论数学思想和数学方法在初中数学学习中的应用

王乃玲

摘 要：数学思想是人类从最早的结绳记事起，在对数学知识的发现、学习、应用过程中所总结的数学的学习规律，人们通过对这些规律的掌握，更好更快的学好数学，用好数学，让其更好的为人类服务。数学方法是在数学思想的支配下，对特定的数学问题所给与的解决的方式。

关键词：初中数学；数学思想；数学方法；应用

用符号代替数，也即用字母表示数，是学完小学数学，开始接触初中数学对学生提出的最基本的要求，符号代替数的思想是最基本的思想。方法是将复杂的问题通过已知的公理、定理，简化为已知的问题。分类讨论的思想是指有的问题不止一个结果，解题时要从各个方面综合考虑，有不同的条件得出不同的结果，分类讨论思想是数学的重要思想.函数思想是方程思想的转化，这是因为函数是方程的转化，每一个方程都是一个函数解析式，函数将方程通过图形的形式表示出来，同时又具有能够解决单纯靠方程所不能解决的问题，函数思想贯穿整个数学知识的始终，其重要性不言而喻。数形结合的思想则应用的更为广泛，大至几何和代数的结合，小至一个简单的数学问题的解决。

初中数学方法有很多，主要的上面已经列举，消元降次用来求解方程，一次多元方程组要用消元的方法，高次一元方程要用降次的方法，多元高次方程组消元降次两种方法都要用到。待定系数法是确定代数式中某项系数的方法，是方程思想的具体应用。该法在函数解析式的求解方面有广泛的应用。配方法是以完全平方公式为依据，将代数式进行恒等变形，解决因式分解、化简求值、解方程和二次函数等方面的问题，应用十分广泛。换元法基本思想是引进新的变量，把一个复杂的数学问题转化为简单的数学问题，通过解决简单的问题，达到解决复杂问题的目的，多用于解方程和代数式的化简求值。

下面将结合初中数学的主要教学内容合影些相关的实例来简要说明一下思想方法的应用。

初中数学摆脱了小学只考虑“数”的局限性。开始用符号来表示数，符号的出现在整个数学发展史上是一个转折点，有了符号，才有了整式，分式，进而有了方程，函数，才能将数和图形相结合。符号可以表示变量，我们经常说的代数就可以理解为用符号代替数，一个简单的a就可以代表一切的数，应用是相当的方便。牢固的掌握好这思想，是学好数学的基础。

有了符号，也就有了整式和分式，学习了整式和分式的四则运算，进而将最基本的一元一次方程引了出来。让学生初步理解了“方程”这一数学的重要概念，在此基础上简单的介绍了一元一次不等式。学习了一元的，然后学习二元乃至高元的方程组，在此要强调消元的思想，并初步了解用方程解决问题的思想。

一次方程的学习使学生对方程有了大致的了解，但方程的学习并不局限与一次，为了从一次方程向二次方程过渡，首先要介绍因式的分解。这里涉及到的是分合的思想，许多学生在此往往产生认识上的迷茫，认为既然学习了代数式的乘除，为何又把它分解成因式呢？其实不管是因式的分解还是整式的乘除，在数学都有其重要的地位。这种分合的辩证思想在数学中十分常见。因式分解的学习为一元二次方程乃至以后的二次函数铺平了道路。一元二次方程使初中数学的学习有了一个质的飞跃。不仅使学生对方程思想的本质及地位有了更加深刻的认识，还使数学的许多重要的思想方法在此得到了完美的结合和酣畅淋漓的应用。由二次方程上升到二次函数，首次向学生展示了函数思想，强化了数形结合的思想，化归思想以及分类讨论思想也得到更深的应用。与之相接合的方法则有待定系数法，配方法，降次法等。

二次方程和二次函数展示了数形结合的美妙，体现了数学中蕴藏的辩证法的思想。注重归纳演绎，分析综合，抽象具体等辩证思维方法的运用，是学好这部分的关键。二次方程解题方法的灵活和二次函数图像的千变万化式这一部分成为初中数学的难点，整个中学数学的学习都以此为核心。学习时要学会通过图像挖掘其中内含的数学知识，数学离不了图，图也离不了数学。

为了更加形象的阐述数学思想和数学方法的应用，我们以下面几个典型例题为例：

例1，当a取什么数时，关于x的方程ax2+4x-1=0只有正实数根？

解析：此题应用的是分类讨论的思想，题目很简单，但其中运用的思想值得我们学习。解题时先要从宏观上对此方程的类型进行分析。若a=0，方程只是一个一元一次方程，有正根，符合题意。若a≠0，方程是一个一元二次方程，先要进行判别式的判断，保证其有实数根，再利用根与系数的关系对a>0和a<0分别进行讨论。由读者自己解答。

分类讨论思想地位特殊，在众类数学思想中处于领先地位。其他的数学思想大多是和数学方法相结合，唯有分类讨论思想独领风骚，是一个完全独立的思想。为了强化其重要性，下面再举一例：

例2，如图，点A（0，6）、B（3，0）、C（2，0）、M（0，m），其中m<6，以M为圆心，MC为半径做圆。

（1）m为何值时，圆M与直线相切；

（2）当m=0时，圆M与直线有怎样的位置关系？当m=3时，圆M与直线有怎样的未知关系？

（3）由（2）的结果，你是否得到启发，从而得出m在何范围取值时，圆M与直线AB相离？相交？

解析：此题首先用到数形结合的思想，使一道利用代数的方法解决圆与直线位置关系的问题。有几何知识，知当圆的半径为R时，设直线与圆心的距离为r，若r=R，则直线与圆相切；若r>R，则直线与圆相离；若r>R，则直线与圆相交。本题中，设M到直线AB的距离为r，所以解决此题只需解决r与︱MC︱的大小关系。但对M点的位置要分别讨论，即对M>0、M=0、M<0时分别讨论。至于如何求r，可用三角形相似的方法，也可以直接运用点到直线的距离公式。

答案：（1）m=-4或m=1（2）m=0时，圆M与直线AB相离。m=3时，圆M与直线AB相交。（3）相离的范围：-4分类讨论的思想一般在几何中应用较广，代数中关于一元二次方程和函数的题中也经常用到。

其实，每一种独立的数学思想方法经常不是单独的发挥作用，在解题时，要注意各种思想方法的综合应用，善于发现它们之间的内部联系。

综上所述，我们对数学的思想方法有了一个大致得了解，最后，我们再强调一下，思想是灵魂，方法是关键。每一道数学题都有自己的思想方法。思想和方法是相辅相成，不可分割的。