基于“整体观”的几何教学与反思
——以“平行线的判定”教学为例

☉江苏省常熟市白茆中学　章志霞

基于“整体观”的几何教学与反思
——以“平行线的判定”教学为例

☉江苏省常熟市白茆中学章志霞

章建跃教授在《数学教育之取势明道优术》一文中指出：“教好数学”的内涵应该是“为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”.并进一步指出“在面对一个新的数学研究对象时，要有‘整体观’，要先为学生构建研究的整体框架”.基于上述“整体观”理念，笔者最近开发了“平行线的判定”教学设计，并且取得较好的教学效果，本文先呈现该课的教学设计，并给出课后反思，与大家研讨.

一、“平行线的判定”教学设计

（一）学习目标

（1）掌握平行线的判定方法（一个公理，两个定理）；

（2）能书写规范的平行线判定的几何语句解决简单问题；

（3）梳理和辨析不同的平行线判定方法；

（4）在平行线的判定学习中，感受转化、从特殊到一般等数学思想.

（二）学习流程

活动1：从无到有，研究平行.从平面上一个点出发，……

预设：从一个点出发，生成平面内两直线相交、平行两种状态，进一步复习对顶角、邻补角概念，为后续平行线的判定做好相关知识或概念上的准备.也为引入截线，引出三线八角服务.三线八角为什么要定义，在这儿可以跟学生做些解读，主要就是为了研究平行线的判定和性质，方便探索线段的位置关系与角的大小关系.

活动2：公理、定理，判定平行.

基本事实（公理）：同位角相等，两直线平行.

定理：内错角相等，两直线平行.

定理：同旁内角相等，两直线平行.

预设意图：从基本事实出发，证明两个定理，规范几何语句的表达，如果学生能规范书写，则快速向后推进.接着可进一步将图形特殊化如下，垂直状态时会有怎样的情形呢？师生共同归纳出相关推论：垂直于同一直线的两直线平行，并指出这是一个真命题，有些教材上也把它作为平行线的判定依据.

活动3：应用新知，证明问题.

工具智慧

例1木工师傅经常用一把直角尺画出两条平行的直线a和b.你知道这样做的道理吗？

例2有人认为，可以用两个相同的三角尺画出平行线？你知道其中的道理吗？

生活现实

例3蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α＝109°28′，∠β＝70°32′.试确定这些四边形对边的位置关系，并证明你的结论.

数学现实

下列推理是否正确？为什么？

（1）如图，由∠1＝∠2，得l1∥l2；

（2）如图，由∠4＋∠5＝180°，得l3∥l4；

（3）如图，由∠2＝∠4，得l3∥l4；

（4）由∠3＋∠6＝180°，得l1∥l2.

预设意图：本环节首先围绕着“工具”展开，分别以“一把直角尺”和“两个三角尺”的实际操作图示，帮助学生在应用新知的初步阶段形成清晰的形象认知，为后继进行“蜂房”的验证思考以及推理练习奠定了感性基础.在练习时，教师通过安排例、习题练习，巩固新知，同时讲评时注意引导学生判断，如果正确，要求学生说明判定的依据.

活动4：变式拓展，指向生长.

预设意图：“道生一，一生二，二生三”.引领学生再从另外的角度思考，再思考一种需要添加辅助线的问题，主要涉及平行线的又一种判定方法“平行于同一直线的两直线平行”.当然问题的思考过程中，还会涉及平行线的性质，这里可以辅助思考，并不能因为下一节才主要学习这个性质，这一节就回避这类问题，注重侧重点和平衡是很关键的，不涉及就是封闭的，涉及就是开放的.重要的是，这种变式可以使得平行线的判定得到进一步的系统化，比如本课小结时除了呈现上面的结构图之外，还可帮助学生将平行线的判定方法梳理如下.

（1）平行线的定义：同一平面内，不相交的两条直线一定平行.

（2）平行公理与推论.

①平行公理（基本事实）：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

②推论（真命题）：平行于同一直线的两直线平行.

（3）基于“三线八角”的研究.

①公理（基本事实）：同位角相等，两直线平行.

②定理：内错角相等，两直线平行.

③定理：同旁内角互补，两直线平行.

④推论（真命题）：垂直于同一直线的两直线平行.

二、教后反思

1.先构建整体框架，再展开具体探究

本课的教学目标和预设的侧重点并不在具体的推理，而是帮助学生先构建平行线及其判定的整体框架，然后通过相关题例认识平行线判定的作用，后面可以跟进习题课，示范并辅导推理语句和相关的证明题.这里也可提及江苏南通李庾南老师倡导的“单元教学”，即结合初中学生数学学习特点，在研究教材的基础上，重组教材内容，实施“单元教学”，即根据数学知识发生的规律、内在的联系，将数学知识分为单元或模块，然后利用1～3个课时开展单元教学.这不同于数学教材上按某些小的知识点细分课时的做法，而是整体呈现单元内容，然后安排习题讲评课、交流讨论课，巩固单元教学的效果.

2.注重数学整体性，提升系统思维水平

我们知道，数学是一个枝繁叶茂的参天大树，各个数学知识点之间充满关联，基于数学的整体性开展数学教学，特别对新概念和性质开展整体单元教学，将有助于学生系统思维水平的提升.教师在教学实践中，要有意识地运用“整体性”思维对教学内容和教学流程进行二次加工，使得课堂教学呈现鲜明的“整体性”特征，从而帮助学生将零碎、分散的数学知识链接起来，促进学生完成有意义数学学习的自我建构.学生系统思维水平提升之后，能极大地简化他们对事物的认知，加深数学学习对象的整体观、全局观，有效地培养学生的逻辑抽象能力.

1.章建跃，陈向兰.数学教育之取势明道优术［J］.数学通报，2014（10）.

2.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013（6）.

3.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

4.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.