数学思想方法在“整理与练习”中的渗透

周萍

“整理与练习”是小学数学课堂教学中的重要课型之一，它承载着回顾与整理、巩固与生长的独特功能。而笔者在听课实践中发现，时下很多教师在“整理与练习”课中，只注重了对知识与技能的强化与深化，而忽略了它的“生长”功能，即通过揭示知识背后的思想方法，促进学生的思维提升。正是我们在意识与行动上对数学思想方法的不重视，造成了学生就题论题、死记硬背的数学学习方法，长此以往，造成了学生数学思维上的“断点”和知识上的“脱节”，从而出现“一听就懂、一做就错”的奇怪现象。因此，在“整理与练习”课教学时，我们应认真研读教材吃透教材，找出数学知识与思想方法之间的结合点，把隐含在数学知识内部以及习题“背后”的数学思想方法充分挖掘出来，并以数学思想方法为主线，将整理的知识内容串联起来，充分发挥它回顾与整理、巩固与生长的功能，让每一位学生在“整理与练习”中得到不同的发展。

一、渗透分类思想方法，培养思维的周密性

儿童心理学研究表明：先有分类，按类别形成集合，然后才能形成运算。可以这样说，儿童学习数学的起点在于分类。为此，人教版、北师大版的小学数学教材都将“分类”单独编写成“章”，其他版本的教材也通过“物体分类”“图形分类”等形式将分类的思想方法渗透其中。由此可以看出，分类的思想方法在现行小学数学教材中有着极其广泛的应用。在数学概念的形成过程中，需要通过分类研究，从而准确地把握概念的本质；在数学问题解决的过程中，需要通过对问题本身所有可能出现的情况不重复、无遗漏地加以分类，并逐类讨论求解，从而获得完整的解答应用。在“整理与练习”环节，我们更应充分利用分类的思想方法，将单元所学内容进行有序整理，从而使数学知识条理化、系统化、结构化，促进学生更好地掌握知识，并形成较为牢固的知识结构。同时，还要充分挖掘习题“背后”可能隐藏着的分类思想方法，并通过必要的手段将其显现出来，让学生在解决问题的过程中，体现分类思想方法，从而使学生达到有条理地思考问题，养成周密思考问题的习惯。

在教学苏教版《数学》四年级下册“三角形、平行四边形和梯形”的“整理与练习”时，出现图1中的三角形，让学生同桌互说分别是什么三角形，在交流发言中发现同一个三角形有不同的名称。如第一个三角形，有同学说是等边三角形，有同学说是锐角三角形。这时教师追问：等边三角形是以什么标准分类的？锐角三角形又是以什么标准分类？三角形如果按边分类或是按角分类，结果会怎样呢？同桌讨论交流，并形成以下结果：

（1）三角形按角分类

（2）三角形按边分类

通过以上教学活动，让学生明确了分类所要具备的三个要求：（1）母项，即被分类的对象（三角形）；（2）子项，即分类后所得到的类概念（各种三角形的名称）；（3）根据，即分类的标准（按边的长短或是按角的大小进行分类）。通过这样的分类整理与练习，使学生加深了对三角形概念的理解与掌握，同时也很好地渗透了分类思想方法。为了让学生进一步体验分类思想方法在解决问题中的作用，我们对教材中的第4题进行了改编处理，去掉了原题中的三小问题，直接问“這个三角形的每条边是多少厘米？”

第4题：把一根9厘米长的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），围成一个三角形。

（1）能围成多少个不同的三角形？

（2）如果围成等边三角形，边长是多少厘米？

（3）围成等腰三角形，底是多少厘米？

先让学生独立完成，在集体汇报时，教师引导学生进行思考，合理分类，做到不重复不遗漏地找出所有答案。因为有了前面分类思想方法的渗透，此时学生就能根据前面的结果进行合理分类，找到所有答案，即：

不等边三角形：4厘米、3厘米、2厘米；

等腰三角形：3厘米、3厘米、3厘米（等边三形）；

4厘米、4厘米、1厘米（等腰不等底的等腰三角形）

日本的数学家米山国藏曾指出：“如果只是盲目地列许多情形，就不可能知道是不是把一切的情形都列完了。”[1]虽然当时他并没有分类思想方法这一概念，但此番话却一针见血地道出了数学分类思想方法的优势。

二、渗透化归思想方法，培养思维的灵活性

匈牙利著名数学家P.罗莎在《无穷的玩艺》中写道：“数学往往不是对问题进行正面攻击，而是不断对它进行变形，直到把它转化成能够解决的问题。”[2]这里所说的“转化”其实是化归思想方法的核心。在小学数学新知识学习过程中，化归思想随处可见。如异分母分数的大小比较及加减运算法则的基本思想是借助通分将其化归为同分母分数的大小比较及加减运算，进而化归为整数（分子）的大小比较及加减运算。在苏教版义务教育教科书小学数学教材中，还专门安排了“解决问题策略——转化”这一单元，专门为学生提炼、提升化归思想。由此可见，化归思想方法在学生探索数学新知、解决数学问题的过程中具有不可替代的作用，在平时教学中向学生渗透化归思想方法应成为我们数学教学的一种常态。当然，这种渗透不能只局限于新知识的传授，在练习课中，特别是在我们的“整理与练习”课中更应该得到重视。因为此时是彰显、总结、提升化归的思想方法的最佳时机。

在教学苏教版《数学》五年级下册“圆”的“整理与练习”时，通过画圆和巧妙的设问，形成了图2中左侧的知识结构图，这样的板书设计，帮助全体学生（特别是学习困难生）建立起较为完善的知识结构，沟通了知识的内在联系。至此，已完成了知识整理与练习部分的教学任务。但对于涌动在知识背后的化归思想我们不能视而不见。为此，在回顾圆的面积与周长计算方法时，先让同桌互说计算方法是怎么得到的，然后动画展示转化过程，让学生再次经历化归的思维过程，并将“化曲为直”“化圆为方”的转化策略板书出来，这样在板书右侧就将学习这部分知识所蕴含的数学思想方法呈现了出来。

化归思想具有灵活性和多样性，它并没有一个统一的模式，可以在数与数、形与形、数与形之间进行转化，由此就决定了感悟和形成化归思想需要一个长期的、层次化的过程。在这个过程中我们应合理地设计好转化的途径和方法，逐步丰富认识、积累经验，提升感悟水平，从而提升学生思维的灵活性。

三、渗透归纳思想方法，培养思维的概括性

归纳是指一种由特殊到一般的推理方法。归纳分为完全归纳和不完全归纳，而在小学数学教学中，由于小学生的思维能力较弱，一般都采用不完全归纳的方法。在小学数学教学过程中，无论是数学概念的形成， 计算法则的概括，还是运算定律、性质和关系的发现都离不开归纳的思想方法。同时，在“整理与练习”中，我们应打通知识之间的内在联系，深掘习题背后的数学本质，让学生在经历从具体到一般的抽象概括过程中，真切地感受到归纳的思想方法，使學生的归纳概括能力、推理能力和探究发现能力得到培养。

苏教版《数学》四年级上册“两、三位数除以两位数”单元是小学阶段整数除法教学的最后一个单元。在这之前，学生已经学习了除数是一位数的除法，本单元学习了除数是两位数的除法，但对于除数是三位数的除法将不再学习。不过在以后的数学学习过程中，学生仍然会碰到除数是三位数的除法，如已知圆的周长求直径（或是半径）。为此，在“整理与练习”时，为了帮助学生归纳、总结出整数除法的计算法则（通则），课前先让学生通过预学单自主整理单元所学内容。

预学单

46÷9= 689÷5= 264÷5=

89÷42= 632÷54= 552÷68=

通过计算，你说一说除数是一位数的除法怎样计算？除数是两位数呢？你觉得除法应该怎么算呢？

课堂教学时，让学生先板演预学单中的6道计算题，随后判断正误，寻找计算错误的原因并加以纠正。接着让学生说一说“除数是一位数的除法怎样计算？”“除数是两位数的除法怎样计算？”在自主整理的基础上，学生交流了这两种除法的计算法则，教师随即追问“除数是三位数的除法又该怎样计算？”，先让学生大胆猜想，然后通过举例加以验证，从而得出除数是三位数的除法计算法则。最后，提出“整数除法应该如何计算？”这一总结性的问题。在前面除数是一位数、两位数、三位数这三种特例研究的基础上，学生通过自主探究、小组讨论，最后归纳、总结得出整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要比除数小。这样的整理与练习既让学生对除法有了一个整体认识，形成了结构较为完整的知识体系，同时又让学生通过比较特例之间的异同点，突破特殊与一般之间的界限，在不断总结、抽象中进行归纳，进而探究出新的规律，在此过程中，既培养了学生的推理能力，又培养了学生思维的概括性。

“整理与练习”课或许没有太多的新知识发现，规律探寻，但在这些已经掌握的知识与技能背后，数学思想方法却在不断涌动。因此，在实际教学中，我们应充分发掘隐藏于知识内部的数学思想方法，并适时渗透和传递给学生，帮助学生形成解决问题的策略，积累数学活动经验，进而提升学生的数学素养，为学生的终身发展奠基。

参考文献

[1] 米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986.

[2] 罗莎·彼得著.无穷的玩艺朱梧橙[M].袁相碗，郑毓信，译.大连：大连理工大学出版社，2008.

[责任编辑：陈国庆]