多方位审视问题思维方式的实践性探讨及教学启迪

☉江苏省江阴市华士高级中学 沈 毅

☉江苏省江阴市华士高级中学 王文明

解析几何这一数学学科的显著特征就是通过坐标系用代数方法进行几何问题的研究，平面几何中探求平面内动点轨迹方程与运动规律的首选方法便是坐标法，其几何性质对于动点“灵魂”的体现是其他表现形式所无法比拟的，有关动点几何条件的诸多不同表现形式均有着不一样的解法.下面通过解析几何的实际例题进行多方位审视问题思维方式的探究，使学生在审题、解题及拓展的深层次探究中夯实数学基础知识，并因此在教材回归中获得思想方法的感悟及思维能力的提升.

一、问题提出

笔者在“直线与圆”这一知识点的教学之后为学生提供了一道可以从多方位进行问题审视的练习，主要是为了促进学生审题、解题及拓展方面能力的提高，以下便以此案例进行审题策略、方法等动态思维的整理分析.

例1 如图1，C1：（x+3）2+（y-1）2=4、C2：（x-4）2+（y-5）2=4是平面直角坐标系xOy中的两个圆.

图1

（1）若过点A（4，0）的直线l被圆C1所截的弦长为求直线l的方程；

（2）设P为平面xOy上的点，若过点P且相互垂直的无穷多对直线l1、l2分别与两圆相交，且l1、l2被两圆所截的弦长相等，试求满足条件的所有点P的坐标.

二、探究试题源头

（一）分析特点，认清立意

这是一道立足直线与圆并考查学生能力的练习题，考查的主要知识点是直线与圆的方程，以及两者之间的位置关系.题目特点如下：

第（1）小题涉及了直线方程、圆的知识、垂径定理，以及点到直线的距离公式等多方面的知识与内容.第（2）小题是提供给学生的探究性问题，由（1）到（2）呈现出了对学生能力考查的螺旋式上升，也显现出了“变”和“不变”之间思维方式的运动变化，因此，此题是一条值得探究的具备多层次、多方向思维方式的典型习题.

（二）由“点”及“面”，追寻源头

所要解决的问题即为这里所说的数学解题中的“点”，解题中所有的展“线”铺“面”也都是围绕这个“点”才能进行分析、拓展和延伸的.

1.分析关键词，剖析内涵与本质

2.紧扣内涵，数形结合

审视问题的条件并从“形”的视角进行探究，可以得出一直线被两等圆截得弦长相等会包含以下两种情况：一是两等圆圆心的连线所在的直线与该直线平行或者重合，具体表现如图2所示；二是该直线经过两等圆圆心连线的中点并跟两圆相交，相切情况不包含在内，具体表现如图3所示.

图2

图3

如果直线经过平面内某一点并被两实线等圆所截弦长相等，该点P可以处于任意位置，如图4、图5所示.

图4

图5

按题意中描述，最特殊的应该是图6中点P的位置，图7中过点P的直线就无法完全具备本题中所要表达的全部含义.

图6

图7

特殊和一般的辩证关系在上述分析中展现无余，此题中隐含的数学本质也在题意深入分析与理解的同时得到显现.

图2无论怎样旋转都无法达成题中无穷多对直线的要求，但是将图3进行如图8所示的旋转与变化就会得到题中满足条件的图形，点P及其对称点也就找到了.

图8

从“数”的视角对此题进行探究可以发现，相应圆心距相等是第（2）小题中所涉及的直线对所具备的特性，探寻题中各点各线所构成的直角三角形，并依据勾股定理可知点P到弦心距的垂足的距离是相等的，联想切割线定理、解析几何知识也可求出点P的位置.最后再联想圆幂定理进行两圆外离、相离情况的分析，此题所隐含的实质得到了充分的显露.

3.统一认知，梳理思路

上述所有分析都是围绕审题层面而进行的探究，下面对解题思路与方法进行综合的梳理，也为解题后的探究打下基础.从数形结合的角度（如图9）对此题进行剖析与归纳有四点体会值得小结.

图9

第一，由一般到特殊，过一点的相互垂直的直线对可以退化成两直线重合这一特殊情况，并因此展开弦长相等的探究；

第二，旋转90°能够找到满足题意的直线对；

第三，由圆的方程进行题中所求点的直线方程的探寻；

第四，将两等圆退化成两圆心进行剖析与探究，最终所求点的位置得以确定.

第（1）小题中所描述的经过点A的两条割线，相对于第（2）小题来说正是其中的一个特殊情况，把图9中的PC1与PC2这对直线进行旋转，满足题中条件的直线对也就得以实现了.

总之，经过此题的具体解析与探究，我们可以看出题中所求最终因为层层探究与退化归结是为了数学基础知识的呈现，新课程所要体现的理念在此题的探究中展露无疑，专家命题的良苦用心也得到了最好的体现.笔者在解题中所展现的审题、解题及探究思想也使得学生的思维层面随之提升.

三、教学启迪

1.注重知识转化训练，引领学生感悟知识关联

教师在高中数学的教学中应首先从自身意识上对数学概念的内涵与外延加以关注与理解，并因此展开对概念的辨析以促进学生对数学本质的牢固掌握.教师在此过程中应加强对概念产生与发展过程的分析，并从多角度对数学问题中的显化形式与内隐条件进行深层次的挖掘，数学知识之间的联系也就能够比较完整地展现在学生面前了，学生的思维能力在有意义的共同探究与感悟中快速提高，同时还能在经历数学问题与困惑中提升自身的反思能力.例如，本文实例中确定所求点的位置时，直线方程、圆的方程、勾股定理、圆幂定理等在问题的分析中得到了综合性的运用，这也是数学知识之间联系与整合运用的具体实例，因此，教师在平时的数学教学中一定要引导学生在此方面进行知识的关联想象、整合与运用，学生对数学概念生成的深刻感悟才能在这样的强化分析与有意引领中得以实现.

2.加强解题前后思想方法的提炼与总结

学生在综合性强的数学题中如果能够比较清晰地理解题中所给条件，自然是对题目的深层次剖析已经到位的结果，将题中所给信息转化成教材呈现的基础知识也才能顺利实现，学生在经历了这样的审题之后才能对解题中显化或者隐藏的数学思想方法进行提炼、总结与思考，后续学习中问题的提出、分析及解决能力才能获得更好的锻炼平台.

总之，数学解题教学最终能够帮助学生实现全方位地审视问题的思维提升才是最有意义和价值的，学生在多视角的思维之中才能锻炼自身的思维交会与拓展，课堂教学的活力与灵气也才能得到最有力的激发.因此，教师在数学教学中一定要加强数学本质的思考与挖掘，并依此进行学生多视角审视问题的培养与锻炼.F