感悟数学思想学会数学思维

刘炜

【摘 要】数学思想方法是学生认识事物、学习数学的基本依据，是学生数学素养的核心。数学思想方法是伴随学生知识、思维的发展逐渐被理解的，是在学生数学活动中不断积累的。教学中渗透数学思想方法可以使学生自觉地将数学知识转化为数学能力，并运用其解决实际问题，逐渐形成自己的数学思维。

【关键词】小学数学；鸡兔同笼；数学思想；数学思维

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）07-0120-02

“鸡兔同笼”是小学数学学习中的难点内容，在苏教版和人教版教材中均有体现。“鸡兔同笼”主要是让学生感悟“假设思想”，积累用“假设思想”解决问题的活动经验，使学生在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。在此，笔者结合具体教学谈谈自己的几点思考。

【片段一】假设思维的产生

1. 假设验证，体验过程

笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头；从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？

师：让我们先来猜测一下，有几只鸡，几只兔？

生1：4只鸡，4只兔。

师：可以吗？

生：可以。

生2：3只鸡，5只兔。

师：可以吗？

生：可以。

一生顿悟：只要鸡兔合起来是8只就可以了。（其余学生会意地点头默许！）

师引导：大家很善于思考，你们根据“鸡兔的总只数是8只”可以进行任意假设。

（根据学生回答板书）

师：究竟哪一种假设符合题意呢？让我们任选一种算一算。

（根据学生回答板书）

生：

师：看来只有3只鸡5只兔的假设是符合题意的。谁假设对了，恭喜你，运气真好！对鸡兔只数的假设就是对答案可能性的一种预设。

2. 尝试调整，总结规律

（1）探究调整的方向。

师：任意假设可能符合题意，也可能不符合题意。像7只鸡和1只兔，假设不符合题意的，能不能通过调整使腿数是26只呢？

请仔细观察：7鸡1兔，总脚数18只，比26只少，鸡兔只数应该向什么方向调整？你是怎么想的？在小组里交流。

生1：一只兔比一只雞多2只脚，如果鸡兔的总只数不变，脚的只数比26少，那一定得减少鸡增加兔。

生2：如果6只兔2只鸡，那么一只兔比一只鸡多2只脚，如果鸡兔的总数不变，脚的只数比26多了，就减少兔增加鸡。

师：大家同意他们的想法吗？

生齐：同意。

师：大家能根据数量关系进行分析并找到调整的方向，很棒！

（2）探究调整的方法。

师：7鸡1兔18条腿，怎样调整鸡兔的只数才能符合26只脚呢？

生1：7鸡1兔18条腿，比26少，必须增加兔减少鸡。尝试6鸡2兔20条腿，5鸡3兔22条腿……3鸡5兔26条腿，成功啦！

师：我发现你的调整速度越来越快，是你发现了什么吗？

生：对，我发现每减少一只鸡，增加一只兔，总脚数就会增加2只。

师：聪明，这位同学是根据鸡兔只数和脚的只数变化的关系，一步一步调整得到符合题意的答案。

生2：7鸡1兔18条腿，题目要求26只脚，少了8只脚，每增加1只兔减少1只鸡脚就增加2只脚，8里面有4个2，增加4只兔减少4只鸡就符合题意了。

师：这位同学是在刚才认识的基础上一步到位，复杂问题简单化，祝贺你！不论是一步一步调整，还是一步调整到位，都是抓住了鸡兔只数变化引起脚的只数变化的关系。它的规律是什么呢？

生3：一只鸡有2只脚，一只兔有4只脚，当把一只鸡换成一只兔，总脚数会减少2只；反过来，把一只兔换成一只鸡，总脚数会增加2只。

师（惊讶）：这是我们解决“鸡兔同笼”问题的规律。我们利用这个规律，就能把假设的结果通过调整得到符合题意的只数。刚才大家经历的这个感悟“假设”思维的过程就是学会数学思维、学会创造（再创造）的过程。

【片段二】假设思维的运用

1. 任意假设，列式计算

师：任意假设鸡兔的只数，能根据规律一步到位，调整到符合题意的只数吗？

生1：可以。如假设4只鸡，4只兔，共24条腿，题目要求26只脚，少了2只脚，每增加1只兔减少1只鸡脚就增加2只脚，2里面有1个2，增加1只兔减少1只鸡就符合题意了。

生2：如假设5只鸡，3只兔……也可以一步到位，调整到符合题意的只数。

生3：……我也可以。

2. 极端假设，列式计算

师：发现这个规律，无论怎样假设，都能通过调整一步到位得到符合题意的只数。我们甚至可以假设全部是鸡，也就是从8鸡0兔开始假设；或者假设全部是兔，也就是从0鸡8兔开始假设。可以吗？

生（齐）：可以。

师：你们能用算式把调整的过程表示出来吗？

生：假设全是鸡或假设全是兔列式解答。（略）

师：这叫极端假设。任意假设和极端假设列式计算，你更喜欢哪种？

生1：任意假设、极端假设鸡、兔的只数都要调整。

生2：任意假设鸡、兔的只数可能都要调整。

生3：极端假设只用调整其中一种就行。

生4：极端假设比任意假设解决问题更简便，因此我选择极端假设。

……

师：选择是智慧，这就是假设的意义、价值。

【反思】

1. 准确挖掘“鸡兔同笼”教学中的数学思想

利用“数学广角”有意义地渗透数学思维方法到学生学习过程中，使学生通过观察、尝试、假设、推理与交流，感受数学思维的奇妙、严谨，使他们逐步形成探索数学的兴趣，感受数学的美。传统的“鸡兔同笼”教学往往将其定位为“解决问题”的专题讲座，用列表法、算术法、方程法等解决“鸡兔同笼”问题。教学目标是培养学生学会解“鸡兔同笼”问题，仅仅停留在知识、技能层面，未能很好地挖掘“数学广角”背景下 “鸡兔同笼” 教学的数学核心素养。

笔者认为，“鸡兔同笼”应定位为：借“鸡兔同笼”素材让学生经历体悟“假设思维”的产生、应用及拓展过程，是学生学会思考、学会创造、理解数学的美、培养他们数学兴趣的活动。数学的生命力就在于它能够有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。学生在自主探索中建构“假设”的数学模型，将现实问题转化成数学模型是对学生解决问题能力的检验，也是培养学生数学核心素养的重要途径。

2. 切实让学生在经历“假设”的过程中积淀数学素养

本课笔者设计了这样的一条主线：

（1）“假设”的产生。学生初始对鸡、兔只数的任意假设，就是“假设”的雏形。学生在假设的过程中逐步体会到：任意假设中要保证鸡兔的总只数是8，并对任意假设逐一进行验证，从而找到符合题意的答案。在初始假设的基础上，引导学生深入思考：任意假设可能符合题意也可能不符合，如果不符合题意可以通过调整使之符合。在思考调整的过程中，运用鸡、兔只数的变化引起总脚数的变化关系，通过“假设——调整”提出规律的过程，是学生真实的学习发展过程，也是学生数学素养形成的关键期。

（2）“假设”的应用。列式计算是“极端假设”的应用，假设全是鸡或兔就是“极端假设”。引导学生比较任意假设或极端假设列式，你选择哪一种？”选择是智慧，科学是在选择中发展的。

总之，在数学教学中，教师要引导学生参与数学活动，积累活动经验，在观察、实验、猜想、验证等活动中，提高学生解决问题的能力，培养学生数学核心素养。

（编辑：杨 迪）