基于Newmark-β预测校正积分法的高速车辆垂向—纵向耦合振动研究

侯茂锐，胡晓依，李海涛

(1.中国铁道科学研究院 铁道科学技术研究发展中心，北京 100081；2.中国铁道科学研究院 高速轮轨关系试验室，北京 100081；3.中车青岛四方机车车辆股份有限公司 国家工程实验室，山东 青岛 266000)

轮对动平衡是重要的周期性激振源之一，当车轮高速旋转时轮对动平衡将会引起较大的轮对纵向振动，该振动首先传递至转向架构架，使其产生纵向振动，再经过牵引拉杆和抗蛇行减振器传递至车体，使其产生垂向振动。尤其是当轮对动平衡引起的旋转频率等于或接近车辆系统的弯曲自振频率时将引起车辆系统共振，严重影响车辆运行平稳性和乘坐舒适性。如国内某高铁2013年曾发生车体的纵向异常振动现象，当动车组运行速度达到300 km·h-1时，车体的纵向、横向和垂向均出现了主频约9.5Hz的明显周期性运动，影响乘坐舒适性[1]。

随着300 km·h-1速度级高速动车组的广泛开行，对乘坐舒适性提出了更高的要求。由于人体对10 Hz频率范围内的垂向振动最为敏感，而车体1阶弯曲振动的固有频率正好与此频率接近，因此，必须减小该频率范围的垂向振动。国内外研究人员通过相关研究取得了一定理论和应用成果。文献[2-3]分别通过在车体下方粘贴黏弹性材料约束层、压电式器件，利用附加阻尼衰减车体垂向振动；文献[4]从理论上分析了采用动力减振器可以在一定程度上抑制某些频率的振动；文献[5-6]分别分析了主动和半主动悬挂方式可以明显减小车体的振动；文献[7]通过优化牵引拉杆、减振器等二系悬挂参数，降低车体振动；文献[8]通过多体动力学软件和有限元软件的结合建立了刚柔耦合动力学模型，研究了牵引拉杆纵向刚度对高速客车车体弹性振动的影响。但传统的多体动力学分析不能有效评估轮对动平衡量及初始相位关系、悬挂部件刚度阻尼特性等关联因素对车辆垂向和纵向耦合振动的影响。

本文以CRH2型高速动车组为研究对象，在Matlab软件中建立了车辆垂向—纵向耦合振动数学模型，基于Newmark-β预测校正积分法编写程序求解系统振动响应，准确评估轮对动平衡对车辆垂向和纵向振动的影响；提出有效降低由轮对动平衡引起的车辆振动优化措施，以提高乘坐舒适性。

1 车辆垂向—纵向耦合振动数学模型

选取车辆以恒速v在直线线路上运行，建立其垂向—纵向耦合振动数学模型。模型由车体、构架、轮对、一系悬挂和二系悬挂组成，车体、构架和轮对均视为刚体，考虑13个自由度，分别为车体的沉浮位移Dzc、纵向位移Dxc、点头角θc，前转向架的沉浮位移Dzb1、纵向位移Dxb1、点头角θb1，后转向架的沉浮位移Dzb2、纵向位移Dxb2、点头角θb2，1位轮对纵向位移Dxw1、2位轮对纵向位移Dxw2、3位轮对纵向位移Dxw3、4位轮对纵向位移Dxw4。模型忽略了轮轨垂向接触刚度，垂向轨道不平顺直接作用在一系钢簧下部，模型如图1所示。

图1 车辆垂向—纵向耦合振动数学模型

从图1可以看出：轮对动平衡等引起的剧烈轮对纵向振动经过轴箱定位刚度传递至转向架构架，使得构架产生较大的纵向振动，由于转向架二系悬挂的牵引拉杆、抗蛇行减振器等元件通过橡胶节点连接构架，橡胶节点刚度约束了构架的纵向振动，致使转向架构架的点头运动加剧；主要由构架点头运动引起的构架垂向振动加剧，转向架二系悬挂的牵引拉杆、抗蛇行减振器等元件通过橡胶节点连接车体，通过橡胶节点的约束使得构架垂向运动再次传递至车体，引起车体的点头、垂向振动加剧。

车辆垂向—纵向耦合振动系统微分方程如式(1)所示，详细情况参见文献[9]。

(1)

CRH2型动车组的部分参数见表1。

表1 质量和惯量参数

2 基于Newmark-β预测校正积分法求解数学模型

振动系统动力响应的求解，常用的方法有阵型叠加法[10]和直接积分法，而直接积分法又有2种，分别为隐式法和显式法。隐式积分法具有无条件稳定的特点，可采用较大的时间积分步长，提高计算效率；但对非线性问题，求解过程复杂，计算量巨大。显式积分法积分步长不受稳定条件制约，其计算过程简洁且具有较高的计算效率[11]。预测校正积分法结合隐式和显式积分的优点，采用显式预测，隐式校正，可以获得较好的综合性能，被广泛使用。预测校正积分法包括中心差分法、Newmark-β法等。中心差分法一般多用于求解波的传播等问题，对于结构动力学问题，中心差分法为了保证算法的稳定性对步长要求较高，计算效率较低；而Newmark-β法满足一定条件将无条件稳定，并且具有较高的计算效率。因此，本文采用Newmark-β预测校正积分法求解振动系统响应。

(2)

根据式(2)求解得到t+Δt时刻的速度和位移向量分别为

(3)

(4)

式中：δ，β为积分控制参数。

当δ≥0.5，β≥(1/2+δ)2/4时，采用Newmark-β预测校正积分法无条件稳定；经比较发现，当δ=0.5，β=0.25时计算结果理想。

3 模型验证

为了验证基于Newmark-β预测校正积分法的车辆垂向—纵向耦合振动数学模型的准确性，应用多体动力学软件UM建立了CRH2型动车组的动力学仿真模型[9,12](见图2)，对两者的计算结果进行比较。

图2 CRH2型动车组多体系统动力学仿真模型

首先，对模态频率进行比较，见表2。其次，对实测轨道不平顺激励下的车辆响应进行比较，仿真计算时输入的某高铁实测轨道不平顺如图3所示，车体垂向振动加速度和点头角加速度比较结果如图4、图5所示。

表2 模态频率比较

图3 实测轨道不平顺

图4 车体垂向振动加速度对比

图5 车体点头角加速度对比

UM中车体、构架与轮对三者互相耦合的纵向模态频率为6 Hz，构架纵向与轮对沉浮耦合模态频率为32.1 Hz。经过比较，发现自编程序计算结果与UM软件计算结果比较一致。

由图4、图5可知，车辆垂向—纵向耦合振动模型计算的车体垂向振动加速度和点头角加速度与UM软件结果非常一致。由此可见，本文建立的车辆垂向—纵向耦合振动模型完整合理，Newmark-β预测校正积分法求解计算可靠。

4 轮对动平衡的影响

根据标准规定[13]，当车辆运行速度大于200 km·h-1时，轮对许用不平衡量小于50 g·m，仿真计算中分析轮对动平衡从10～50 g·m的影响，每10 g·m为1个等级，速度为50～400 km·h-1，每50 km·h-1为1个计算等级，得到不同轮对动平衡对车体垂向和纵向振动加速度的影响，如图6和图7所示。

图6 轮对动平衡对车体垂向振动加速度的影响

由图6和图7可知：速度为60和300 km·h-1时车体的垂向和纵向振动加速度明显增大，此时车体的振动随着轮对动平衡的增大而增大；其他速度等级时，车体的振动变化较小。

图7 轮对动平衡对车体纵向振动加速度的影响

当带有偏心质量的车轮旋转时，产生的离心力作为外部激扰力激扰车辆，激扰力呈现周期性变化，激扰力变化频率f与车辆运行速度v和车轮直径φ有关，为

(5)

由式(5)可知，车辆运行速度为60和300 km·h-1时轮对动平衡引起的激扰力频率与车辆自振频率接近，引起的车体振动响应较大，此时对应的振动频率分别为6和31 Hz，说明6和31 Hz为车辆系统的自振频率，与表2中的模态频率一致，6 Hz接近车辆系统的纵向耦合模态频率，31 Hz接近构架纵向与轮对沉浮的耦合频率。

不同速度时的激扰力频率、轮对动平衡与垂向平稳性之间的关系如图8所示。由图8可知：6和31 Hz时的垂向平稳性指标明显增大；为了降低轮对动平衡对高速列车乘坐舒适性的影响，必须减小6和31 Hz时的车辆振动响应。

图8 轮对动平衡对垂向平稳性的影响

5 优化措施

牵引拉杆纵向刚度对转向架垂向—纵向耦合振动影响较大，因此结合CRH2型动车组的牵引拉杆的线性纵向刚度，并参照文献[7]中基于位移相关的牵引拉杆非线性纵向刚度，推导出牵引拉杆纵向刚度随速度的变化曲线，如图9所示。

具有非线性刚度的牵引拉杆主要是在牵引拉杆的橡胶关节上设置沟槽间隙，当牵引力或制动力的频率较低和载荷较大(位移较大)时，沟槽间隙受到较大的挤压，牵引拉杆具有大的纵向刚度；反之，牵引拉杆具有较小的纵向刚度，可以隔离转向架的纵向振动传至车体。

仿真计算中牵引拉杆的纵向刚度按图9所示曲线输入，当轮对动平衡等于40 g·m时，得到车体垂向和纵向振动加速度的变化曲线如图10和图11所示。

图9 牵引拉杆纵向刚度变化曲线

图10 牵引拉杆纵向刚度对车体垂向振动加速度的影响

图11 牵引拉杆纵向刚度对车体纵向振动加速度的影响

由图10和图11可知：采用线性纵向刚度牵引拉杆时车体的垂向和纵向振动加速度在6和31 Hz左右时振动强烈，而采用非线性纵向刚度牵引拉杆的则明显减小，尤其是31 Hz左右时车体振动得到大幅减小，6 Hz的车体振动有一定减小，且振动峰值频率出现在4 Hz。因此，采用非线性纵向刚度牵引拉杆可以明显降低轮对动平衡引起的车辆振动，提高旅客的乘坐舒适性。

6 结 论

(1)以CRH2型动车组为研究对象，应用Matlab软件建立13个自由度的车辆垂向—纵向耦合振动数学模型，基于Newmark-β预测校正积分法编写程序求解系统振动响应，并与多体系统动力学软件UM的结果进行比较。两者计算的车辆模态频率和振动加速度响应具有较好的一致性，验证了车辆垂向—纵向耦合振动数学模型和Newmark-β预测校正积分法的准确性和可靠性。

(2)速度为60和300 km·h-1时轮对动平衡对车体振动响应影响显著，此时对应的振动频率为6和31 Hz，轮对动平衡引起的激扰力频率与车辆自振频率接近，产生共振。

(3)纵向刚度随频率变化的牵引拉杆在低频率大位移时具有较大的纵向刚度，在高频率小位移时具有较小的纵向刚度。采用纵向刚度随频率变化的牵引拉杆可以明显降低由轮对动平衡引起的6和31 Hz左右的车辆振动，提高高速列车的乘坐舒适性。

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