旋转体内切球问题与等体积法

卫锋 付瑞

【摘要】高中阶段接触的简单空间几何体主要包括多面体与旋转体，众所周知，等体积法V=13Sr是处理多面体内切球问题的重要方法.而同时，等体积法也可用于处理某些旋转体的内切球问题.本文详细介绍了圆柱、圆锥这两种转体的内切球问题.

【关键词】旋转体；内切球；等体积法问题

《教学研究》2015第23期刊登的《探究多面体的体积、表面积及内切球半径之间的关系》一文已有探讨，本文不再赘述.下面本文探讨使用等体积法求解一些特殊旋转体的内切球问题.

以圆柱为例，若圆柱存在内切球，记其体积、表面积、内切球半径分别为V，S，r.考虑一正n棱柱使该圆柱为其内切圆，即此正n棱柱的上下底面所在平面与圆柱的上下底面所在平面重合，此正n棱柱的侧面与圆柱的侧面相切，如图1所示，容易知道此时圆柱的内切球也正是该正n棱柱的内切球.正n棱柱为多面体，故对该正n棱柱而言，其表面积Sn、体积Vn及内切球半径r满足Vn=13Snr.当n→+∞时，Sn→S，Vn→V，从而V=13Sr成立，故可利用等体积法Vn=13Snr处理圆柱的内切球问题.

对圆锥而言，其体积、表面积、内切球半径分别为V，S，r也符合等体积法V=13Sr.构造一正n棱锥使圆锥为其内切圆锥，即正n棱锥与圆锥共顶点，且圆锥的底面圆为正n棱锥底面正n边形的内切圆，如图2所示.易知圆锥的内切球即为所构造正n棱锥的内切球.由于正n棱锥的内切球问题符合等体积法Vn=13Snr，当n→+∞时，易知圆锥的内切球问题也符合等体积法V=13Sr.

对圆台而言，构造一正n棱台使圆台为其内切圆台，即正n棱台的上下底面所在平面与圆台的上下底面所在平面重合，且圆台的上、下底面圆为正n棱台上、下底面变形的内切圆，如图3所示，利用极限的思想同理可知圆台的内切球问题也符合等体积法V=13Sr.

以上说明了圆柱、圆锥、圆台这三种基本的旋转体的内切球问题都符合等体积法V=13Sr的结论，说明其成立的方法是利用共内切球的多面体无限逼近旋转体，体现了极限的思想，这种思路与我国古代数学家刘徽“割圆术”探索圆周率有异曲同工之妙，不禁让人感叹数学之美妙.

很容易有一个疑问，等体积法V=13Sr求内切球半径是否对所有旋转体都适用呢？如果不是，适用于哪些旋转体呢？这些旋转体有何共同特点？

图4

等体积法V=13Sr求内切球半径并非适用于所有旋转体，例如，球缺的内切球，用代数方法容易验证其不符合等体积法V=13Sr，此处略去不表.对比圆柱、圆锥、圆台等旋转体用共内切球的多面体无限逼近的思路加以思考，再考虑到球缺上有且仅有其内切球的两个切点，显然球缺无法用共内切球的多面体无限逼近，从而无法保证等体积法V=13Sr成立.

最终可得如下结论：若旋转体有内切球，且该旋转体可用共內切球的多面体无限逼近，则此旋转体表面积S、体积V及内切球半径r满足等体积法V=13Sr.旋转体可用共内切球的多面体无限逼近的一个必要条件是该旋转体上有其内切球的无穷多个切点.

本文结论在旋转体内切球问题中有重要应用，例如，《数学教学研究》2004年第6期（总第142期）刊登的《体积与表面积等值的旋转体与内切球》一文主要提及四条定理：（1）若旋转体的体积与表面积等值，则其内切球半径必为3；（2）若旋转体的体积与表面积等值，则其内切球体积与表面积也等值；（3）若旋转体内切球的半径为3，则该旋转体的体积与表面积等值；（4）若旋转体内切球的体积与表面积等值，则该旋转体的体积与表面积也等值.由本文结论可知上述四条定理显然成立.

【参考文献】

[1]沈杰.体积与表面积等值的旋转体与内切球[J].数学教学研究，2004（6）：43-44.

[2]向君.探究多面体的体积、表面积及内切球半径之间的关系[J].教学研究，2015（23）：24.