把握基本模型，搞定复杂问题

王森林

在解决实际问题时，需要从实际情境中抽象出数学问题，并建立数学模型去解决.数学模型思想就是将未解决的问题转化为已经解决的问题类型，所以掌握好已经解决了的问题类型，有利于我们解决更复杂问题.进入高一以来，我们学了一些基本模型，如指数函数、对数函数、幂函数等函数模型，还有概率模型（古典概型和几何概型）、三角函数模型等等，今后还会学习到更多的数学模型.只要熟练掌握这些基本模型，我们的思维能力就会得到提升.

例1 设以为实数，求函数f（x）=a√1-x2+√1+x+√1-x的最大值g（a）.

解析 起初看到这个题我们可能无从下手，有3个根号，去根号只能平方，但一平方，表达式就会变得很复杂.但仔细审题后，发现第一个根号中的代数式恰为后面两个根号中代数式的乘积.到了这里，请你想一想，以前是否遇到过类似问题（表达式的结构上）.在三角的学习中曾经遇到一类这样的问题：求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.此时，我们利

用同角三角函数中的平方关系令sinx+cosx=t，得sinxcosx=t2-1/2，而将一个三角函数的问题转化为一个二次函数问题.如果你深刻理解这类问题的解题思路和思维方法，也就在你的头脑当中形成了一种数学模型，有了这种模型，例1就迎刃而解了，后面的解题过程请你试一试.

例2 已知向量a，b满足|a|=a，|b|=2，则|a+b|+|a-b|的最小值是___ ，最大值是____.

解析 思路1：审题发现条件中有a+b和a-b，它们是向量a，b的和向量以及差向量，联想到平行四边形法则和三角形法则，你的思路中自然就开始建立几何模型.由于|a|=1，|b|=2，你可能会联想到两个同心网，但事实上a，b的位置是相对而言的，不妨让一个不动，而另一个运动，如图1，令a=OA，b=OB，其中OB固定不动，则|a+b|和|a-b|是以|a|，|b|为邻边的平行四边形的两条对角线，|a+b|2 +|a-b|2=2（|a|2+|b|2）=1O，A是以O为圆心的单位网上的一动点，构造两个全等的平行四边形AOBD，平行四边形ECOA.所以|a+b|+|a-b|=|AB|+|AC|.易知当A，B，C三点共线时，|AB|+|AC|最小，此时|AB|+|AC|=|BC|=4;当AO⊥BC时，|AB|+|AC|最大，此时|AB|+|AC|=2|AB|= 2√5.

思路2：已知条件中有a，b的模，可以根据平面向量数量积的定义，其中只有夹角是未知的，所以可以设夹角θ为变量，建立关于θ的三角函数模型.

（|a+b|+|a-b|）2=|a+b|2+|a-b|2+2|a+b||a-b|=2（|a|2 +|b|2） +2√a2+b2+2|a||b|cosθ√a2+b2-2|a||b|cosθ=10+2√5+4cosθ√+-4cosθ=10+2√25-16cos2θ（θ是向量a，6的夹角）.

所以当COS2θ=1时，|a+b|+|a-b|取得最小值4;当COS2θ=0时，|a+b|+|a-b|取得最大值2√5.

例3 如图2所示，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，√2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB（m，n∈R），则m+n=____.

解析 思路1：根据已知条件可以建立坐标系，把向量用坐标来表示，再由平面向量基本定理，建立方程模型.如图3所示，以OA所在的直线为x轴，过O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意结合可得A（1，0），C（1/5，7/5），B（-3/5，4/5），由OC=mOA+nOB，得（1/5，7/5）=m（1，0）+n（-3/5，4/5），即{1/5=m-3/5n， 7/5=4/5n，解得{m=5/4，n=7/4，故m+n=3.

思路2：如果你发现三个向量的模和夹角都知道了，由平面向量的数量积可以用向量OA，OB分别点乘向量OB，也可以建立方程模型.由题意

{OC·OA=mOA·OA+nOB·OA，OC·OB=mOA·OB=nOB·OB

（*）而由tanα=7，得sinα=7/5√2，COSα=1/5√2，

OA·OB=1*1*cos（α+π/4）=cosα·cos/4-sinα·sinπ/4=-3/5.将（*）式化简为{1/5=m-3/5n， ① 1=-3/5m+n，②式①加式②，得m+n=3.思路3：由向量的分解可知以OC为对角线，OA，OB的延长线为一组邻边作平行四边形OA1CB1，这样只要求出OA1，OB1的长即可，根据已知条件可以将问题放到三角形内解决，从而建立三角形模型，由tanα=7，可得sinα=7√2/10，COSα=√2/10，如图4所示，根据向量的分解，易得

例4在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2.若BD=2DC，AE=λAC-AB（λ∈R），且AD·AE=-4，则λ的值为

解析 思路1：题目中两个向量的模和夹角都已知，其他向量尝试用AB和AC来线性表示，这实际上是建立基底模型，即用基底表示题中其他向量.如图5所示，以向量AB，AC为平面向量的基底，则依题意可得AB·AC=|AB||AC|cos60°一3×2×1/2=3.又因为BD=2DC，则AD=AB+BD=AB+2/3BC=AB+2/3（AC-AB）=2/3AC+1/3AB，则 -4=AD·AE=2λ/3AC-1/3AB+（λ/3-λ2/3）AC·AB=11/3λ-5，解得λ=3/11.

思路2：建立坐标系，将向量的运算转化为代数运算，再根据已知条件可以建立方程模型.以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系（如图6所示）.依题意易得A（O，O），B（3，O），C（1，√3），AB=（3，0），BC=（ -2，√3），AC=（1，√3）.则可得AD=AB+BD=AB+2/3BC=（5/3，2√3/3），AE=λAC-AB=（λ-3，√3λ），于是有 -4=AD·AE=5/3（λ-3）+2λ=11/3λ-5，解得λ=3/11.

學习数学需要掌握丰富的解题经验，其中，模型思想是最重要的经验之一.怎样才能积累更多的数学模型呢？其实也不算难，只要用心，上课认真听课，课后把做过的题（特别是做错的题）进行整理，思考这个题还与哪个题有相似之处，能否并成同一类，解法是否一样.这样认真对待每一个问题，努力做到举三反一，方能更好地举一反三.长期坚持，你的思维能力一定有很大的提升，你的数学能力一定有质的飞跃，不信？你试试！