数学思维须从直观向抽象迈进

崔小兵

【摘 要】所谓直观，就是生命个体运用听觉、视觉等直观性方式，对客观事物直接接触而形成的感性认知。而所谓抽象，是从众多具有共性事物中提炼出具有共同本质特征的思维认知过程。小学阶段，学生的思维正处于直观向抽象转变的过渡阶段，任何一种偏向于直观、抽象思维的认知，都会导致学生在思维过程中的混乱。因此，教师要善于从学生的思维特点入手，根据所教学的具体内容，立足于思维认知的过渡阶段，改进教学方法促进学生思维能力的不断发展。

【关键词】实践操作； 动态展示；深入想象； 迈向抽象

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）28-0040-02

心理学研究表明，生命个体对新事物的接受规律总是遵循从感性向理性的过程。这是学生思维的一般性规律。而所谓直观，就是生命个体运用听觉、视觉等直观性方式，对客观事物直接接触而形成的感性认知。而所谓抽象，是从众多具有共性事物中提炼出具有共同本质特征的思维认知过程。小学阶段，学生的思维正处于直观向抽象转变的过渡阶段，任何一种偏向于直观、抽象思维的认知，都会导致学生在思维过程中的混乱。因此，教师要善于从学生的思维特点入手，根据所教学的具体内容，立足于思维认知的过渡阶段，改进教学方法，促进学生思维能力的不断发展。数学教学如果故步自封，始终停留在直观层面，其目标就没有达成；如果始终处于抽象层面，势必会给学生的认知造成障碍。因此，借助直观的方式呈现抽象的结论，理应成为数学教学的重要方法。

一、强化实践操作，形成抽象结论

著名教育家乌申斯基说，儿童是借助动作、色彩和声音进行思维的。对于一些相对直观可感的知识，很多教师都意识到应该顺应学生的认知思维，采用直观性的方式引领学生进行学习。但如果教学过程中，教师只停留在现有的程度上，就会停滞不前。因此，我们应引领学生通过直观性的实践操作，历练思维能力。在小学数学教学中，不完全归纳法使用频率极高，但仅凭借极少数的案例就形成抽象的结论，并不符合数学学习的规律。如果运用完全归纳法或演绎法，显然又不适用于小学生。那么有没有二者兼顾的实践方法呢？

一位教师在执教“认识三角形”一課时，充分利用钉子板的教学给予了我们极大的启示，可以在一般性相关的课堂中加以运用。在具体教学过程中，教师先在钉子板上围成了一个底为5，高为4的三角形，引领学生利用三角形面积的计算公式直接口算出三角形的面积，然后以三角形的顶点为移动轨迹，不断向右边移动，相机将这个三角形转变成仍旧为底5高4的其他形态的三角形，并组织学生逐一计算这些三角形的面积。学生计算几个之后，干脆不算了。教师故意装作一副不明就里的样子，引领学生说说自己的理由。他们纷纷表示这些三角形的形状虽然都在不断发生变化，但不管怎样变化，底边是固定的，而高的距离也是相等的。所以，只要底边不变，三角形的顶点始终在同一水平轨迹中，那所有三角形的面积完全相同，都是10平方厘米。教师则引领学生深入观察，并追问这些三角形有着怎样的联系。在教学至此，教师并没有鸣金收兵，而是在这样的基础上，引领学生以发展的眼光进行想象：这种同底同高的三角形一共有多少个？学生在把握了这些三角形的共性特征以及三角形面积的计算方式之后，得出了肯定的结论：这样的三角形有无数个，且它们的面积都相等。

在教学这一内容时，很多教师都会想到运用三角板的形式展开教学，主要是想借助三角板直观可感的形式，将教学聚焦在学生的形象性思维上。但在这一案例中，教师并没有将教学的关注点仅仅停留在形象化认知层面，而是引领学生由一点向一类推进。看似普通的一块钉子板，教师充分运用了移动顶点的方式，引导学生先借助几个三角形感受等底等高三角形的共性特征，最终引导学生得出了“个数无数，面积相等”的结论。教学方式直观形象，促进了学生直观思维向抽象思维的成功迈进。

二、借力动态演示，揭示抽象道理

从上述案例来看，教师的教学已经非常出彩，但这并不意味着就已经达成了这一教学方式所能达到的效果。笔者结合自己的教学实践以为还有进一步提升的空间，即利用动态展示的方式向问题的本质迈进。小学生的思维正处于直观形象阶段，具有动态特性的信息往往更能激发学生内在的认知欲望，有助于学生在实践操作、细致观察的基础上，感知现象，进行类比推理。

笔者在教学这一部分时，先是模仿了前面老师的教学，之后运用多媒体出示了一个直角三角形。这些三角形的面积由一条条长短不同的线段搭成（如下图）。然后，教师运用多媒体课件将这些长度不同的线段向右平移不同的距离，分别形成底边相同、高相同的三角形。图中的四个三角形，虽然图形的形状已经有所不同，但其虚线所占据的面积却是相等的。但学生未必就能一下子看出这样的特点，因此教师可以引领学生进行观察：这些三角形的面积是否相等。学生在观看了动态演示的过程中纷纷表示：这些三角形的面积绝对是相等的，因为他们都是由相同的线段组成的，只不过是这些线段的组合方法不一样，但由于每个三角形所包含的线段完全相同，其面积也一定相等。

第一案例中的教学，教师更多使用的是归纳法，让孩子在观察、计算中感知“等底等高三角形面积相等”这一抽象的认知，让学生的思维经历了思维本质的发展与迈进。而本案例的教学则是另辟蹊径，从面积概念的本质上来感知“等底等高三角形面积相等”的成果，从而巧妙地向学生渗透微积分的思想，思维认知的方式有了改变，但对于学生思维的历练却有着重要的促进作用。纵观这两条教学路径，都是在直观演示之中，激发了学生内在的认知欲望和想象力，填补了学生思维由直观到抽象之间的认知空白。

三、聚焦深入想象，提炼抽象思路

随着学生认知能力的不断发展，其思维就已经不能停留在固有的层面中，教师要引领学生在深入思考的中尝试运用想象的方法进行猜测与印证，从而促进学生的思维能力逐步向深入层次迈进。想象是一种高端的思维认知方式，是生命个体对自己已经积累的认知表象进行加工生成全新形象的一种心理过程。学生在学习数学时，想象在理解知识、形成结论的过程中发挥着至关重要的作用，而在运用知识解决问题的过程中，想象的作用同样不可小觑。只有在想象中，学生才能窥探到其他人所不能发现的一些规律，真正促进自身核心能力的发展。endprint

如有这样一道题：菜农王伯伯有一块菜地，这块菜地的底边长40米，高15米，王伯伯要在中间铺设一条宽度为3米的不规则小路（如下图1），你能求出菜地的面积吗？很多学生在一开始没有能够读懂题目的要求，无从下手。教师引领学生梳理题目中的数量关系，让很多学生有了自己解决问题的基本策略。学生在思考之后，形成了两种思路：第一，用菜地原本的面积直接减去中间小路的面积，这是一种常规性思维，同时也解决这一问题的必选动作；第二，有学生尝试将不规则小路分割而成的两个不规则图形转化成为一个新的平行四边形。此时，教师则充分利用多媒体课件的方式让学生以直观性的思维进行深入实践，引领学生将这条不规则小路看成是一条条由长度不同的线段拼接而成的图形（如图2），从而通过平移的方式将其转化为一个底3米、高15米的小平行四边形（如图3）。

想象意識是学生进行数学学习必须基本的一种能力，对于学生原始性的认知经验和水平有着较高的要求。没有想象，学生的思维也只能停留在内部僵硬机械的层面中。由这一案例可以看出，在运用知识解决生活中的实际问题，一方面要看学生的知识掌握程度，要尊重学生，摸清学生原始性的认知经验；而另一方面就需要学生具备良好的想象意识，将自己眼睛所观察的事物，通过想象进行必要的加工与改造，从而将原本的问题巧妙地转化为凭借现有的能力和方法能够解决的问题，让学生在这样的思维认知阶段历练直觉思维意识。

总而言之，我们需要依循着学生的认知规律，进行直观式教学，但绝不能将直观作为数学课堂教学的最终归宿。因此，教师就需要借助直观操作、动态演示、想象拓展等多种方式，引领学生在直观认知和抽象体验之间不断地游走，引领学生以直观层面为基础，最终促进学生抽象思维的发展。

参考文献：

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[2] 张素茹.借助直观表征化解抽良知识——探寻从直观到抽象的数学课堂教学[J].福建教学研究，2015，（6） .

[3] 王广阔.抽象的数学知识须运用直观教学方式[J].教学与管理，2017， （2） .

[4] 钱达亚.从直观中感悟抽象 在生活中体验抽象——浅析小学数学教学中学生抽象思维能力的培养[J].小学教学研究，2012，（14） .

（编辑：赵 悦）endprint