插上类比翅膀，成就高效课堂

文/鹤山市第一中学 黄洁珍

在日常教学中，教师经常能听到学生反映： “课听得懂，题不会做。”简单说，这是没有学会发现，没有学会类比，在数学教学中，类比与归纳法一起被人们称为发现真理的主要工具，数学教育家波利亚说： “一般化、特殊化和类比是获得发现的源泉。” “你能否想出一个有相同或相似的未知数的熟悉的问题？你是否见过形式稍有不同的题目？你能论述这个题目吗？”这就是告诉我们，在教学过中要教会学生善于用类比，从而提高解题能力。教学中可类比公式、结论、方法、功能、探究等，本文介绍其中几种.

一、类比方法

例1.①类比函数y=kx+1中当x=0时，对任意的k，都有y=0，得直线y=k(x+1)+2中同理当(x+1)=0时y=2，从而得直线y=k(x+1)+2恒过定点(-1，2)。同理，圆化x2+y2-4ax+20a=25为(x2+y2-25)+a(-4ax-2y+20)=0(a∈R)， 当x2+y2-25=0 和-4ax-2y+20=0时x2+y2-4ax+20a=25图像恒过定点 (3，4)或 （5，0）。

②类比函数y=ax(a＞0，a≠1)当x=0时， 对任意的a（a＞0，a≠1）， 都有y=1得y=a1-2x+2， 当 1-2x=0时，y=a0+2=3得y=a1-2x+2图像恒过定点

③类比函数y=logax(a＞0，a≠1)当中x=1时，对任意的a(a＞0，a≠1)， 都有y=0得y=loga(2x+3)-1中当2x+3=1，y=loga1-1=-1，从而函数y=loga(2x+3)-1图像恒过定点(-1， -1)。

有参数过定点问题是研究曲线性质的重要组成部分，它也是高中数学中一类重要的题型，通过类比方法我们可以把复杂的函数图象变换难题转化为易算的代数问题，可以把抽象的曲线问题转化为易懂的问题，可以把不同的问题，归纳为相同或相似的问题，现在高考越来越重视对学生运用类比解决问题能力的考查。

二、类比证明

例2.设定义在R上的函数f(x)·f(x+2)=13满足，若f(3)=2，求f(2013)。

解析： ∵f(x)·f(x+2)=13，

∴f(x+2)·f(x+4)=13。

得f(x+4)=f(x)， 函数f(x)是以 4为周期的周期函数。

所以f(2013)=f(503×4+1)=f(1)=

以上证明中x+2代换x，从而化简为f(x+T)=f(x)形式，得周期T。

类比以上证明，可证下面函数的周期，①②④⑤中用想x＋a代换x就可证得周期为2a而③用 x＋b代换x可证得周期为a＋b，⑥⑦经两次代换证得周期为4a。

表1

周期证明就是根据给出已知条件等式的特点，将x+a看作一个变量，反复进行代数运算，最后得f(x+T)=f(x)的形式。学会类比代换来证明周期问题，抽象函数就变得简明。

三、类比探究

例3.对于一切实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)， 若f(1)， 求f(2003)。

解法1：f(2003)=f(2012+1)=f(2012)+f(1)=f(2011)+f(1)+f(1)=f(2010)+3f(1)=…=2013f(1)=8×2013=16104。

解法2：根据抽象函数具有的性质，设f(x)=kx(k≠0)，由f(1)=8得k=8。

f(x)＝8x， 所以f(2013)＝8×2013＝16104。

解法2解题思想耐人寻味，如果讲完此法，把表1左边列出，教师有意识地去引导学生探究和挖掘，学生类比探究得右边的模型，对激发学生的探究兴趣，培养学生的创新能力和理性精神均大有裨益，同时会得到一些有价值的结论和重要的解题思想，对提高学生的解题能力有很大的帮助.

总之，类比思想方法博大精深，能够收到严格逻辑推理所不能达到的效果，它能提高学生的数学素质，改善思维品质，它能揭示数学的秘密，在数学学习中是最不可忽视的,尽管类比不一定完全可靠，但它的确是我们教学中不可缺的，从某种意义上讲学生要学会数学，先要学会类比，在类比中发现.这就是所谓的插上类比翅膀，成就高效课堂。