数形结合百般好
——《点阵中的规律》教学实录（一）

洪乔

【教学内容】

北师大版五年级上册第98页。

【教学过程】

一、计算比赛，激趣导入

师：先来做个小调查，咱们班谁计算速度最快？谁动作最快？

（选一位学生速算，再选一位学生用计算器计算，与教师比赛）

师：请看大屏幕中的题，任选其中一题进行比赛。其他同学看清楚了，你们是评委哦！

（比赛结果：教师获胜）

师：想知道获胜的秘诀吗？

生：想。

师：老师把这道计算题转化成了一个正方形点阵，只要用一句乘法口诀就能很快地算出答案，这种学习数学的方法叫做数形结合。（板书）

二、化难为易，获得经验

1.揭示数点数要找规律。（动画依次呈现三角形点阵）

师：我们一起来数一数，这些图形是由几个点组成的？

生：第一个点阵是由1个点，第二个点阵由3个点，第三个点阵由6个点，第四个点阵由10个点，第五个点阵？第六个？第七个？

师：声音怎么不整齐了？怎么回答不出来了？原来咱们还没有发现其中的规律，今天我们就来学习点阵中的规律。（板书）

2.探索点阵内分组找规律的方法。

师：第三个点阵是怎么数的？

生：横着数1+2+3=6。

生：斜着数也是1+2+3=6。

（学生回答的同时，教师用课件的荧光笔涂色，进行分组）

师：我们从上往下观察这些点阵，你有什么发现？

生：从上往下看每个点阵，一层比一层多一个点。

师：我们再从左往右观察每个点阵的算式，你又有什么发现？

生：从左往右看每个算式，后一个加数比前一个加数多一。

师：这些算式都是由点阵得到的，我们一起来说一说吧。

齐说：第一个点阵是1，第二个点阵是1+2，第三个点阵是1+2+3，第四个点阵是1+2+3+4，第五个点阵是1+2+3+4+5，……第N个点阵是1+2+3+……+N。

师：第七个点阵的算式应该从1一直加到几？怎样列式？

生：从1一直加到7，算式是1+2+3+4+5+6+7。

小结：对于这组三角形点阵，我们可以任取一个三角形采用分组的方法来研究，发现点阵中的规律是：一层比一层多一，那么相对应的算式中的规律是：从1开始，后面一个加数比前面一个加数依次多一，是第几个点阵就加到几。

三、自主探究，构建模型

师：请拿出学习卡。这是一组正方形点阵，请同桌两人共同探索规律，写出相应的算式，并说说点阵与算式之间的规律。

（同桌两人运用所学知识，共同探讨规律，教师巡视，手机拍照展示学生的探索结果）

1.横着看，找规律。

师：说说你是怎么找规律的？

生：我是横着看找规律的，第一个点阵是1个1，所以列式1×1；第二个点阵是2个2，所以列式是2×2；第三个点阵是3个3，所以列式是3×3；第四个点阵是4个4，所以列式是4×4。

（课件同步演示：1×1，2×2，3×3，4×4）

师：那么第八个点阵的算式怎样列呢？有多少个点？

生：8×8=64。

师：这个正方形点阵与算式之间有什么联系吗？

生：第一个点阵是1×1，第二个点阵是2×2，第三个点阵是3×3，第四个点阵是4×4……第N个点阵是N×N，第几个点阵算式就是几乘几。

2.斜着看，找规律。

师：还有不同的方法吗？

生：斜着看，找规律，第一个点阵是1，第二个点阵是1+2+1，第三个点阵是1+2+3+2+1，第四个点阵是1+2+3+4+3+2+1。（学生边说教师边同步出示算式）

师：仔细观察第三个点阵，我们把正方形沿对角线分成了两个三角形，就成了我们之前研究的三角形点阵，谁知道正方形的这条对角线的点数对应在算式里的什么数吗？

生：对应算式里的3。

师：谁能说说点阵与算式之间的规律？

生：点阵中的点数依次多一，然后又依次减一。相对应的算式也是依次加一，然后又依次减一。

师：还有不同的发现吗？

生：第二个点阵最大数是2，第三个点阵最大数是3，第四个点阵最大数是4……那么第N个点阵最大加数就是N。

师：谁能说说第五个点阵相对应的算式吗？

生：1+2+3+4+5+4+3+2+1。

3.拐弯看，找规律。

师：这组正方形点阵，你还能列出不一样的分组方法吗？

（展示学生拐弯分的涂色方法，并课件动画出示1个点、3个点、5个点、7个点，最后组成了正方形点阵）

师：你会根据这种分法列出相应的算式吗？

生：第二个算式是1+3，第三个算式是1+3+5，第四个算式是1+3+5+7。

师：你发现算式中各数有什么特点吗？

生：是一组连续奇数的和。

师：再观察点阵与算式之间有什么规律吗？（如果学生发现不了，可以启发：图形被折线分成了几组？所以算式中就有几个数？）

生：第二个点阵被分成了2组，所以算式中有2个数相加。第三个点阵被分成了3组，所以算式中有3个数相加。第四个点阵被分成了4组，所以算式中有4个数相加。

师：第N个点阵，就是从1开始的N个连续奇数相加。

师：刚才我们是在同一个点阵内找规律的。我们还可以与前一个点阵比较来看，还有其他找规律的方法吗？

生：发现第二个点阵比前面一个点阵新增了3个点，所以在前一个点阵的算式后面加3。第三个点阵比前面的点阵新增了5个点，所以在前一个点阵的算式后面加5。第四个点阵比前面一个点阵新增了7个点，所以在前一个点阵的算式后面加7。

师：原来我们横向比较也能发现规律，列出相对应的算式。现在老师要来考考你们了，第五个点阵相对应的算式谁会列？

生：1+3+5+7+9。

四、揭示秘诀，固化新知

1.探索三个算式间的联系。

师：（结合板书）横着看，列式是4×4；斜着看，列式是1+2+3+4+3+2+1；拐弯看，列式是1+3+5+7，结果都是多少？为什么？

生：16，都是同一个点阵。

生：把后两个算式通过移多补少或重新配对可变成4个4。

师：这三种方法中，你最喜欢哪种分法？为什么？

生：第一种，计算最简便。

2.揭示比赛获胜秘诀。

师：这些算式都是同一个正方形点阵，所以在计算时，老师把这些算式都转化成了正方形的第一种分法，直接用乘法口诀4×4=16，就很快算出答案了。你现在知道前面人机大战老师获胜的秘诀了吗？

生：老师都是看算式想是几乘几的点阵，是几乘几的点阵就用几乘几算出结果。

师：大家说一说人机大战中六个算式各是几乘几的点阵？

3.小结。

师：原来数形结合可以这么巧妙地解决数学问题，难怪中国现代“数学之父”华罗庚用他朴素的语言作了一首七言绝句。（课件展示）

五、延伸应用，形成策略

1.我们来看一看这道题：比一比，看谁算得又对又快。

课件出示：

（1）1+2+3+……+20+……+3+2+1

生：都等于20×20=400。

师：看到这样的算式，你能想到什么样的点阵呢？

生：一排20个点，共有20排。

2.请按长方形点阵中的规律填空。

六、联系生活，结课欣赏

1.欣赏图片。

2.请你设计一个点阵，看你的爸爸、妈妈或同学能不能找出你设计的规律？