“几何直观”在小学数学教学中的应用

陈光明

利用几何直观可以把抽象的数学概念和原理进行直观描述，可以帮助学生理解题意、找到解决问题的思路、预测问题的结果，其在学生数学学习过程中发挥着重要作用。

一、借助几何直观，帮助学生理解数学

1. 理解概念。学生从学习简单的整数开始，到学习十进制整数，还有分数、小数、负数……在学习数的任何一个阶段都离不开几何直观的支持。利用几何直观，可以将抽象的“数”具体化、直观化，以帮助学生建立数感。

如在教学“平均数”时，为了帮助学生理解抽象的“平均数”意义，笔者设计了以下几个环节：

（1）用条形统计图展示4、9、7、12这一组数据，让学生用一个恰当的数来作为这一组数据的代表。通过课件演示，用“移多补少”的方法使所有“条形”都变得“一样高”（见图1），使学生直观地理解平均数的意义，并在此基础上推导出计算平均数的方法。

（2）在原有数据的基础上又加入一个新数据“3”，并向学生提问：平均数会发生什么变化，为什么会这样变化？通过课件演示，将前面的四个“条形”各移动一格补给“3”，又一次使所有“条形”变得一样高，得到了新的平均数“7”（见图2）。

2. 理解原理。数学中的许多定理都是从概念出发，通过演绎推理的方式逐步推导出来的。小学生的逻辑思维还没达到应有的高度，教师不可能用严密的“公理化”方式来教学数学知识。为了能更好地理解数学中的各种原理，让数学散发其应有的吸引力，学生在经历数学原理的探索、发现与推导的过程中，几何直观是必要的辅助手段。

如在计算“圆环的面积”时，学生经常会将两个数的平方差算成两个数差的平方。为了演示二者的区别，笔者给学生提供了左边的图形（图3），让学生观察后思考：哪部分的面积是92-72，哪部分的面积是（9-7）2，它们的大小一样吗？借助图形，学生就能直观地区别“平方差”与“差的平方”的不同。

3. 理解模型。数学模型的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，学生经历从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，并用数学的方法研究和解决问题，最终得到结果，是数学建模的一般步骤。而几何直观模型通常是现实问题与高度抽象的数学模型之间的桥梁。

为了能更好地帮助学生建立“植树问题”的三种不同的模型，在教学时笔者借助如下几何直观模型，用“一一对应”的思想来引导学生提炼出植树问题的三种“数学模型”（见表1）。

二、借助几何直观，帮助学生解决问题

1. 理解题意。人教版五上中的“分段计费”问题常常是学生学习的难点，主要是因为学生不能正确理解题意。在教学时，笔者引导学生将问题中的数量关系用“线段图”的方式“画”出来（见表2），通过这种方式帮助学生理解题意，收到良好的效果。

2. 启发思路。学生在数学学习过程中经常会遇到一些数量关系比较复杂的问题。为了厘清问题的数量关系，弄清有用信息与隐含信息，启发解题思路，通常可以利用直观图来描述和分析问题中的数量关系，寻找到解决问题的路径。

如这样一道题目：将一个表面积是110 cm2的长方体分割成大小相等的5个小正方体后，表面积之和增加了多少平方厘米？笔者所在学校的某班回答这道题的正确率远高于同年段的其他班级。后来年级的几位数学教师翻看了该班同学的试卷，原来这个班上大多数同学都在本题的旁边自觉地画上了左边的“草图”（图4）。该长方体未分割前有22个面，每个面积是5 cm2，增加的8个面刚好为40 cm2。由此可见，“画图”对于帮助解决较为抽象的数学问题起到化抽象为具体的作用。

3.“看”出结果。学生在学完圆的面积后，笔者设计了这样的问题：用一张A4纸（长29.7 cm、宽21 cm）最多可以剪出多少个直径是5 cm的圆片？

受到思维定势的影响，学生想当然地用长方形的面积除以一个圆片的面积算出可以剪出31个圆。看到学生的答案后，笔者并没有马上予以否认，而是给他们发一张A4纸，让他们将31个圆画出来。在学生画圆的过程中就陆续有学生发现长方形纸上有很多空隙没办法被利用。借助“画圆”让学生明白剪圆时必须先剪边长与直径相等的正方形，能剪多少个这种正方形，就能剪多少个圆。也让学生明白考虑问题要结合实际情况，同时也让学生认识到，有些问题的答案居然能够通过画图的方法被轻易地“看”出来。

三、借助几何直观，促进学生思维严密

几何直观作为数学思考的有力工具，为数学的创造和发展带来无尽的灵感。但建立在直观或直觉上得到的结论不能代替严密的推理。随着学生学习的深入，应该让学生明白——借助几何直观“看”到的结果必须要经过推理论证后才更加可信，以此逐步提高学生思维的严密性。

如在计算右边组合图形（图5）的面积时，有学生将组合图形分割成三个三角形，分别计算这三个三角形的面积再相加，得出的结果是122 cm2。但学生通过运用“几何画板”计算出∠ABC的度数后发现：原来两条折线AB和BC所成的角不是平角，图中的虚线ABC实际上不是一条直线，所以用这种方式计算组合图形的面积时，多算了面积。

通过这个实例，让学生明白有时通过直观“看”出来的结论也會有错，必须经过推理论证才能使结论更有保证，使思维逐步向科学性、严密性发展。

（作者单位：福建省福清市高山中心小学）