蕴内涵重能力促发展
——一道中考压轴题的亮点赏析及教学启示

☉江苏省邳州市运河中学初中部　许　彬

蕴内涵重能力促发展
——一道中考压轴题的亮点赏析及教学启示

☉江苏省邳州市运河中学初中部许彬

一、试题呈现

题目（2014年徐州卷第27题）如图1，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图像的两支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴、y轴相交于点E、F，已知B（1，3）.

（1）k＝_________；

（2）试说明AE＝BF；

图1

二、试题探析

纵观近几年徐州市中考试卷不难发现，围绕反比例函数的图像及其性质考查的题目为数不少.如2012年卷第13题“已知交点（1，2），求反比例函数中k的值”；压轴题第28题“圆与反比例函数”综合应用；2013年卷第15题“反比例函数图像经过点（1，-2），求k”；2014年卷第27题更是将直角三角形与反比例函数图像结合起来，依托反比例函数图像的性质，综合考查平行四边形、相似三角形等诸多初中重点知识.解决本题首先要从“B（1，3）”着手，根据反比例图像上的点的坐标，利用待定系数法求k.反比例函数问题中的系数k往往是解决问题的突破口、入手点，当然此题也不例外.我们可以借助问题（1）中的k和直角三角形的边与坐标轴垂直设出P点坐标，从而表示出点A的坐标，利用数形结合表示较关键的线段PA、PB等，再灵活运用比例线段推导出平行，通过添加辅助线便顺利解决问题（2）、（3）.该题以数贯穿始末，再以形助数、数形结合，在对反比例函数等知识的考查中具有很强的综合性、典型性.

三、亮点赏析

亮点1：考点丰富，凸显试题引领价值

本题是一道以反比例函数为背景的综合性试题，首先模拟数学活动的形式“将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限”，再结合反比例函数图像的几何意义，考点丰富，主要涉及点的坐标、反比例函数图像及性质、一次函数、待定系数、相似三角形、平行线、直角三角形、平行四边形、分式方程等.像函数、相似三角形知识均是初中数学重点学习内容，本题针对重点知识重点考查，体现中考对数学学习的导向意义.问题（1），依据题干中“已知B（1，3），求k的值”，这与苏科版教材八（下）“反比例函数的图像与性质”中的例1相似度较高，考生解决问题（1）时如同面对熟悉的课本，倍感亲切.虽是压轴题，但考查起点低，容易上手，有利于增强考生的信心，能激发考生思维的积极性，对解决问题（2）（3）十分有利.本题依据课标灵活巧妙地考查关键性考点，能面向全体考生体现了数学课程的基础性；取自教材而高于教材，又体现了数学课程的发展性.本题以标取“材”，以本为“本”，试题考查的知识点丰富，凸显了中考对课堂教学、学生学习“有标可依，有章可循”的引领价值.

亮点2：瞄准“四基”，凸显课改方向

《课标（2011年版）》将“双基”发展为“四基”，即“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”.初中数学课堂教学也因此进行了改革与提升，而作为检测学业水平的中考更要顺应课改需求.本题较好地实现了对“四基”的合理考查，凸显了数学课堂的改革方向.其中考查的基础知识有：点的坐标、反比例函数图像、相似三角形、平行四边形判定、分式方程.基本技能有：根据点的坐标求k的值、图形的分割、由比例线段确定平行线、平行四边形判定、列（解）方程等.数学思想是数学知识的灵魂，本题同样注重考查数学思想，如：函数思想、建模思想、转化思想、数形结合思想等.当解题要求你必须将所掌握的知识巧妙组合时，这就需要基本的数学活动经验发挥作用，本题考查的基本活动经验有：数学实验活动、结合图形运用“几何直观”思考、通过探索和作图解决问题等.

亮点3：思路多元，彰显个性解题需求

本题解题思路较广，有多种解法供考生选择，能充分考虑考生的个性解题需求，彰显试题人性化、多元化.其中既有考生均可选择的通性通法，如问题（2）的方法1或2，以及问题（3）的方法1；也有供思维灵活的考生选择技巧性的解法，如问题（2）的方法3、问题（3）的方法2，较好地实现了该题的效度和区分度.

问题（2）的解法（由DC∥AB即可得AE=BF）简述如下：

图2

方法1：（相似法）如图2，根据题意，设P（1，m）（m＜0），则D（0，m），），C（1，0）.可得PA=， PB=3-m，PD=1，PC=-m.因为=，进而△PAB∽△PDC，从而可得DC∥AB.

方法2：（一次函数系数法）如图2，设P（1，m）（m＜0），则D（0，m），C（1，0）.设直线AB的解析式为y1= k1x+b1（k1≠0），将A、B的坐标带入得k1=-m.同理，设直线CD的解析式为y2=k2x+b2（k2≠0），将C、D的坐标带入得k2=-m.由k1=k2得直线DC∥AB.

图3

方法3：（等积法）如图3，连接AC、BD.因为S△ACD=S△AOD，S△BCD=S△BOC，根据两直线之间的距离相等可推出DC∥AB.

问题（3）当四边形ABCD的面积为21时，求点P的坐标时，解题方法

4同样灵活.

四边形ABCD△PAB△PCD×（3-m）-（-m）×1=，所以m=-2，即P（1，-2）.

方法2：（转化法）将四边形面积转化为三角形面积解决，思路简明.如图4，作BQ⊥y轴，则QF=OD，所以FD=OQ=3，因此S△ADF=S四边形ABCD-S四边形BFCD=，即，所以m=-2，有P（1，-2）.

图4

亮点4：能力立意，关注学生终身发展

本题注重考查学生学习数学和应用数学知识解决问题的过程，特别是重要的数学理念、思想方法、基础知识和常用技巧的运用，而没有过分地追求知识点的覆盖面.问题（1）是求k的值，属最基础的知识，因此考生得分率较高.然而问题（2）、（3）使试题难度急转直上，对考生各方面能力要求较高，解题思路活而不难，显然是为了把该题定位为压轴题.试题以双曲线中k的不变性引导探究，立意于考生能力的考查，要求考生具有较强的“几何直观”能力、分析问题能力、知识综合能力、合情推理能力、图形分割能力、方程建模能力、问题转化能力、数形结合能力等.命题者设置这道综合题的意图就是要告诉教者，在数学教学中不能只强调做题，要注重开发学生的各种数学能力，要立足各种能力的提升，要关注学生的终身发展.

四、对初中数学教学的启示

1.准确分析数学问题的本质

“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”章建跃博士也撰文说：“要大力提高概念教学的水平，在核心概念的教学上要做到‘不惜时，不惜力’.”可见，数学问题由数学概念、公式、定理、性质等构成，而学生大量做题其本质就是想灵活使用数学概念、公式等解决数学问题，假如数学教学只是一味地让学生做题而不洞察问题本质，这样只会浪费大量宝贵时间.例如本题中反比例函数中的k值是解决问题的本质，以上列举的多种解法几乎都是利用了反比例函数概念中k值的几何意义，即k值一定时由反比例函数图像上的点向坐标轴作矩形或直角三角形的面积始终不变.由此可见，只有准确地分析数学问题的本质，才能有效提高分析问题、发现问题、解决问题的效率，也能有创造性的解题方法.

2.教学要坚持数学思想的培养

日本著名数学家米山国藏说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘记了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想……这些随时随地地发生作用，使人终身受益.”作为授课教师不应该单纯地教学生知识，而应当以数学知识、数学问题为载体，向他们传授数学思想.数学思想是隐含在数学知识的形成、发展及应用的过程中的，因此，教师若想提升学生的数学素养，就要在数学教学中准确把握数学思想方法，重点引导学生从数学思想的角度分析问题、解决问题.本题作为2014年徐州卷的压轴题，诸如：函数思想、建模思想、转化思想、数形结合思想等均得到很好的体现，能从数学思想的高度考虑学生的长远发展，值得称赞.

3.努力实现基础与能力并重

《课标（2011年版）》对学生的数学学习提出了“四基”要求，而“四基”与数学教学的关系被张奠宙先生描述为：“数学教学是数学活动的教学，学生通过无处不在的基本数学活动获得的经验，与数学基本知识、基本能力、基本思想方法交织在一起，渗透在整体数学学习过程中.”同时，数学是一门思维性较强的学科，数学教学就要通过“增强发现问题和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”来发展提高学生的思维能力.此题既“关注基础”，又有“能力立意”，两者并重的作用就是不断地实现数学问题化难为易、化繁为简，从而顺利解决问题.

4.积极践行“学为中心”理念

在有效的教学活动中，学生才是教学的中心、学习的主体，教师只是学习的组织者、引导者，即“学为中心”理念.徐州市一直致力于“学讲”课堂模式，即通过教师指导下的全程自主学习，落实学生学习的主体地位，以自主学、合作学、质疑学、“讲出来”、“教别人”的学习方式，边学边讲，调动学生主动、自主学习的积极性，提高学生课堂教学的参与度、问题探讨的深度，着力培训学习方法，提高学生探索问题、解决问题的能力，从而形成个人能力，提高教学的有效性.“学讲”模式正是践行了“学为中心”的教学理念，作为一线教师要锐意革新，甘当课堂改革的践行者，努力推进“学讲”课堂高效实施，争取早日实现地区教育的现代化.

1.邢成云.类比引领问题驱动方法促成［J］.中学数学（下），2014（1）.

2.许彬.挖掘教材资源凸显试题导向［J］.中学数学（下），2014（6）.

3.马敏，孙朝仁.中考试题的命题思想、特点及教学启示［J］.中国数学教育（初中版），2012（7-8）.

4.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.