方程的解法，同时还应该进一步理解、固化因式分解的内容.

例3若x3-x=0，则x的值为___________.

这样的问题表面上看是一元三次方程，显然不属于初中数学研究的范畴.初中阶段真的无法解决吗？如果对因式分解真正理解的话，方程左边x3-x提取公因式后为x（x2-1），括号内进一步分解因式则得到原方程为x（x+ 1）（x-1）=0，这时求x的值则是水到渠成的了.

复习课的作用是有助于学生理解数学，将数学知识活化，会用数学的思想和方法解决实际问题.无论是新授课还是复习课，培养学生发现问题、提出问题，以及分析问题、解决问题的意识和能力是非常重要的.

四、研究有效策略，提升解题能力

无论是何种形式的复习，其出发点与归宿就是实现理解学习的数学内容，掌握数学知识，提升用数学知识解决问题的能力.

1.研究学生，查缺补漏

通过三年的学习，学生已经掌握了必要的知识，有了一定的解决问题的技能，理解了一些数学的思想方法，积累了相应的数学学习及活动的经验.复习阶段根据当地考试要求的标准及学生的实际情况，制定出切实可行的复习方案.无论是新课学习还是中考前的复习，目标达成的对象是学生，在复习阶段要针对学生在学习中存在的问题、出现的问题，要采取有针对性的有效措施，如部分或个别辅导或补标，起到查缺补漏，促进提优共进.

例4（1）等腰三角形ABC中，∠A=70°，求∠B、∠C的度数.

解析：第（1）问在知识体系中是三种情况而不是两种情况，即当∠B=∠C时，∠B=∠C=55°；当∠A=∠B时，∠B=70°，∠C=40°；当∠A=∠C时，∠B=40°，∠C=70°.有的学生往往把后两种情况当作一种.

这两个题目针对不同的学生，可以采取不同的处理方法，不能为了完成任务而忽略学生的实际情况和接受能力，不能随意拔高或降低适合学生的教学标准和要求.

2.从“道”到“术”，体现通性通法与方法技巧

就像画函数图像一样，用“列表—描点—连线”是通性通法，是数学学习过程中的“道”，取两个特殊点画一次函数的图像，尽管简捷，只是治学过程中的“术”，是在通性通法的基础上形成的技巧.没有一般性策略上的“道”，就不可能有方法技巧上“术”.

例5在平面直角坐标系内，A、B两点的坐标分别是A（0，2）、B（-1，0），O为坐标原点，点C在坐标轴上，若△ABC为等腰三角形，求点C的坐标.

本题的解答中，学有余力的学生可能会找全符合条件的8个点.但是，对于更多的学生能否更快更准地找到这些点呢？就要在理解数学的基础上，研究有效的策略与方法，提高解题的能力.结合题意，明白了所求点的位置，满足的条件，就找到了解决问题的一般方法.若AB为底，则顶点C在AB的垂直平分线与两条坐标轴的交点上（即C1、C2）；若AB为腰，则点C分别在以A、B为圆心、AB长为半径的圆与两条坐标轴的交点上（即C3、C4、C5，C6、C7、C8），如图3所示.

如果缺乏整体意识，没有整体架构的思想方法，解决问题就可能缺少全局的观念，分类讨论就可能漏掉一些情况.

图3

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.孙维刚.孙维刚初中数学［M］.北京：北京大学出版社，2005.

3.马小为，庞彦福.初中数学有效教学模式［M］.北京：北京师范大学出版社，2014.

4.钟珍玖，庞彦福.初三数学总复习策略再探［J］.中学数学（下），2013（11）.

*本文为江苏省教育科学研究“十二五”规划2013年度立项重点自筹课题《培养初中学生自主探究数学学习能力的策略研究》（课题批准号为：E-b/2013/011）的阶段性成果．