把握基本模型,搞定复杂问题

2019-09-10 13:22:37 新高考·高一数学 2019年2期

王森林

在解决实际问题时,需要从实际情境中抽象出数学问题,并建立数学模型去解决.数学模型思想就是将未解决的问题转化为已经解决的问题类型,所以掌握好已经解决了的问题类型,有利于我们解决更复杂问题.进入高一以来,我们学了一些基本模型,如指数函数、对数函数、幂函数等函数模型,还有概率模型(古典概型和几何概型)、三角函数模型等等,今后还会学习到更多的数学模型.只要熟练掌握这些基本模型,我们的思维能力就会得到提升.

例1 设以为实数,求函数f(x)=a√1-x2+√1+x+√1-x的最大值g(a).

解析 起初看到这个题我们可能无从下手,有3个根号,去根号只能平方,但一平方,表达式就会变得很复杂.但仔细审题后,发现第一个根号中的代数式恰为后面两个根号中代数式的乘积.到了这里,请你想一想,以前是否遇到过类似问题(表达式的结构上).在三角的学习中曾经遇到一类这样的问题:求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.此时,我们利

用同角三角函数中的平方关系令sinx+cosx=t,得sinxcosx=t2-1/2,而将一个三角函数的问题转化为一个二次函数问题.如果你深刻理解这类问题的解题思路和思维方法,也就在你的头脑当中形成了一种数学模型,有了这种模型,例1就迎刃而解了,后面的解题过程请你试一试.

例2 已知向量a,b满足|a|=a,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是___ ,最大值是____.

解析 思路1:审题发现条件中有a+b和a-b,它们是向量a,b的和向量以及差向量,联想到平行四边形法则和三角形法则,你的思路中自然就开始建立几何模型.由于|a|=1,|b|=2,你可能会联想到两个同心网,但事实上a,b的位置是相对而言的,不妨让一个不动,而另一个运动,如图1,令a=OA,b=OB,其中OB固定不动,则|a+b|和|a-b|是以|a|,|b|为邻边的平行四边形的两条对角线,|a+b|2 +|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=1O,A是以O为圆心的单位网上的一动点,构造两个全等的平行四边形AOBD,平行四边形ECOA.所以|a+b|+|a-b|=|AB|+|AC|.易知当A,B,C三点共线时,|AB|+|AC|最小,此时|AB|+|AC|=|BC|=4;当AO⊥BC时,|AB|+|AC|最大,此时|AB|+|AC|=2|AB|= 2√5.

思路2:已知条件中有a,b的模,可以根据平面向量数量积的定义,其中只有夹角是未知的,所以可以设夹角θ为变量,建立关于θ的三角函数模型.

(|a+b|+|a-b|)2=|a+b|2+|a-b|2+2|a+b||a-b|=2(|a|2 +|b|2) +2√a2+b2+2|a||b|cosθ√a2+b2-2|a||b|cosθ=10+2√5+4cosθ√+-4cosθ=10+2√25-16cos2θ(θ是向量a,6的夹角).

所以当COS2θ=1时,|a+b|+|a-b|取得最小值4;当COS2θ=0时,|a+b|+|a-b|取得最大值2√5.

例3 如图2所示,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,√2,OA与OC的夹角为α,且tanα=7,OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),则m+n=____.

解析 思路1:根据已知条件可以建立坐标系,把向量用坐标来表示,再由平面向量基本定理,建立方程模型.如图3所示,以OA所在的直线为x轴,过O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系,由题意结合可得A(1,0),C(1/5,7/5),B(-3/5,4/5),由OC=mOA+nOB,得(1/5,7/5)=m(1,0)+n(-3/5,4/5),即{1/5=m-3/5n, 7/5=4/5n,解得{m=5/4,n=7/4,故m+n=3.

思路2:如果你发现三个向量的模和夹角都知道了,由平面向量的数量积可以用向量OA,OB分别点乘向量OB,也可以建立方程模型.由题意

{OC·OA=mOA·OA+nOB·OA,OC·OB=mOA·OB=nOB·OB

(*)而由tanα=7,得sinα=7/5√2,COSα=1/5√2,

OA·OB=1*1*cos(α+π/4)=cosα·cos/4-sinα·sinπ/4=-3/5.将(*)式化简为{1/5=m-3/5n, ① 1=-3/5m+n,②式①加式②,得m+n=3.思路3:由向量的分解可知以OC为对角线,OA,OB的延长线为一组邻边作平行四边形OA1CB1,这样只要求出OA1,OB1的长即可,根据已知条件可以将问题放到三角形内解决,从而建立三角形模型,由tanα=7,可得sinα=7√2/10,COSα=√2/10,如图4所示,根据向量的分解,易得

例4在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为

解析 思路1:题目中两个向量的模和夹角都已知,其他向量尝试用AB和AC来线性表示,这实际上是建立基底模型,即用基底表示题中其他向量.如图5所示,以向量AB,AC为平面向量的基底,则依题意可得AB·AC=|AB||AC|cos60°一3×2×1/2=3.又因为BD=2DC,则AD=AB+BD=AB+2/3BC=AB+2/3(AC-AB)=2/3AC+1/3AB,则 -4=AD·AE=2λ/3AC-1/3AB+(λ/3-λ2/3)AC·AB=11/3λ-5,解得λ=3/11.

思路2:建立坐标系,将向量的运算转化为代数运算,再根据已知条件可以建立方程模型.以点A为坐标原点,以AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系(如图6所示).依题意易得A(O,O),B(3,O),C(1,√3),AB=(3,0),BC=( -2,√3),AC=(1,√3).则可得AD=AB+BD=AB+2/3BC=(5/3,2√3/3),AE=λAC-AB=(λ-3,√3λ),于是有 -4=AD·AE=5/3(λ-3)+2λ=11/3λ-5,解得λ=3/11.

學习数学需要掌握丰富的解题经验,其中,模型思想是最重要的经验之一.怎样才能积累更多的数学模型呢?其实也不算难,只要用心,上课认真听课,课后把做过的题(特别是做错的题)进行整理,思考这个题还与哪个题有相似之处,能否并成同一类,解法是否一样.这样认真对待每一个问题,努力做到举三反一,方能更好地举一反三.长期坚持,你的思维能力一定有很大的提升,你的数学能力一定有质的飞跃,不信?你试试!