解题教学中对数学核心知识的理解

☉江苏省邳州市炮车中学 陈海飞

众所周知，数学解题的本质主要是转化，是将陌生的问题情境转化为熟悉的知识，以展示最为简洁的充要条件形态.但是数学解题的难点在于知识的选择性，有时没有合理的方法、没有合理的算理、没有巧妙的思考，初等数学中不少问题的解决便会进入困境（这也是初等数学的特点之一，技巧性相对而言比高等数学更为重要一些）.

不少学生（包括教师）将数学学习成绩上不去的主因归结为运气、状态等个体之外的外部因素，笔者以为尚不可取.之所以这么说，笔者认为主要原因有三：第一，教师缺乏对当下时代高考的认真研究，自2016年之后，除个别教育大省之外，高考数学卷不再各省份自主命题，这就要求对每年高考命题的思路，考查的热点、难点，考查的问题类型等有深刻的研究，我们常常听到试卷命题的风格为“保持平稳、稳中有变”，讲得就是这个道理；第二，在函数概念、向量数量积、数列的构造、不等式的运用、翻折问题的处理等核心知识上多研究，不宜在陈旧问题或删减的知识上过多参与；第三，讲解题离不开一题多解，多元的方式恰是对思路的开拓，有助于学生自主选择适合自身的解题方法，是教学的优化.

一、研究当下反思核心

为什么每年高三，不少学生做了这么多的数学题，花了这么多的时间，其效果却并不那么显著呢？笔者曾经也很茫然.随着教学经验的增多，高三教学的参与增加，高考真题的研究增多，我们不难发现试题的“保持稳定、力求创新”说得非常到位！来看一下浙江省的两个真题，请大家做一番思索：

问题1：t为常数，函数y=|x2-2x-t|在［0，3］上的最大值为2，则t=_____.

分析：从两道问题的表象来看，并没有什么特别之处，给学生解决这两个问题，学生最大的感受是差不多类型的问题，用分类讨论可以解，但是有些烦琐.那么这两个问题到底透露着怎么样的信息呢？解决这样的问题的核心知识在哪里呢？这两个问题恰是2008年浙江高考填空压轴题和2017年浙江高考填空压轴题，其实命题者的意图和核心考点是一致的，来解问题1.从绝对值的几何意义视角思考，令m=x2-2x，由x∈［0，3］可知-1≤m≤3，问题转换为当m∈［-1，3］时，|m-t|的最大值为2，利用数轴及绝对值的几何意义可知t=1.

说明：精彩！命题者在后来的考试说明中反复举本例，其指出两个核心考点：其一，绝对值的几何意义你们知道吗？这是中学数学的核心概念，早在初中数学就已经了如指掌；其二，自变量x和参量t相对独立，自然而然的是整体思想可以介入.十年之后，浙江命题者又“杀回马枪”，君不见两题本质完全相同，绝对值几何意义欲然纸上嘛！所以说，研究真题的价值在于理解、掌握其问题背后的核心考点，这样的思考远远比做无数道重复、徒劳的模拟题高效得多！

二、知识交叉理解核心

很多优秀的试题都是在知识交汇处的考查，命题中特别注重知识的交叉，而且选择的知识点又必定是章节中的核心知识.对这样的优秀试题的分析，可以让学生理解知识点在问题的解决中是如何考查的，有助于学生进一步理解章节中哪些知识是重要的、必须的.以向量为例，我们知道向量章节中最为重要的核心知识是向量数量积，以数量积作为考点的问题非常之多，比如向量的夹角公式、投影等，但是若仅单一的考查显然不会出现在综合性知识中，将其融合到一定背景的问题中则妙趣横生.

图1

（1）求直线AP斜率的取值范围；

（2）求|PA|·|PQ|的最大值.

分析：研究第（2）问，首先看一下参考答案的解答：联立直线AP和BQ的方程，即解得点Q的横坐标是|PA|·|PQ|=-（k-1）（k+1）3.令f（k）=-（k-1）（k+1）3，因为上单调递增，时，|PA|·|PQ|取得最试想问题是解决了，但是这样的解法是不是真正的考查命题意图呢？高中数学中某些知识性、工具性的武器是否思考到位了呢？让我们回到图形中进一步思考，既然|PA|·|PQ|是共线的，那岂不是|PA|·|PQ|==向量工具性的作用跃然纸上，投影考查的本意凸显出来，使得问题的解决跟参考答案相比完全是不且仅当x=1时等号成立.

图2

说明：思路的开拓性，大大降低了计算的复杂性.本题是高考命制的优秀试题，凸显了对考生的选拔作用，对于注重思维的学生，从垂直的视角联想到投影，从而向量的工具性较为合适；对于注重运算的学生，强调熟练度，较高的运算能力也可以突破.对于知识交叉处的命题，自然而然成为教学的核心，对于考点的思考，又是方法选择中的核心知识，因此向量数量积投影概念成为时时刻刻在知识体系中能被调用的重中之重.

三、思想为上运用核心

数学思想是数学教学最核心的部分.从解题教学的现状来看，要加强核心知识的理解，还需要在数学思想方法上给予渗透，将核心知识在思想方法的指引下合理地运用到位.只有具备思想的教学，才是有深度的、有灵魂的教学.

问题4：设函数f（x）=x2+ax+b.

（2）已知函数f（x）在［-1，1］上存在零点，0≤b-2a≤1，求b的取值范围.

分析：主要分析第（2）问.有兴趣的读者可以搜索参考答案，以分类讨论为主的切入，让问题的解答侧重代数化处理，显得较为生疏.试想，学生不可能如参考答案般地进行问题的讨论.因此以思想为载体的核心知识的介入，成为新的思维起点.试想，零点可以转化为两个函数的交点，从函数的角度来说，x2+ax+b=0⇒ax+b=-x2，令函数g（x）=ax+b及h（x）=-x2，则g（-2）=b-2a∈［0，1］，如图2，构造图形，记A（-2，1），B（-2，0），C（-1，-1），那么lAC：y=-2x-3⇒b≥-3，l切：y-1=k（x+2），将其与抛物线y=-x2联立，可知x2+kx+2k+1=0⇒Δ=0，得k=4-2正解不合题意舍去），此时l切：y=（4-2）x+9-4，因此b≤9-4，由两个临界状态位置可知-3≤b≤9-4

说明：相比参考答案，这里体现了零点问题即两个函数交点的横坐标处理方式，以图形化的处理替代了代数化的分类讨论，言简意赅的同时，揭示了数学思想方法在解题教学中对核心知识的驾驭.可以这么说，思想方法的介入和运用势必在困难问题上成为我们的核心武器，对于解题教学中核心知识的理解有着帮助作用.让我们回头想一想函数零点这一知识：何为零点？函数f（x）=0的点.零点求解的基本方式，其一，解f（x）=0的方程；其二，转化为g（x）=h（x），求两函数交点的横坐标.核心知识、核心对待、核心思想（数形结合思想是中学数学使用频率最高的数学思想方法）、核心处理，成为教学的关键.

笔者认为，以往讲再多的题、练再多的题都没有能够解决一个问题的话，那样的教学是可悲的、低效的.这一问题就是要理解数学考查的核心知识、核心技能、核心思想.章建跃博士早在2010年10月的《中小学数学》高中版的编后漫谈中提及：“这一期的文章让我欣慰又无奈，本期有三篇文章涉及零向量，说明老师们的研究很有专研精神，但是零向量在中学数学中只是一个规定，并非核心知识所在，老师们的研究又有多少意义呢？正是这样的阐述，让我们理解中学数学教学要加强核心知识的理解和教学，对于零向量之类的知识，何不潇洒一点？让它随风去吧.”

1.殷伟康.数学概念教学中追问的特征与时机［J］.数学教学研究，2014（5）.

2.黄严生，束从武.例谈“问思”教学法［J］.中学数学教学，2013（11）.

3.吴志雄.培养高中生数学应用意识的策略与思考［J］.中学数学研究，2010（5）.

4.杨建辉.新课程标准下教师解题设计应具备的几种意识［J］.数学通报，2011（2）.F