球面距离的向量求解方法及应用

山东省青岛第二中学分校 杨庆忠

在计算球面上两点间的球面距离时，一般的方法是先求出以这两点为端点的弦长，再求出该弦在大圆中所对圆心角的大小，从而求出这两点间的球面距离。而当球面上两点的经纬度各不相同时，用常规的方法求这两点为端点的弦长是比较麻烦的，而用向量求解就显得比较简洁了。

例如：求球面上两点A(经度为β，纬度为α)，B(经度为β，纬度为α)的球面距离（经度中：东经记为“+”，西经记为“-”；纬度中：北纬记为“+”，南纬记为“-”；球半径记为R）。

所以球面上两点A、B的球面距离为：R×∠AOB的弧度数。

这种方法避免了立体几何方面的线面关系的判断，简单易用，在教学中收到了良好的效果。从结论来看，数学的“对称美”“简洁美”在结论中也有充分的体现。

当然，对于简单类型（如同纬度或同经度的问题），还是直接求解更方便一些。

应用实例：假如你要乘坐从广州直飞洛杉矶的飞机，设想一下，它需要沿着怎样的航线飞行呢？如果知道两地的经纬度，据此你能计算出航程吗？

解析：经查，广州A的经纬度为：东经113°，北纬23°；洛杉矶B的经纬度为：西经118°，北纬34°。地球半径R≈6370 km，球心记为O，如上图，

α1=23°，α2=34°，β1=113°，β2=-118°，

∴cos∠AOB=sinα1sinα2+cosα1cosα2cos（β1-β2）

=sin 23°sin 34°+cos 23°cos 34°cos 231°

≈-0.26176115250823。

∴∠AOB≈1.835弧度，

∴A，B的球面距离≈1.835R≈1.835×6370=11689 km。

答：广州白云机场到洛杉矶飞行距离约为11689 km。