基于研究型教学的偏微分方程实例剖析

赵春芳

摘  要：研究型教学法能够模拟科学研究的方法，让学生充分体会到科学研究的过程，激发学生的分析、解决问题的能力。文章以《偏微分方程》课程为案例，将研究型教学融入到“一维热传导方程的初边值问题”的求解教学过程中。教学结果显示，研究型教学法是让学生体会科学研究过程的有效教学方法，锻炼了同学间的小组协作能力，培养了学生的科学创新、综合归纳和研究问题的能力。

关键词：偏微分方程;研究型教学;初边值问题;科学素养

中图分类号：G642         文献标志码：A         文章编号：2096-000X（2019）26-0106-03

Abstract： Research teaching method can simulate the method of scientific research， make students fully understand the process of scientific research， and stimulate students’ ability to analyze and solve problems. Taking the course of partial differential equation as an example， this paper integrates research-based teaching into the process of solving the initial boundary value problem of one-dimensional heat conduction equation. The teaching results show that the research teaching method is an effective teaching method for students to experience the scientific research process， exercise the ability of group cooperation among students， and cultivate students’ ability of scientific innovation， comprehensive induction and research problems.

Keywords： partial differential equation; research teaching; initial boundary value problem; scientific literacy

研究型教学是在教学活动中，努力发挥学生的主体能动性，以学生为中心的教学方法。在研究型教学中，要让学生模拟科学研究的过程及方法，让学生发挥自身能力去发现、分析和解决问题。偏微分方程是现代数学的重要分支，在金融数学、计算机图形学、计算科学、物理学以及微分几何中应用非常广泛。作为应用数学专业的重要课程，偏微分方程是培养该学科人才的核心课程，它是以建立模型、寻求方法、理论研究、解决现实问题为任务的。偏微分方程教学旨在教学中让学生掌握偏微分方程的概念、求解方法及理論，利用所学的知识解决现实中的实际问题，从而提高高校学生的科学素质及修养。本文以一个偏微分方程教学案例来探讨研究型教学的应用。

一、教学思路及目标

（一）课程设计思路

按照教学大纲，需要学生熟练掌握偏微分方程的理论及求解方法，全程参与偏微分方程的学习。将提高学生解决实际问题、分析问题能力为出发点，按照偏微分方程的基本环节安排教学内容，遵循研究型教学的先后顺序让学生全程参与进来，以此让学生熟练掌握相关知识及解决方法。

偏微分方程是解决实际问题的重要数学方法。在教学过程中，相对合理、好理解的问题要努力让学生利用所学理论和求解方法独立完成，积极开展同学间的课堂研讨，提高学生解决问题和研究问题的能力。教学过程中积极对学生研讨结果进行评价，及时反馈，以此达到研究型教学的目的，激发学生的研究积极性。

除了课堂教学研讨外，鼓励学生进行课外探索，并寻求实际的问题利用偏微分方程来解决，有能力的学生要鼓励其撰写小论文、解题心得，为下一步的学习做好准备。

（二）教学目标

偏微分方程的教学目标是：理论结合实际问题，解决应用学科中提出的偏微分方程问题;教学过程中培养学生研究型学习方法，巩固研究型教学目标;提高学生的科学素质，培养学生利用数学解决实际问题的能力并激发创新意识;使学生对偏微分方程的学习和利用产生兴趣，为应用学科提供人才。

二、教学实例

一维热传导方程的初边值问题是《偏微分方程》教学中的一个重点课程，问题如下：

（1）

其中，

如果按照传统的教学方法，则会采用“分离变量法”来求解一维热传导方程的初边值问题，可用Fourier级数来表示问题的解：

（一）提出问题

众所周知，根据波的反射原理可对半直线上的波动方程进行求解，那么，也可用通过热的反射原理对半直线上的热传导方程初边值进行求解。我们提出的问题是，一维热传导方程的初边值问题是否也能利用热的反射原理进行求解呢？

1. 分组讨论

在该次教学中，将全部学生分为四组，每组选一名组织能力较强者作为组长，并由组长开展问题的讨论和分析。教师通过小组巡视的方法进行必要的指导和帮助，但在指导和帮助过程中不要代替小组中学生的独立分析和研究。

2. 小组总结

通过二十分钟的小组研究讨论，每组组长都给出了研究的结果，除了一个小组未给出完整正确的答案，其他三组均给出非常完美的解答，选择正确的一组解答如下：

（3）

其中

证明：首先，在[-1，1]上对函数？渍（x）进行奇延拓，然后在整个实轴上进行延拓（周期21），并设？椎（x）为延拓后的函数，即

（5）

对下列辅助Cauchy问题进行考虑：

由于在[0，1]上？渍（x）连续，在R1上？准（x）连续，由Cauchy问题的poisson公式可知，公式（6）的解为：

（7）

其中

（8）

由于？椎（x）是奇函数，G（x，t）是关于x的偶函数，因此：

由于？椎（1-x）是关于点l的奇函数，即：

？椎（1-x）=-？椎（1+x）

因此

由此看出，u（x，t）通过公式（7）和公式（8）被确定，当0？燮x？燮1和t？燮0时，即为“一维热传导方程初边值问题”的解，即

（9）

其中，由公式（4）可以确定k（x，y，t）。

（二）问题延伸

经过上述探讨，四组同学均理解了利用热的反射原理求解一维热传导方程初边值的方法，教师经过总结后又提出了两个问题：

问题1：利用传统的“分离变量法”解得的公式（2）和利用“热的反射原理”解得的公式（3）、（4），在形式上很相似，那么，它们是相同的解吗？如果是相同的解，怎么证明呢？

问题2：利用“热的反射原理”和传统的“分离变量法”对一维热传导方程初边值问题进行了求解，并给出了公式，那么，能否用同样的方式对Neumann初边值问题进行求解：

（10）

其中，

上述两个问题作为小组的课外研究课题，每个小组成员经过了三天的研究和讨论，均得到了非常完整的解答方法，选其中一组解答方法如下：

1. 问题1的解答

利用传统的“分离变量法”解得的公式（2）和利用“热的反射原理”解得的公式（3）、（4），在形式上很相似，给出的解也是相同的，这是Poisson公式的两种表现方式，证明过程为：

利用数学分析知识可证明下列等式成立

通过公式（5）可知？椎（x）具有Fourier级数的形式如下：

因此

由公式（11）可知

将公式（13）带入公式（12）中，得到

通过上述公式（9），可将公式（14）的等号右边项写成

其中，由公式（4）可以确定k（x，y，t）。

2. 问题2的解答

该小组经过问题2的讨论得到三个结论：

结论1：对Neumann初边值问题，利用热的反射原理解答如下：

（15）

其中

结论2：对Neumann初边值问题，利用传统的“分离变量法”解答如下：

结论3：利用传统的“分离变量法”和利用“热的反射原理”给出的解是相同的，这是Poisson公式的两种表现方式。

三、结论

利用研究型教学方法教授“一维热传导方程初边值问题”，取得了一定的效果。该教学方法提高了学生学习偏微分方程的主动性和积极性，激发了同学们对数学的学习热情和解决问题的强烈动机，使得学生对偏微分方程解法的探究产生了迫切的愿望;通过这次教学，学生们普遍认为研究型教学是从“一维热传导方程初边值问题”的难点和重点出发，经过小组讨论和研究最终得到结論，并扩展了解决问题的思维和方法。这是一种让学生在学习过程中体会科学研究过程的有效教学方法，锻炼和学习的小组协作能力，培养了学生的科学创新、综合归纳和研究问题的能力。该方法的运用使学生掌握了偏微分方程的新知识，同时在教学过程中让同学对“波的反射原理”和“热的反射原理”有了更加深入的了解和掌握，达到了教学目标，让学生在快乐和钻研中学习了知识。

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