基于“数学理解层次”的教学路径探索
——以《打电话》教学为例

庄旦丹

《数学课程标准》指出：“综合与实践”是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动。在于培养学生综合运用有关知识与方法解决实际问题，培养问题意识、应用意识和创新意识，积累数学活动经验，提高解决现实问题能力。因此，教师在教学《打电话》一课时，切忌只关注“双基”，更重要的是在综合运用中，让学生积累数学经验，渗透数学思想。

一、巧借东风，开拓全新路径

曹培英教授根据SOLO分类评价法，将数学理解分为“前结构水平”（不能恰当处理）、“单点结构水平”（能提出与学习任务相关的一个方面知识）、“多点结构水平”（能提出与学习任务有关的几个独立方面知识）、“关联结构水平”（能把相关数学知识整合成一个连贯的整体结构）、“拓展抽象水平”（能把整体结构概念化为一个更高的抽象水平）五个层次。这五个层次能很好地显示学生的认知水平，从而指导教师针对性地进行教学设计，这为本课教学提供了全新的路径。

1.SOLO理论，引领前测。

测试对象：某校501班35名同学。

测试方法：问卷+访谈。教师不读题，不提示，学生写完就上交。

测试内容：教师接到一项紧急任务，需要尽快通知7位七彩小义工，如果采用打电话的方式，每分钟通知1个人，怎样通知最省时间？最少需要多长时间才能通知到每一个人？

测试要求：读懂题意，独立思考，先想一想，再写一写或画一画。

测试结果：33名同学用图形、图示、文字、符号等方式进行了解答，有2名同学无从下手。未给出答案或没有考虑到同时打电话可以节省时间的人占28.6%；能考虑到接收到通知的学生可以同时打电话给其他同学占5.7%；能考虑到老师和学生可以同时打电话给其他同学，但仍有空闲占17.1%；能考虑到老师和学生可以同时打电话给其他同学，且没有空闲占48.6%。

2.基于学情，精准施教。

课前调研，目的有二：一方面了解学生的真实想法和学习起点。在前测中发现，前两个水平层次超过了30%，达到SOLO认知水平三即多点结构层次的学生有17.1%，达到SOLO认知水平四即关联结构层次的学生达到了48.6%，第五个水平层次的学生一个也没有。可以看出学生在策略的选择上还是有一定的想法和基础，但在图示表征上却存在着或多或少的缺陷，如表达过于繁琐、图示中缺少时间标注、过程不够清晰等情况，此外还没有达到抽象模型概念化水平。这些都为本节课的教学提供了宝贵的教学资源，也让笔者意识到，将图示表征优化，积累数学经验，这是学生所需求的，也是他们今后学习数学非常重要的一种方法，同时还要通过教学使学生朝着更高的抽象化水平发展。另一方面以前测为素材展示给学生，用以对比、分析，针对性更强，节省了宝贵的课堂教学时间，提高了课堂效率。

二、思维可视，推进系统生长

借助SOLO分类评价理论进行水平层次分析后，笔者以撬动深度学习的杠杆解——思维可视化教学策略为抓手，把原本不可见的思考结构、思考路径、思考方法展现出来，助力“数学理解层次”这一路径系统生长。

1.建构衍生，单一到多元。

要让那些仅凭直觉、思考单一的学生从第一、二阶段上升到多点结构水平的第三阶段，关键是通过思维可视，把抽象知识图像化，把知识结构直观化，从而发现本质属性。

（1）聚焦“共读”，突出个性特征。

我们可以发现前测中最主要的其实只有三种方法，即“7分钟方案”、“4分钟方案”和“3分钟方案”。前测中的这三种情况只是个体的想法，在课堂上教师应该转化为群体的“共读”，让学生明白原理，这样才更有利于经历探索最优化方案的过程。

【片断1】解读三种方案。

图1

图2

图3

师：同学们课前已经解决过了打电话这个问题，老师进行了整理和分类，大致有这么三种方案。你看得懂吗？

生1：图1，老师一个接一个打电话通知学生，通知7位学生共需要7分钟。

生2：图2，第1分钟：老师通知学生一。第2分钟：学生一通知学生二，老师通知学生三。第3分钟，学生三通知学生四，老师通知学生五。第4分钟：学生五通知学生六，老师通知学生七。4分钟内，7位学生都收到通知。

生3：图3，老师在第1分钟通知1个学生，第2分钟老师又去通知一个学生，第1个学生通知又一个学生，第3分钟老师再通知一个学生，刚才的2个学生也去通知（说的时候断断续续，不断地配着手势）……

生4：我被你弄晕了，到底谁打给谁啊？

生3：那我上来指一指，不指还真说不清楚（边说边走上讲台）。

（2）逐步完善，优化表征方法。

从“共读”方案这个环节笔者发现，前两种方案学生解读起来比较轻松，在3分钟方案的解读中遇到了一些困难。其实在前测中，有3分钟画得很完美的学生，但是非常少，更多的是像图3这样有待修正的表征。这正是学生的难点所在，也是本节课很好的切入口。

【片断2】优化“3分钟方案”。

师：看来3分钟的这种方案无论是观察，还是表达都有些困难，请大家动动脑筋，看有什么方法可以让大家一眼就看清楚，每一分钟是打给谁的呢？

生1：我仿照图1，在○内写上数字编号表示学生，这样的图别人易懂。

生2：我借鉴图2，用一、二、三等数字表示学生，用1、2、3等数字表示第几分钟，便于表达。

师：这位同学把刚才前面两种方案中编号的方法用到3分钟方案，使表达更加方便，能够举一反三，真棒。我们再想一想，画图的时候除了编号，还有什么办法能让别人一眼就看清楚每一分钟的变化？怎样改进比较好？

生3：还可以把每一分钟新收到通知的学生放在同一列对齐，这样更加清楚。

师：太棒了，那么就请同学们发挥聪明才智，在练习纸上再画一画，使你的画图更加清楚、更加完美。

学生修改后选取典型作品展示，全班交流。

从学生后期的作品中笔者发现，正是因为有了前面不能方便地“观察”、“表达”这种内需，才能更好地激发学生去质疑、去思考、去完善。让画图从错到对、从粗到细、从模糊到清晰，在不断尝试、反思、分析的过程中，优化表征方法。在画图的过程中初步认识到每分钟新通知的人数就是上一分钟知道消息的总人数，为建立数学模型积累丰富的数学活动经验。

2.关联整合，散点到联法。

从第三阶段到第四阶段，是一个较大的飞跃，关键是通过思维可视，把隐性知识显性化，把解题规律模型化，通过关联整合，从知识层深入到理解层。

（1）分层对比，提炼关键要素。

通过画图表征、说理，理解各种方案内涵，剖析各种方案的设计原理，在对比中明晰最优化方案。在这里，三种方案涉及到两个层次，第一个层次：“7分钟方案”只有教师在逐个通知，其他两个方案都是教师和学生同时通知；第二个层次：3分钟的方案不仅是同时通知，还不空闲。因此就需要将三种方案进行分层对比，在互译的过程中进行进一步体验，形成知识的结构化。

【片断3】对比三类方案，明白“最少”时间的关键。

师：很好，大家对原有的图又有了新的改进，这样可以使我们的思维更加清晰。那么对于这三种方案你有什么想说的？哪种比较费时，其他几种呢？

（1）三类分两类（提炼“同时”）。

师：为什么后两种方案可以节省时间？

生：第一种只有老师在打，后两种是师生共同参与。（板书：同时）

（2）4分变3分，少在哪里（提炼“不空闲”）。

师：后两种方案老师和学生都同时打了，第三种方案为什么会少1分钟呢？少在哪里呢？

生：图2的方案，老师通知4位学生，其中3位学生各通知1位学生，还有学生二没有发挥作用。

生：图3的每一位先收到通知的学生都不空闲。图1的学生都是空闲的，图2在第3分钟内，学生二出现空闲状态。

师：最优的方案是，充分发挥每一位同学的作用，没有人空闲。（板书：不空闲）

师：还有没有比3分钟更少的？为什么？

生：每位同学都发挥了作用，不闲着，所以3分钟最省时。

师：2分钟后收到信息的4个人都在打电话，所以3分钟最省时。那第4分钟又有多少人接到新的通知呢？为什么？第5分钟呢？

生：第4分钟8人接到新通知，前面已经知道的8个人可以同时通知。

师：第9分钟呢？

生：一下子算不过来啊。

（2）归纳推理，理解数学模型。

数学模型的真正建立必须依赖于学生自己的归纳，在教学中，笔者并没有直接问学生发现了什么规律，而是让学生思考“第4分钟新通知了多少人”，让学生再次自觉运用“让知道消息的人都去通知”这个问题的本质去进行解释。然后教师再让学生思考：“9分钟一共通知了多少人？学生从初悟规律的小窃喜，一下就被“卡住”了，这时适时出示表格，引导学生探究奥秘，自然而然地归纳出数学模型。

【片断4】填写表格，探索“打电话”的规律。

师：看来第9分钟同学们遇到了些困难，那么就请同学们带着这个问题填一填表格，看看能不能发现其中的奥秘所在。

时间（分）123456789知道通知总人数248163264128256512知道通知总学生数137153163127255511

学生填写表格（让填完的一个学生板书）。

师：你是怎么想的？

生1：我发现知道通知总人数-1=知道通知总学生数。

生2：我还发现下一分钟接到通知总人数是上一分钟知道通知总人数的两倍。

反馈时教师适时提问：第3分钟的8人怎么来的？学生数呢？第6分钟呢？

生3：第3分钟的8人是第2分钟知道通知的总人数乘2，也就是2×2×2，也就是3个2相乘。

生4：第6分钟知道通知的总人数就是6个2相乘。

师：那你知道n分钟知道通知的总人数吗？

生5：n个2相乘，我在课外书上看到过，就是2的n次方。

生6：知道通知学生的总数就是2的n次方－1。

3.深化突破，直观到抽象。

从关联结构的第四阶段到拓展抽象的第五阶段，关键是通过思维可视，把零散知识系统化，把核心知识发散化，从而让思维的路径更加清晰。

（1）活化资源，丰富表征载体。

利用表格表征，学生能较好地理解模型。但反过来，告知通知的人数求时间，逆向思考是有一定难度的。“打电话”的区间感受比较抽象，仅仅通过表格这种“文字表征”的图示化是不够的。利用数轴，丰富表征载体，将时间和学生数联系起来，更加直观。进度条的设置，也让学生更好地感受到哪怕比每一分钟人数的最大值多1，也应该算在下一分钟。

【片断5】结合数轴，探索区间中“片”数量。

填一填：通知28个小义工，如果老师采用打电话的形式，每分钟通知1人，至少需要（）分钟才能通知到每一个人？如果通知64个小义工，需要（）分钟呢？

生1：通知28个义工需要5分钟，因为4分钟的时候总共也就16个人知道通知。通知64个小义工需要6分钟，表格里可以找到。

生2：第6分钟可以通知第32人~63人，它是有范围的。所以通知28个小义工是5分钟，通知64个小义工不是6分钟，6分钟的64人还得把老师除掉。

师：64个小义工需要几分钟大家有点争议，那我们请数轴来帮帮忙吧。

师：我们知道，老师知道信息后，第1分钟通知了1个人，第2分钟又新通知了2个人……看一看数轴（图4），你有什么发现？

图4

图5

生3：我发现每分钟新知道通知的人数在翻倍。

生4：同一分钟的人数颜色相同，翻倍的正好是前一分钟知道通知的总人数。

师：老师的上面为什么标着0？第2分钟总共有4人知道信息，为什么标3？

生5：因为老师去通知别人的，所以算学生数得把他除去。

师：第5分钟呢？标31还是32？

师：下一次标在哪里？老师用进度条表示，哪里停由你们提醒老师。（图5）

师：64个人是第几分钟？

生6：64个人应该是第7分钟。

（2）挖掘内涵，彰显思维价值。

在数轴的图示表征中，学生已经到达了一个兴奋点。这时就要抓住契机，进一步挖掘“数轴表征”内涵，通过猜想、推理、验证，让“倍增”潜移默化地植入学生心中，推动发展性理解。

【片断6】数形结合，理解倍增。

（1）如果老师采用打电话的形式，每分钟通知1人，30分钟最多大约可以通知（）人？

①1000②100万③10亿

师：通知64个人需要7分钟，猜一猜30分钟可以通知几个人？

生1：我觉得人数很多，可能会有1000人。

生2：下一分钟新收到通知的人数应该是之前的人数乘2，要乘好多个2。所以我觉得数很大，可能会是100万。

师：连续不断地乘2，30分钟要乘几次？（2的30次方）

图6

师：这里有一张工具量表，读一读这个数字。230=1073741824（图6）。

生3：天呐，居然可以通知10亿多人，太难以想象了。

师：我国人口13．9亿，几分钟能都通知到？在2的30次方和2的31次方之间，所以时间是31分钟（图7）。31分钟通知到全中国人，你有什么感觉？

图7

师：那70亿人呢？（倍增）

小结：想想不可思议，实际上是真实规律。

在思维可视化策略的支持下，以形象直观的图示和动态的展示过程，形成特有的教学路径，从而提高数学理解层次，促进学生深度学习，为数学学习积累基本数学活动经验。这就是让学生终身受益的教学路径。