框架-核心筒结构的多维随机地震反应分析

袁敏森，周江林，肖 兰，阮鑫鑫，刘章军

武汉工程大学土木工程与建筑学院，湖北 武汉430074

近年来，框架-核心筒结构逐渐发展成为高层、超高层主流结构形式之一。高层框架-核心筒结构的抗震性能和抗倒塌设计等越来越受到研究者的重视［1-3］。地震灾害经验及地震相关理论已指明，地面运动在地震发生时表现为由平动分量和转动分量构成的多维运动［4］。由于目前已有的实测记录的地震动转动分量极其有限，且转动分量之间较复杂，因此多数研究一般考虑3个平动分量，即2个水平分量和1个竖向分量。为了使框架-核心筒结构体系的地震破坏最小化，必须考虑地震的多维特性的影响［5］。为此，沈超等［6］采用试验和数值模拟方法分别分析了单向水平和多向地震作用下框架-核心筒结构模型水平方向动力响应的差别。Cheng等［7］采用数值模拟的分析方法，对框架-核心筒结构在多维长周期地震记录下的非线性时程反应和抗震性能进行了研究。然而，上述研究都以实测强震记录作为输入，属于一种确定性方法，未充分考虑到地震动的随机性。

鉴于此，为了进一步探讨地震动的随机性与多维性对框架-核心筒结构的地震反应的影响，本文提出了多维非平稳地震动（三个平动分量）的降维模拟方法，结合时变功率谱模型和多维四段强度调制函数，构造多维非平稳地震动模型，模拟了非平稳地震动的代表性时程；同时，探究了一个33层框架-核心筒结构在不同地震动的输入方式（一维、二维、三维）下的地震反应，验证了本文方法的有效性和工程适用性。

1 多维非平稳地震动过程的降维模拟

同一质点的三维地震动是一个矢量过程，它在3个主轴方向上的地震动分量互不相关且具有最大、中等和最小方差［8］。因此，可以利用一维单变量的非平稳随机过程的模拟方法来分别生成三维地震动的分量过程。为此，假定地震动的3个主轴即为x、y和z坐标轴，其中x、y为水平向，z为竖直向。对于三维地震动的每个分量Uv(t)（v=x，y，z或v=1，2，3）均为零均值的一维、单变量的实值非平稳随机过程，其原始的谱表示为［9］：

式中，Gv(ω，t)为v分量的演变功率谱密度函数，ωn=nΔω；{ }Xn，v，Yn，v为一组标准的正交随机变量，满足如下基本条件［10］：

其中，E[]·为期望符号，δmn为Kronecker记号。

根据随机函数的降维思想［9］，可将Xn，v和Yn，v(n=1，2，…，N;v=1，2，3)均表达为概率分布已知的基本随机变量的正交函数形式。在本文中，采用如下形式的随机函数：

式中，基本随机变量Θ1和Θ2互相独立且在[0，2π)上服从均匀分布。一般地，按式（3）定义的随机变量集需要进行一一映射和后使用，具体步骤见文献［10］。显然，在式（3）中定义的正交随机变量能满足式（2）的基本条件。

从以上推导可以看出，式（3）定义的随机函数形式使得基于正交随机变量的原始谱表示模拟式（1）中的随机变量数量6N减少为2。从而克服Monte Carlo模拟方法需要成千上万个随机变量的局限性，为复杂工程结构的随机动力反应分析和动力可靠度评价提供基础。

2 三维非平稳地震动的实现

2.1 三维非平稳地震动的演变功率谱模型

对于v分量的演变功率谱密度函数，采用式（1）所示形式［11］

式中，fv(t)为v方向地震动分量的强度调制函数；Sv(ω，t)为v方向地震动分量的时变功率谱，采用Clough-Penzien时变功率谱模型［12］：

其中

在式（5）中，谱强度因子S0，v(t)计算如下［12］

式中，Amax表示地震动峰值加速度的均值；rv表示v方向地震动分量的等效峰值因子。

文 献［12］根 据《建 筑 抗 震 设 计 规 范》（GB 50011-2010），给出了场地土参数及a、b的建议取值，表1给出了在场地类别Ⅱ、设计地震分组为第一组以及罕遇地震作用条件下的取值。表1中也给出了Ⅷ度罕遇地震的峰值加速度Amax和场地类别为Ⅱ类第一组的持时T。同时，对于该条件下地震动分量的等效峰值因子rv，为了与文献［14］提出的三维反应谱一致，本文建议取值：rx=2.65，ry=3.31，rz=4.86。

表1时变功率谱模型的参数取值Tab.1 Parameter values of time-varying power spectrum model

对于强度调制函数fv(t)，本文采用李英民等［14］提出的四段连续型强度调制函数模型，该模型能够考虑3个地震动分量的上升速率、平稳持时及衰减快慢的区别，即

式中，t0和t1分别为上升段的起始时刻和终止时刻，t2为下降段的起始时刻，c为下降段衰减指数；T1=t1-t0为上升段的持时，TS=t2-t1为平稳段的持时。表2给出了地震烈度为Ⅷ度、场地类别为Ⅱ时，三维地震动强度调制函数的参数取值［14］。

表2三维地震动强度调制函数的参数取值Tab.2 Parameter values of intensity modulation function for three-dimensional ground motion

2.2 三维非平稳地震动的模拟结果

为了生成非平稳地震动过程的代表性时程集合，需先在区间[0，2π)×[0，2π)上选取基本随机向量的代表性点集。采用数论方法［15］选取nsel=144个代表性点集{ }θ1，l，θ2，l(l=1，2，…，nsel)，其中nsel为代表性点的数量。同时，计算每个代表性点的赋得概率Pl，且满足结合前述模型和参数，生成了144个多维非平稳地震动加速度的代表性时程。图1给出了各分量地震动的一个代表性样本。可见，各分量的样本在振幅和频率非平稳性、强度峰值到达时刻和持续时间上有显著差异。图2示出了各分量样本集的统计量（均值和标准差）与其目标值的比较。可以看出，生成的地震动样本过程的统计量与目标值非常接近，验证了降维方法的有效性。

图1三维地震动代表性时程Fig.1 Representative time history of three dimensional ground motion

图2各分量的统计量与其目标值的比较：（a）均值，（b）标准差Fig.2 Comparison between statistics of each component and its target value：（a）mean，（b）standard deviation

3 框架-核心筒结构随机地震反应分析

图3结构平面图（单位：mm）Fig.3 Layout of structure（unit：mm）

该工程为某高层办公楼，采用型钢混凝土框架-钢筋混凝土核心筒结构体系，建筑层数共33层，结构高度为99.6 m，首层层高为3.6 m，2～33层层高为3 m，结构平面图如图3所示。本工程所在地区的抗震设防烈度为Ⅷ度，设计基本地震加速度值为0.2g，其设计地震分组是第一组，场地类别为Ⅱ类，其场地设计特征周期为0.35 s。本工程采用建筑材料HRB400钢筋，Q345等级型钢；楼板、框架梁、剪力墙和型钢混凝土柱均采用C40等级混凝土；框架梁尺寸均为350 mm×750 mm，楼板厚度为150 mm，型钢混凝土柱和剪力墙的尺寸见表3。利用Midas Building软件建立了该结构的有限元模型，其中，竖向荷载考虑恒荷载、活荷载和自重，水平作用仅考虑地震作用。梁柱采用具有非线性铰特性的梁柱单元，滞回模型采用修正武田三折线模型，剪力墙采用非线性墙单元。假定结构底部与基础刚性连接。

表3型钢混凝土柱和剪力墙的尺寸Tab.3 Sizes of steel reinforced concrete columns and shear walls mm

为了研究多维地震动对框架-核心筒结构的影响，分别进行了一维、二维和三维工况输入，即水平x向、水平x和y向、x和y与z向。在各工况下，对结构的层间位移角、层剪力、框架柱轴力与剪力墙轴力进行了分析。图4（a-d）分别给出了在一维、二维和三维地震作用下框架核心筒结构的x方向层间位移角、x方向层剪力、轴线②与轴线A相交处的柱轴压力和轴线②处的剪力墙轴压力最大值的均值随楼层的变化曲线。

图4各层反应最大值的均值：（a）层间位移角，（b）层剪力，（c）框架柱轴力，（d）剪力墙轴力Fig.4 Mean of maximum response of each storey：（a）inter-storey displacement angle，（b）storey shear，（c）axial pressure of frame column，（d）axial pressure of shear wall

由图4（a）可知，3种工况的层间位移角均为中上部较大，多维地震作用下的层间位移角显著大于单向地震作用的层间位移角，二维与三维地震作用下的层间位移角几乎重合。这表明，考虑双向水平地震作用时最大层间位移角显著变大，竖向地震作用对最大层间位移角影响不大。由图4（b）可知，多维地震作用下的层剪力略小于一维地震作用下的，二维和三维地震作用下的层剪力几乎一致。由图4（c）可知，相比于一维地震作用下的柱轴力，多维地震作用下的柱轴力显著增大，且增幅随着楼层的增加而变大，变化范围为36.2%～67.7%，竖向地震对柱轴力影响不可忽略，尤其是上柱。由图4（d）可知，相比于一维地震作用下的剪力墙轴力，多维地震作用下的剪力墙轴力在结构中下部（20层以下）有所减小，在结构上部（21层以上）呈现出增大趋势。三维与二维相比剪力墙轴力反应更大。

4 结论

基于多维地震动主轴方向的分量不相关的考虑，本文建议了一类多维非平稳地震动的模拟方法，生成了多维地震动加速度过程的代表性时程集合。同时，以此时程作为输入，分析了一个33层框架-核心筒结构在不同地震动的输入方式（一维、二维、三维）下的地震反应，得出以下结论：

1）通过采用随机函数的降维思想，仅需2个基本随机变量即可模拟多维非平稳地震动过程，同时生成的时程具有赋得概率且构成完备的概率集，能够与概率密度理论相结合，为复杂工程结构的多维地震反应分析与可靠度评价奠定基础。

2）在罕遇多维地震激励下，框架-核心筒结构的最大层间位移角显著变大、最大层剪力略微变小、最大柱轴压力明显变大、最大剪力墙轴压力下部减小而上部变大。竖向地震作用对最大层间位移角和层剪力的影响不大，对最大柱轴压力和剪力墙轴压力均为增大作用。