立足错因分析，强化解题指导
——一道选择题纠错教学的启示

☉江苏省如皋市外国语学校　马　亮

立足错因分析，强化解题指导
——一道选择题纠错教学的启示

☉江苏省如皋市外国语学校马亮

在近期进行的一次“相似形”单元练习中，一道选择题的“蹊跷”出错引起了笔者的关注.在批阅试题后，笔者决定以此题为例题，设计了一次解题教学.通过错因分析，让学生获得此类问题求解时的避错策略，突破试题讲评“就错论错”的困境，放大了“错误”资源的教学效应.现结合这道选择题的教学历程谈一些感悟，希望能给您带来启示.

一、原题分析

题目：如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，AB＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是（）.

图1

A．b2＝acB．b2＝ceC．be＝acD．bd＝ae

试题分析：本题主要考查了相似三角形的判定及性质，由CD∥AB可得∠CDB＝∠DBA.因为∠C＝∠BDA＝ 90°，所以△CDB∽△DBA.所以通过对这一比例式的变形，我们不难发现，b2=ac，A选项中的等式是成立的，其余三项均不正确.其中，B选项中与b2相等的应该是ac，而不是ce；C选项中的be=ac是不正确的，应该是be＝ad；同样的，bd＝ac，而不是bd=ae，所以D选项也是错误的.所以这道题目应该选A.

二、考情呈现

本题被编排在全卷的第8题，是选择题的“压轴题”，分值3分.在45名参与测试的学生中，选择A的有15人，全班人均得分1分.试题实测难度0.33，很好地体现了本题所处的“压轴”地位.在学生给出的答案中，几乎覆盖了这里的每一个选支.其中，选择B选项的有9人，选择C选项的有17人，选择D选项的有4人.显然，这样的解答情况符合命题人的期待，另外三个选支的干扰作用明显，将学生可能出现的典型错误合理分布在选支之中.A选项正确选支的设计，看似能提高得分率，实则给学生解题设置了极大的障碍.根据与选错学生的交流，一些不能找到正确解题思路的同学，不会也不可能选择第一选择支作为自己的答案.

三、讲评历程

1．试题重析：再析试题组成，陈述解答现状

教师投影试题，请学生读题，并将文本中的条件和图形中的条件对应标注.在学生完成标注后，教师对试题的题干部分进行了再分析，将“AB∥CD，∠C=90°，∠BDA=90°”等条件在文本中划线标记，同时，在图形中将文本中的条件，用“平行”和“垂直”符号进行了标注.然后，针对题目给出的四个选项，教师提出了三个问题：这四个等式是什么形式？这些式子可以转化为什么式子？该如何转化？学生根据老师提出的问题展开思考，通过组内交流的方式，得出应用等式性质可以将四个选项中的等积式转化为比例式，从而很好地回顾了化解“与等积式相关考题”的一般思路.最后，教师简单介绍了这道试题的解答情况，告知学生本题的正确答案为A，并将本题的答对人数、平均得分和其余三个选支的选择情况一并告知学生.

简析：试题的再梳理，为的是让学生明晰试题的条件与结论，将此类试题的常用解法从学生的脑海中提取出来.标注条件，是一种技巧，更应成为学生解题的一种习惯.在学生标注后，教师呈现标注的过程，意在让学生进行对比矫正，从而形成对解题有帮助的标注行为.针对结论提出的三个问题，是化解“与等积式相关考题”最常见的问题组，教师的递进式追问，唤醒了学生解答此类试题的经验，为下一步的反思交流做好准备.

2．反思交流：重温答题情境，再现出错过程

在对试题进行了简要分析和考情陈述之后，教师要求出错的学生先自己回忆解题时的思路分析过程，然后在小组中交流.最后，教师请4位同学在全班进行了交流.

学生1：仅从图形看，“直觉”告诉我△COB和△DBA都是等腰三角形，所以△CBD∽△DBA.所以，就列出了比例式化为等积式be=ac，我选择了C.

学生2：我和学生1的感觉是一样的，从图形直接得到了△CBD∽△DBA，所以，即b2=ad，没有这个选项.于是，我重新写了一个比例式，所以，ad=be.D就成为我的选择了！

学生3：没怎么想，直觉告诉我应该是用“相似三角形的性质”求解.所以，我直接写出了两个三角形的相似关系为△CDB∽△BDA，得出比例式，所以b2＝ce，一看B选项和我的一样，很激动，就选择了B.

学生4：我一看图形，感觉BD是∠CBA的平分线，所以∠CBD＝∠DBA，这样两个三角形中B点又成为对应顶点了.加之∠C＝∠DBA＝90°，所以，点C和点D是两个相似三角形的对应顶点.所以，△CBD∽△DBA，所以＝，将式子变形，就发现选项C中的be＝ac了.

简析：错必有因，在学生的求解过程中一定出现了这样或那样的“诱因”.在今后解题中，能否抵抗住这些“诱惑”，找出错误的“起点”是关键.在上面的片断中，教师以小组交流和全班交流为抓手，让学生自揭“伤疤”，回忆自己的求解历程，并梳理出其中的疏漏之处.这样的梳理，一方面可以顺利找到出错的原因，得出正确的求解思路；另一方面，还能将解题的经验在小组或全班进行分享，实现错例讲评效益的放大，为下一步建构“避错策略”夯实了基础.从学生给出的交流成果看，教师的预设达到了预期效果.

3．策略建构：详细分析错因，形成避错策略

教师根据学生陈述的出错过程进行了小结，指出“‘不认真审题，不认真推理’是这道题目出错的两个主要原因”，接下来对这道题的规范求解进行了引导.

教师：题中的两个三角形相似吗？

学生（齐）：相似.

教师：你能用符号把它们这种相似写下来吗？

学生1：△CDB∽△BDA.

教师：你是怎么得到的？

学生2：先证到两对角相等：∠C=∠DBA=90°，∠CBD=∠DBA，这样就可以确定两个三角形的对应顶点了.

教师：看了这两对角相等是要证明的.那么，这里的顶点怎么对应的？

学生3：点C和点D，△CBD中的点D与△BDA中的点B，另外两个顶点B与点A是对应的.

教师：非常棒！这样一来，在符号“∽”的左右两侧将这两个三角形的顶点对应书写就行了.（板书示范书写过程）

教师：这给你什么启示？

学生4：确定三角形的相似并不是随意的，必须强调“一一对应”.找到对应顶点，是用相似符号“∽”定位的前提.

教师：很好！看来，要想用符号“∽”写出一对相似三角形还是不容易的.这么写（指着黑板上的板书），有什么好处呢？

学生5：把对应顶点在符号“∽”左右两侧对应书写，让下一步找对应线段“有据可依”了.

教师：是的！通过这道题目的交流，你还有哪些收获呢？

学生6：首先我们要认真审题，将文字信息与图形信息进行对应标注.

学生7：解答一些与基本概念相关的题目时，要及时回到概念，从原概念出发，建构解题模型.

学生8：我看这幅图给的有点特殊，我就自己重新作了一幅图，求到了正确的答案.这就告诉我们，当遇到一些特殊位置下的图形关系探究时，我们有必要进行重建图形.

学生9：推理过程要细化，绝不能因为是选择题或填空题就简单处理，一跨步就可能会出现“意外”.

教师：哇！你们有这么多收获呀！看来一道小小的选择题同样能引发大家丰富的思考，期待你们能由这道题带来的思考用到今后的解题中去，减少失误，力求用完美的思路给出正确的答案.

简析：看似题小，实则蕴含着很多数学道理.前两个环节中，试题分析让学生对试题的构成和正确的求解历程了如指掌，反思交流激活了学生的思维，将自己原有的解题过程进行了彻底梳理.这样的过程经历，激活了学生补充解题经验的欲望.此时的即时小结，学生结合自己刚刚经历的反思历程，自然“有话可讲”.在学生口中源源不断呈现出的“启示”与“收获”中，既有针对性极强的同类问题的解答方法，也具有一定拓展性的解题技巧和具有普适性的解题习惯等.这样的梳理，立足“讲题”，指向“解题”，成就“提升”.应该说，教师在此时让学生小结，顺应了学生的认知需求，能将问题解决经验及时“固化”，融入到学生已有认知网络之中.

四、三点感悟

1．客观题讲评，不能一“纠”了之

客观题，一般指试卷上的填空题和选择题，这些题目的求解不需要像解答题一样“给出必要的证明和演算过程”，只需给出最终的选择或结果.因此，在批阅时，教师也就只能从学生给出的答案直接判别对错，而无法了解到学生的求解过程.当面对学生呈现的错误答案时，如果不加分析，一般较难弄清学生解题时的思维过程.这就导致很大一部分出错客观题的讲评，停留在“一纠了之”的境地.课上，教师将正确答案告知学生，学生自己改一下，讲评便“大功告成”.从利学的角度看，这样的讲评是不妥的，客观题出错，自有其原因，而且有着各不相同的原因，有的是没有良好审题的习惯，导致审题时出错；有的是知识融合不到位，导致“思维链”断裂，无法求解；也有的是解题习惯差，在过程探究时出现了书写或计算错误……面对如此种种的错因，如果仅是一纠了之，这样的讲评就无法唤起学生自我反思的意识，对学生解题习惯的培养和解题能力的提升是起不到任何作用的.因此，对出错的客观题的讲评，我们绝不能以纠错为终极目标，应将教学的立足点安放在提高学生的分析问题和解决问题的能力之上，这样才能设计出高质量的讲评课，让教学实施有“品味”，有成效.

2．错题讲评，要关注避错技巧的指导

数学试题，千变万化，不同考点的整合，会让试题呈现出不同的形态，学生也就会出现不同的错误.在教学中，如果仅就题讲题，试题讲评会“浮在表面”，流于形式.因此，我们应以“避错技巧”的建构为抓手，让学生从错因分析入手，形成适合自己的个性化的解题方案，为今后正确解题积淀经验.当然，这些个性化的经验，有时可能会影响其他同学，有些甚至可能成为全班共享的经验，这就需要教师具有灵敏的“教学嗅觉”和扎实的捕捉能力，能从众多个体的反思交流中进行即时筛选，为学生能将最具普适性的经验在全班范围内分享提供机会.本文中，试题讲评最后的交流恰到好处，审题技巧指向了问题解决的起点，回到概念指向了问题解决的关键，重建图形与细化步骤保证了解题的“正方向”.这些“避错技巧”的获得，让学生的解题“如虎添翼”，对他们分析问题和解决问题能力的提升大有好处.

3．错因分析，强化了反思质疑习惯的培养

思，方能有所悟.错因分析，唤醒了学生曾经经历的解题过程.解题过程的“再经历”，实则就是学生自主反思，自我觉醒的过程.在练习讲评过程中，让学生不断经历这样的“再经历”，对反思质疑习惯的养成是十分有利的.初中阶段，反思质疑与认真听讲等是我们在教学中应着力培养的习惯.良好的反思质疑习惯，是学生数学素养的重要组成部分.为此，笔者建议，练习讲评可从错误入手，让学生“思”：我为什么会错？我怎么会这样想的？当时在哪些方面我没有注意到呢？今后怎样才能不出现类似问题呢？有没有更好的、不容易错的解题方法和路径呢？如此众多的问题反复刺激着学生，让他们在不自觉中形成了思维的惯性，在未来的问题解决过程中，类似问题情境的出现自然会激活他们的思维，这些问题也就会不自觉地“蹦出来”，敲打着学生给出的解题过程，“对还是不对”也就会成为学生思维的常态.由此可见，错因分析，不在错误本身，错因分析背后形成的思维惯性对学生才是最为重要的.