核心素养理念下的数学变式教学

2020-09-12 14:15:30 数学教学通讯·初中版 2020年7期

周琦

[摘  要] 数学变式教学是指紧扣本质特征不变这一中心思想,从不同角度,采用不同方式,变换背景,改变数学问题的表现形式,使相关问题非本质特征发生更变的一种教学方式. 教师在教学过程中应引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从而提升分析数学问题、解决数学问题的能力.

[关键词] 变式教学;化归思想;找规律

教材分析

“找规律”是七年级上册,学生在学习了有理数的运算、用字母表示数和整式的加减基础上展开的一节活动课. 它既是对前面所学知识的综合运用,也是对这些知识的拓展和延伸,还能为学生今后学习方程、函数等知识奠定基础.

教学目标

1. 用整式表示实际问题中的数量关系.

2. 掌握从特殊到一般的分析问题的归纳方法,以及从一般到特殊的化归问题的解决策略.

3. 培养思辨精神和应用意识.

教学重点

1. 用整式表示实际问题中的变化量与n的对应数量关系.

2. 掌握从特殊到一般、化归等数学思想方法的应用.

教学难点

发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养.

教学过程

(一)情境引入,开宗明义

问题  请写出1+2+3+…+n(n为正整数)的结果,并说明理由.

解答  1+2+3+…+n= ·n(n为正整数)

所以1+2+3+…+n= ·n(n为正整数).

设计意图  “找规律”是一个覆盖面非常广的课题,在初中段,需要学生掌握一些基本数字规律和研究方法. 本课以从1开始的连续自然数的求和问题为探究主线,从不同角度和层次展开变式应用.

追问:看到这个等式,你们有没有想到一位伟大的数学家和与此相关的故事?

设计意图  切合教学内容的数学文化介绍,能激发学生学习数学的兴趣和动力,从而让他们在数学求学之路上增强自信、发愤图强.

(二)一法多题,融会贯通

通过变换背景,改变基本方法的表现形式,可以寻找核心问题的能力增长点,从而达到理解一个基本原理,解决一类相关问题,促进数学高阶思维发展的目的.

1. 等式问题中的变式

变式1  观察下列等式:

1=12 ①

1+3=22 ②

1+3+5=32 ③

1+3+5+7=42 ④

请写出第⑤个等式并验证.

解答  第⑤个等式为1+3+5+7+9=52.

验证:左边=1+3+5+7+9=25,

右边=52=25,

所以左边=右边.

所以等式成立.

追问1:请写出第n个等式(n为正整数),并说明理由.

追问2:从1开始,连续多少个奇数相加的和等于400?

设计意图  从探究连续自然数相加的规律,变式到探究连续奇数相加的规律,体现了数学思维的发展性和深刻性. “追问1”对一般规律的验证,考查了学生数学思维的逻辑性和严谨性;“追问2”从逆向变式的角度,提升学生对连续奇数的和与等式序号n之间对应关系的理解.

2. 数阵问题中的变式

变式2  将正偶数按照图1所示的规律排列下去. 若用有序实数对(a,b)表示第a行的第b个数,如(4,3)表示偶数18,则图中(8,6)的位置表示的数是多少?

解答  图1中的数阵我们可以换个角度改写成图2的形式.

用符号语言来表示第n行最后一个数,为2(1+2+3+…+n)=2· ·n=n(n+1)(n为正整数),所以第7行最后一个数为7×8=56. 所以第8行第6个数为56+2×6=68.

追问1:求出偶数2020对应的有序实数对.

追问2:用含n的代数式表示第n行(n≥2)的最后一个数与第(n-1)行最后一个数的差.

设计意图  一脉相承的研究体系,体现了由特殊到一般的研究思路和由一般到特殊的应用路径. 根据题目给出的图形、数值、数列等已知条件,发现第n行最后一个数的表达式可以转化为主线的解决策略.

3. 图形问题中的变式

变式3  如图3,图①是一个水平摆放的正方体木块,图②和图③是由这样的正方体木块按一定的规律叠放而成的. 其中圖①有1个正方体木块,图②有6个正方体木块,图③有15个正方体木块……按照这样的规律继续叠放下去,图⑥有多少个正方体木块?

解答  图①中,正方体木块的个数为1;

图②中,正方体木块的个数为1+5=6;

图③中,正方体木块的个数为1+5+9=15.

从前3个式子可以得出图⑥中正方体木块的个数为1+5+9+13+17+21=66.

追问:图⑩中有多少个正方体木块?

设计意图  图形问题找规律是数形结合思想方法运用的典范. 一方面,可以从数的发展趋势寻找规律,只要前后两项的差不变,都可以用主线的方法得出一般结论;另一方面,可以从图形的构成特征寻找规律,分解、化归成基本图形并写出变化量与n的对应数量关系,再进一步化简,问题迎刃而解.

4. 实际问题中的变式

变式4  某次联谊会有40人参加. 若40位与会人员彼此握手一次,那么全体与会人员共握手多少次?若用点来表示每个人,连接两点的线段数目表示握手的次数,结合表1中的提示解决问题.

解答  由表1中的规律可知,2位与会人员彼此握手一次,共握手1次,1=0+1;3位与会人员彼此握手一次,共握手3次,3=1+2;4位与会人员彼此握手一次,共握手6次,6=1+2+3;5位与会人员彼此握手一次,共握手10次,10=1+2+3+4. 类比规律,当n位与会人员彼此握手一次时,共握手1+2+…+(n-1)= n(n-1)次. 所以当n=40时, n(n-1)= ×40×39=780.

追问1:所有与会人员彼此握手一次,共握手435次,那么与会人员一共有多少人?

追问2:所有与会人员彼此之间互送贺卡,40位与会人员一共送出贺卡多少张?

设计意图  主线的背景放置到实际问题的变式中,将每个人抽象成点,借助表格将人与人之间的握手问题抽象为点与点之间的连线段问题,实现了从实际问题到数学问题的转化. “追问1”进行思维的逆向变式,“追问2”进行对比变式,学生在情境变式中会再次体验主线规律的运用,能发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养.

(三)集思广益,变中探源

课堂小结环节请学生从知识、方法、经验、疑惑等方面对本节课进行变式梳理.

设计意图  引导学生回顾本节课用于找规律的知识,在“万变之题”中总结解决找规律问题的步骤与方法,归纳出“不变之道”——基本模型,形成解决这类问题的通法经验.

教学反思

本节课抓住高斯求和这条主线,从等式问题中的变式、数阵问题中的变式、图形问题中的变式、实际问题中的变式四个方面展开详述. 随着学生数学知识的增长,还可以探究几何问题中的变式、不等式问题中的变式、函数问题中的变式等,丰富变式背景,从而拓宽学生观察问题的眼界,锻炼学生思考问题的能力,并赋予数学模型不同的表现形式和存在意义. 数学模型好比人的“筋骨”,亘古不变,变换的背景就是“血肉之躯”,二者合一便造就一个个鲜活的“生命”. 因此,二者相互依存,在教學中偏废任何一方都是不可取的.

解题是数学学习绕不开的重要环节,学生要想达到事半功倍的学习效果,教师就要沉下心来钻研教材教法,有目的有层次地精挑细选试题,合理运用变式教学,引导学生抓住“不变”的本质运用“变化”的视角灵活处理问题. 核心素养理念下的数学变式教学,不仅能使学生有效巩固所学知识,强化思想方法,而且能让他们自觉建构不同体系间的横向联系,促进他们应用意识和创新能力的发展.