局部探究——定格数学课堂瞬间精彩

黄晓勇

[摘 要]

数学课堂离不开学生的探究，在课堂教学关键环节进行局部探究活动，可以让学生更清楚了解到知识的来龙去脉，理解相关知识的本质。设置生活化的问题情境、环环相扣的问题串、借助现代教育技术直观演示、预设合理化实际问题等都是实施局部探究行之有效的策略。

[关键词]

局部探究；数学；课堂；向量

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的重要桥梁。通过向量的学习可以发展学生的数学观念，提升学生的运算能力和解决实际问题的能力。但实际教学中，受诸多因素的影响，仍有不少教师重运用定理解题、轻概念定理认知，人为地造成向量概念、定理与解题脱节的现象，导致学生对向量定理模糊不清，对向量的运算性质一知半解，严重影响了后续学习。

在日常的数学教学中，由于课堂的时间有限，如能根据本节课的特点，围绕某个问题，用5分钟左右的时间，在教师的组织、引导下，让学生通过个人、小组、集体等多种方式进行解难释疑的尝试活动，可以使学生更清楚了解到知识的来龙去脉，理解相关知识的本质。笔者结合《向量的加法》新授课，谈谈如何进行局部探究教学。

一、设置生活化的问题情境，通过局部探究理解向量加法的定义

向量的加法是学习向量线性运算的起始内容，“为什么引入向量加法”，“如何建立向量加法法则”以及“向量加法法则建立后有何作用”，是学习向量加法必须弄清楚的问题。考虑到向量有极其丰富的实际背景，如能恰当地给学生创设生活化的问题情境，通过对问题的探究、分析，可以让学生归纳和抽象出概念的本质特征，这样形成的新概念更容易被学生理解和接受，也能激发学生更好地参与向量的后继学习。此前，学生已经接触了物理中和位移的求法，可以从这个点切入，设计如下问题情境：

教师：“大家有没有遇到过上午的最后一节课是体育课的情形？”学生回答：“遇到过。”教师：“上完体育课后，有的同学直接从体育馆去食堂；有的同学先回教室拿饭卡，再去食堂用餐。请大家观察这两组位移“体育馆——教室——食堂”“体育馆——食堂”，利用向量的表示，这三个向量之间的等量关系式是什么？”很自然，学生会说出答案，此时教师顺势导出向量加法的定义，很轻松地就为引出向量的加法的三角形法则做了很好的铺垫，紧接着，教师提问：“对于任意两个不共线的向量，我们该如何求解它们的和呢？”向量加法的三角形法则跃然而出！显然，通过生活化的情境引入数学概念，在问题的探究过程中，不仅解了学生的“惑”，这种引入比较生动，有趣，自然，能激起学生学习、探讨的兴趣，轻松地将学生由“好奇”带入“困惑”的状态，在解惑的过程中，学生不仅能快速根据关键特征感知、记忆概念，而且能更加深刻地从多个角度理解这个概念，并为后续学习做了一定铺垫。

当然，向量加法的引入方式还可采取：通过学生已有的知识和经验引入概念，动手操作引入数学概念，通过实际问题引入数学概念等。但不管何种引入方式，都要侧重引起学生的注意，激发学生的兴趣。剖析过程要体现概念的本质，蕴含概念发生的思维方法，给学生提供广阔的思维空间，让他们逐渐养成主动探究的习惯。

二、设置环环相扣的问题串，探究向量运算法则

数学知识是在人类的思维活动中产生的，而思维活动总是在提出问题和解决问题的过程中进行的，因此发现问题就成为解决问题的起点。遵循这一规律，在数学知识的教学中，创设问题情境，精心设计出系列问题，巧设悬念，层层深入，以此来诱发学生强烈的求知欲望，让学生在困惑、紧张、兴奋的情境中不仅了解学习的知识“是什么”，更要知道“为什么”“怎么想到的”等一系列问题。

理解向量加法的定义后，自然就要探究三角形法则，可以设计以下探究环节：

先介绍首尾相连的两向量的求和方法，设置问题情境，对于不共线的两向量，如何求其和向量？学生马上说出平移，利用三角形法则作图。此时教师不失时机地提出以下问题：

思考1：向量[a]平移前后相等吗？为什么？

思考2：平移的目的是什么？

思考3：和向量的起点与终点是如何确定的？

思考4：能否只平移其中的一个向量？若能，怎样平移？

简单的4个问题，就把向量加法的三角形法则的作图要点“首尾相连，连首尾”解释得清清楚楚。这样推导，不仅自然流畅，直观严谨，而且能让学生进一步明白向量加法的实质（起点可以自由选择），符合学生的认知发展规律。学生在经历向量加法法则的探究和应用过程，不仅能体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，还会进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。

三、借助现代教育技术直观演示，轻松探究和向量模的范围

数学学科高度抽象的特点，更需要学习者的感受、体验和思考过程，因此，“做数学”是学好数学的利器！用计算机软件或简单模型，设计妙趣横生、新颖独特的实践操作活动，可以提供给学生学习提供直接数学活动经验。在实践操作过程中，操作者能直观地感觉数学知识，有利于加强知识的理解和记忆。而且不同层次的学生在共同动手实践中能起到相互促进的作用，从而提高学生合作解决实际数学问题的能力及科学表达自己观点的能力。

向量的和、差的模的取值范围是一个很容易让学生纠结不清的内容，学生已经通过学习，掌握了向量的概念、几何表示。笔者设计了以下探究片段：

如图，给出非零向量[a]，[b]，令向量[OA=a]，[AB=b]，则[a+b=OA+AB=OB]，借助几何画板给出如图动态的示意图，转动点B，观察向量[OB]的模的变化情况。

[[OA]和[AB]不共线 [OA]和[AB]同向 [OA]和[AB]异向]

问题1：在旋转过程中，向量[OB]的模经历了怎样的变化过程？

问题2：向量[OB]的模何时最大？它的取值与[a]，[b]有何联系？

问题3：向量[OB]的模何时最小？它的取值与[a]，[b]有何联系？

问题4：你能用三角形的相关知识证明[a-b]≤[a+b≤a+b]吗？怎样证明？

经过学生自主探究后，教师与学生一起分析这两组结论的共同点与相异点，问题迎刃而解。这种探究实质上是运用数学模型去解决问题，突出了数学知识的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，形成对数学的完整的认识。同时，从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内容，促进学生学习的主动性、培养其创新精神和思维的深刻性。

四、预设合理化实际问题，探究向量加法知识的应用

向量是现实世界的重要数学模型，学习数学模型的最好方法是经历数学建模过程。我们可以按照“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开探究。“站得高才能看的远”，选择应用题时应放眼全局，从知识系统的维度选择相应的应用题。教材中的例2的设计，主要是想训练学生对平行四边形法则分解向量的运用，但起始难度较大，笔者经过仔细考虑后，采用了下列设计方案：

例题：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，一艘船从长江南岸A点出发，以[23]km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h。

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；

（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与水流方向的夹角来表示）。

变式：在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h。渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

教师讲解例题，总结出解答应用题的关键是提取有效信息，然后联想相应的数学模型，如本题联想两向量的和的模型。接着让学生根据题意准确画出变式题的图形，针对学生可能出现的“航向是北偏东30°”的错误进行及时纠错，并指出在巡视的过程中，发现几个学生求出原因是受初中的结论（若直角三角形的一条直角边是斜边边长一半，则其对应的角度为30度）的影响，形成了错误的思维定势。

改变问题的结构、条件或设问方式等，变换的是问题的形式，但不改变问题的本质，使学生学习时甄别知识之间的细微差别，不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，这种设计能巩固平行四边形法则的运用，进一步培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生科学的人生观和锲而不舍的精神。

不管是进行何种方式的探究，最终目的都是为了深化对问题的理解，优化思维过程，揭示问题本质，沟通知识间的相互联系，促进知识的同化和迁移。在实际操作中，要结合特定的教学目标，思考是否采用探究教学，选用何种探究方式，具体怎样操作实施，能不能与其他教学形式进行有机整合、相互配合使用。当然，在实际教学中，探究还要时时注重对知识点蕴含的数学思想、关键因素等进行概括、总结，让数学思想“像一条河流，流淌在学生的心田”。

[参 考 文 献]

[1]王华民，郑宝生.对数学概念形成过程实施局部探究的实践与思考[J].数学通报，2011（7）.

[2]韩国梁.让数学课堂活起来——数学课堂局部探究的尝试[J].中学数学教学参考（上旬），2012（5）.

（责任编辑：张华伟）