核心素养整体观下的说题

☉山东省单县第一中学 卫小国 王进军

说题愈来愈成为一线教师研究解题教学、提升教学效率的一种新的、重要的教学研讨形式.高效的说题能揭示题目系统、教材系统与方法系统之间的关联.说题的素材可以是教材例题、习题和高考题；其过程是诠释选题来源、命题立意、知识点、理解与分析、解题策略、延伸与拓展.新一轮的素质教育提出数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六大数学核心素养，已为专家和教师认同且愈来愈重视在教学中的实践，为基于学科素养的说题提供了发展的机遇.数学学科层面上的核心素养，是在数学学习与应用的过程中逐步形成和发展的；它们相对独立、互相融合，是一个有机的整体.说题若以说题基本流程为明线，以核心素养的落实为暗线，则能为没有基本模式的说题添上“思维的隐形翅膀”.本文中笔者试图从核心素养的整体性出发，设计一道高考解析几何题的说题，以供探讨.

一、高考试题呈现

（1）略；

二、说题设计

1.说题目的背景与分析——落实数据分析

数据分析是指针对研究对象所含的大量数据，筛选出有价值的数据信息，并对抽取的数据进行数学分析、代数组合、猜想推断、理论证明和获取结论的过程，是形成关于研究对象知识的素养.数学试题，尤其是解答题的信息量大，且条件内在联系错综复杂；只有对获取的信息进行辨识、遴选、重组，才能形成解题思路的雏形.要达成恰当且合理、高效的审题，取决于是否将数据分析的核心素养落实到位.因此在分析试题背景与条件时，要突出解决“题目如何设计、条件如何解读”，切实融入数据分析活动.

说题部分：本题是一道解析几何题，取材于选修2-1中“圆锥曲线与方程”；考查知识综合应用能力与方程思想、数形结合思想等思想方法，涉及包括：伸缩变换、圆的方程、平面向量的数量积、直线与圆锥曲线的位置关系、韦达定理、直线的方程等知识点.试题的重点是题设几何条件的代数转化，难点是选择适合的化归方式确定定点.

解析几何定点问题，其本质是运动变化过程中的二元变量恒成立问题，解答时要充分转化题设几何条件所蕴含的代数关系，来实施减元，化归为关于斜率与截距k，b的方程，论证参数b与k是常数倍关系，对任意的k恒成立；也可以直接假设点的坐标，直接论证定点满足题设中的几何条件.

而本题核心的条件为：“点P在圆x2+y2=2上”“Q在直线x=-3上”“—1”“直线l过点P且垂直于OQ”，共四个，结论是“直线l过定点F（-1，0）”.明显可见题设“隐藏”了多个隐含条件和多重关系，并且每一个条件蕴含许多信息；譬如条件“点P在圆x2+y2=2上”可以延伸出多种信息，其中解答时可以采取直接对动点P的坐标设而不求、三角换元点P坐标或者定值|OP|=2.条件之间会存在若干种不同的并联或串联的组合形式，自然而然就有许多可供选择的解题路径；而如何优化解题将是数学运算的主题了.

2.说题目的解法探究——优化数学运算

数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据数据分析对试题条件的解读，探究解题思路之后，选择最优的运算方法、设计运算的程序、求得运算结果.如何实现解答与运算的优化，关键是架构条件综合体与结论之间的有效联结.为使得数学运算方向清、脉络明，利用思维导图将能一目了然地展示思维过程，达到“优化解题策略、条理逻辑推理”，同时将数学运算锲入到解题流程的之中.

说题部分：本题证明直线过定点，若从结论入手需论证斜率与截距的等式关系；也可从条件入手直接设点P的坐标，再辅以向量转化、一般论证或三角换元.如是至少有三种易于操作的切入方式；而不同方式研究对象的不同，因此可以继续优化.下面选取其中的三种进行叙述，其一设直线l的方程，可表示出直线OQ及与圆联立的方程组；因此可得点Q和圆中弦的中点坐标，代入数量积等式即可获取，流程如图1.

图1

解题过程详述如下（证法一）：当直线l斜率不存在时，由题意可知，P（-1，1），Q（-3，0），显然满足.当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，且可设OQ取直线l与圆的另一交点为R，且PR的中点为T.同时可知）.联立直线l与圆的方程，得

第二种可选的方案是直接设出两点的坐标，化简得到它们之间的关系；再表示出直线l，观察是否能确定定点（如图2）.

图2

具体的解题思路如下（证法二）：设点Q（-3，yQ），P（xP，yP），其中yQ≠0，由已知：=（xP，yP）·（-3-xP，

若yQ=0，则-3xP=3，xP=-1，yP=±1，

直线OQ方程为y=0，直线l方程为x=-1，

即过P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

而另一种优化的解题策略，是典型的代入论证与三角换元的结合，从导图（图3）明显可见解答更显简洁.

图3

而椭圆的左焦点为F（-1，0），且

则过P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

解题策略的选定，是解题思路图表与解题数学符号在语言转换的实现；通过导图的方式表示，能将繁杂的代数关系直观呈现出来，便于优化数学运算与设计运算程序.值得关注的是，导图是解题算法的具体化，是解题过程的蓝本，也是数学运算的素养实践的极佳素材.

3.说题目的来源——巧借数学抽象

数学抽象是指舍弃事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养；是从事物的具体背景中抽象出一般规律，并用数学语言以表征，以实现将已知的数学命题推广到更一般的情形.解题的技能与思维水平，在特殊到一般的推广过程中，获得质上的飞跃；在不断的实践中，追求直至达到观察问题更精准、分析问题更彻底、抽象本源更吻合.

说题部分：研究同一命题的上述三种不同证法，发现问题中的定直线x=-3，不可随意假定，且定点的坐标值也不随直线与圆的变化而改变；简而言之，就是定点不一定是动态变化时的椭圆的焦点.笔者借鉴之前研究解析几何经典问题，总结的经验：解析几何有强大的几何背景；试题只是命题渊源的具体化、特殊化.破解命题者设计的“迷障”，抽象出一般结论的最好方式，是将问题数据字符化.经历多次尝试，笔者修改问题中的数据信息，终有所获；当推广至一般椭圆及其伴生圆时，惊叹定点恒为（-1，0），且是一个优美的结论.

解析几何中的典型问题，常常抽取了几何本质、隐藏知识背景，内在蕴含着特殊到一般的数学思想.数学抽象指引下可以弄清背景、探求本质、正本清源，是思维从内隐走向外显.因此适当作一般性结论推广的猜想与论证，是必要且可行的；借助条件与结论的相互依存和联系的特点，展开可逆性分析与外延、拓展，通常会在“蘑菇四周发现蘑菇群”.

4.说题目的变式与拓展4.1画板导引直观想象

直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物形态与变化，利用图形理解和解决数学问题；表现为借助图形描述、分析数学问题，提升数形结合的能力的同时，探索和形成论证的思路、进行数学推理，感悟事物的本质.将抽象出的一般问题所含的代数信息，转译为几何语言，借用技术手段直观化；利用直观图形论证不同的“条件与结论”组合方式的正确性.

说题部分：根据原试题数学运算的过程，可见“Q在直线x=-（a2+b）2”“=a2+b2”与“直线l过定点（-1，0）”是相互关联且互为条件的.借助几何画板以便从图形中观察并猜想规律，运用代数语言进行简洁地翻译；研究发现其中有规律的定值和定直线存在，且数据有明显的联系（见图4、图5）.

图4

4.2 推广靶向数学建模

数学建模是对问题进行数学抽象，用数学符号语言表达问题、用数学方法构建解决问题；是数学应用的范畴，是有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实的关联.解析几何通常有一个奇妙的源头，也即是问题的一般性数学模型；紧跟数学抽象、直观想象之后，自然能归纳出这个“源”.

说题部分：本题的推广，可根据直观感知与信息技术的融合，命题1可基于原有模型推广而来；而以上两动态图呈现另一类“动中有定、变中有不变”的特点，形上用画板即可论证，易于用数学语言概括的.图4与图5的结论可以以代数符号表述为如下面的命题2与命题3，命题2：设O为坐标原点，点P是椭圆C：1伴生圆x2+y2=a（2a＞1）的上动点，设点Q在直线x=-（a2+b2）上，若过点P且垂直于OQ的直线l过定点（-1，0），则

4.3 论证遵循逻辑推理

逻辑推理是以一些事实和命题为始发点，通过演绎推理或类比推理，推出其他命题的素养；旨在能逻辑地思考问题，发现与提出数学命题，并探索与表述论证过程.猜想是建立在想象与归纳的基础之上，只有合理地、严密地、逻辑地推理，才能获得最核心、最本质的结论.

说题部分：本题背景改变后，针对上面的基于画板的猜想，建立了不同情形下的数学模型.这都是典型的归纳总结.而论证命题的真假，要进行严密的证明，下面仅对命题3进行证明，过程如下：

证明：设Q（xQ，yQ），P（xP，yP），

故点Q在直线x=-（a2+b2）上.

三、素养与说题融合的思考

说题能从宏观上促进教师的专业快速成长，从局部上来看，说题促使教师对试题进行深入探究、挖掘试题的深层背景、理解试题的命题立意、把控试题的命题趋势，提升备考的针对性和实效性.而数学学科核心素养是一个整体性系统，能在概念教学中渗透，也能在解题教学中培养；以实现核心素养的显化和具体化，一改一线教师认为素养虚无的观念.当数学核心素养融入说题活动，将为核心素养的教学实践开拓新领域，也为说题指引了明确的方向；使得抽象的数学核心素养的学科功能，通过具体问题的解决获得展现.同时，核心素养指引下，说题的设计的目的性更强、更有效，必然在推动教师教研能力提升的同时，提高学科的教学效率与教育水平.

1.张玉珍，苏洪雨.一道高中解析几何题的说题设计探究［J］.数学通报2017（6）.

2.卫小国.大道多至简，取势方明道——“析、译、拓”解题教学实践与思考［J］.中学数学（上），2017（4）.