为何要摒弃“通法”？

☉江苏省海安县墩头镇墩头初级中学　朱俊英

为何要摒弃“通法”？

☉江苏省海安县墩头镇墩头初级中学朱俊英

《中国数学教育》（初中版）2014年第10期刊载了陈金红老师的文章《几何“形”，代数“声”，三角函数“心”》，该文谈论的是2014年湖南省常德市的一道中考压轴题.

题目如图1、2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD（或延长线）于E，作PF⊥DC（或延长线）于F，作射线BP交EF于G.

（1）在图1中，设正方形ABCD的边长为2，四边形ABFE的面积为y，AP=x，求y关于x的函数表达式；

（2）结论：GB⊥EF对图1、图2都是成立的，请任选一图形给出证明；

（3）请根据图2证明：△FGC∽△PFB.

图1

图2

文章的标题充满诱惑，陈老师在分析中写道：“表面上看是一道几何题，受思维定势的影响，使用纯几何方法（如同表面漂亮的人被定势为其他方面均优秀的错觉），误引几乎所有答题者（其中也包括命题者）向纯几何苦苦寻‘路’，却路途荆棘丛生不得要领！致使在规定的时间内一般思维品质的人跳不出这个‘框框’，使人解题失败！”接着给出了较为“奇葩”的解法……文章的结尾写道：“此题用到残缺图形补全、图形数量代数化，还运用了以相似为基础的锐角三角函数、见直角用‘三角’，充分说明了审美数学、学科融合教学、知识联系性教学、加强数形结合、重视数学基本经验的重要性，更重要的是说明数学最好的方法是对生活的理解，把对生活的理解运用到数学中，又通过数学回归生活，数学生活方法化，生活方法回归化，从哲学的高度提炼数学方法，从而印证数学是方法论、是价值观、是素质的核心！”笔者读后一头雾水，陈老师为何要故弄玄虚、简单问题复杂化？一道常规的几何题，用很常规的解法能够奏效，怎么变成“受思维定势的影响”？既是在规定的考试时间内解题，不走捷径反而想“跳出框框”有何道理？其实，要证“GB⊥EF，△FGC∽△PFB”是常见的几何问题，纯几何方法并不困难，证明如下.

证明：（2）如图3，延长FP交AB于H.

图3

由PF⊥DC，PE⊥AD，得PF⊥PE，PH⊥HB，即∠BHP=90°.

由四边形ABCD是正方形，得AC平分∠DAB.

可得PF=FC=HB，EP=PH.

（3）如图4，连接PD，由GB⊥EF，得∠BPF=∠CFG=90°-∠PFG①.

图4

则PD=PB.而PD=EF，则EF=PB.

由GB⊥EF，得PF2=FG·EF，则PF2=FG·PB.又PF= FC，则PF·FC=FG·PB，则

由①和②得△FGC∽△PFB.

上述证明朴素、自然，是解决类似问题的“通法”.所谓通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法.通性通法更贴近学生的思想认识水平，符合常人的思维习惯，同样也有利于培养学生的数学能力，几何中一些常用的辅助线、常见题型的证题思路，就是学生在证题时的“通法”，项武义教授主张通性通法，主张教学生“大巧”，少讲只适用于一题或几道题的“小法”；章建跃博士也曾在《中小学数学》撰文《注重通性通法才是好数学教学》.数学属于思考型的学科，在数学的学习和解题过程中理性思维起主导作用，解题教学要更多地注重思考题目的“核心”是什么，从题目中“提炼”反映数学本质的东西.掌握好数学模式题的通用方法，摒弃“通法”得不偿失.

无独有偶，近读陈永明名师工作室编著的《数学习题教学研究》一书，在第110页见到一道几何难题.

题目已知：如图5，AB=BC，∠ABC=90°，AD=DE，∠ADE=90°，M为EC的中点.求证：BM=DM.

图5

书中给出的证法如下所示.

如图6，作BG⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为G、F，设AB=a，AD=b，易得CM=EM=（a-b）；

所以BM=DM.

这个证法的简洁性毋容置疑，但笔者认为技巧性太强，缺乏解题经验的“显性化和算法化”，难以普遍使用.其实，这虽是一道几何难题，但图形特色鲜明，用“通法”也能破解.

图6

一、“通法”探究

1.直接构造全等三角形

分析：要证BM=DM，可直接过点B、D作AC的垂线构造两个直角三角形全等证明.

证法1：如图6，作BG⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为G、F.

所以Rt△BGM≌Rt△MFD，故BM=DM.

分析：要证BM=DM，可设法构造其中一边为BM的三角形与△EDM全等，延长DE交BC于F，连接FM即可.

证法2：如图7，延长DE交BC于F，连接FM.

显然EF⊥FC，BF=AD=DE，∠C= 45°=∠AED=∠FEC.

则FE=FC.又EM=MC，则FM=EM= MC，则∠MFC=∠C=45°，∠BFM= 135°=∠DEM.

则△BFM≌△DEM.则BM=DM.

图7

2.倍长“中线”构造间接全等三角形

这里的“中线”泛指经过中点的线段，将中线延长一倍构造全等三角形是解决中点几何问题行之有效的方法.

图8

证法3：如图8，延长DM至点F，使FM=DM.连接FC、FB、DB，显然△FCM≌△DEM.

则CF=DE=AD，∠MDE=∠MFC，则DE∥CF∥AB.

则∠BCF=∠ABC=90°=∠BAD.

于是△BCF≌△BAD.

则BD=BF，∠ABD=∠CBF.

由∠ABD+∠DBC=∠CBF+∠DBC，得∠DBF=∠ABC=90°.

在Rt△DBF中，由BD=BF，DM=MF，得BM=DM.

这几种证法都是“通法”，表面上看，最后一种证法比较烦琐，但却是解决中点几何问题最适宜的“通法”之一，值得好好体会.

二、“变式”探究

1.延伸

在原题的条件下，还可以证明BM⊥DM.

证法1：如图6，由Rt△BGM≌Rt△MFD，得∠BMG=∠MDF.则∠BMD=∠BMG+∠FMD=∠MDF+∠FMD= 90°，所以BM⊥DM.

证法2：如图7，由△BFM≌△DEM，得∠BMF=∠DME，

所以∠BMD=∠BMA+∠DME=∠BMA+∠BMF= 90°，所以BM⊥DM.

证法3：如图8，在Rt△DBF中，因为BD=BF，DM=MF，所以BM⊥DM.

图9

2.拓展

如果将图5中的△ADE绕点A逆时针旋转大于45°且小于90°的角，如图9，那么“BM=DM且BM⊥DM”是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.

分析：此题用证法1、2显然无能为力，而用证法3可顺利得解.

解：BM=DM且BM⊥DM仍成立.理由如下.

图10

如图10，连接BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连接BF、FC，延长ED交AC于点H.

由DM=MF，∠EMD=∠CMF，EM=MC，得△EDM≌△CFM.

则ED=CF，∠MED=∠MCF，DE∥CF.

由ED=AD，ED=CF，AD=CF.

由DE∥CF，得∠AHE=∠ACF.

又∠BAD=45°-∠DAH=45°-（90°-∠AHE）=∠AHE-45°，∠BCF=∠ACF-45°，则∠BAD=∠BCF.

又AB=BC，AD=CF，则△ABD≌△CBF.

则BD=BF，∠ABD=∠CBF.

又∠ABD+∠DBC=∠CBF+∠DBC，则∠DBF=∠ABC=90°.

在Rt△DBF中，由BD=BF，DM=MF，得BM=DM且BM⊥DM.

数学家怀特指出：数学就是对模式的研究.罗增儒教授在《解题学引论》中指出：学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型——模式，将其有意识地记忆下来，当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一类基本模式，联想起一个已解决的问题，以此为索引，在记忆储存中提取出相应的方法来加以解决，这就是模式识别的解题策略.解题教学中，“通法”是最常见、最基本的解题模式，解题教学理应反璞归真，在“通法”上花功夫做足文章，教给学生最实用的解题模式，促进学生“基本活动经验”的积累.

1.陈金红.几何“形”，代数“声”，三角函数“心”［J］.中国数学教育（初中版），2014（10）.