践行“三个理解”的教学智慧

曹海霞

[摘  要] 文章以“有理数与无理数”为载体，以“三个理解”为主线设计教学过程，并结合笔者自身的教学经验，强调在教学中践行“三个理解”应做到以下三点：认真贯彻理解数学，确立合适的教学目标;努力做到理解学生，设计合理的探究途径;真正执行理解教学，设计真实、合情的情境，实现师生深层次对话.

[关键词] 三个理解;理解数学;理解学生;理解教学;课堂教学;无理数

章建跃教授所指的“三个理解”，包含理解数学、理解学生、理解教学，是提高课堂教学有效性的根本保证，是将数学冰冷的美丽演绎成火热的美丽的前提条件，也是课改大潮中数学教师“以不变应万变”的真正法宝. 因而，从“三个理解”的角度设计课堂教学是十分必要的. 在此思想的指导下，笔者近期设计并讲授了“有理数与无理数”一课，感触良多，现就无理数的概念探究部分与大家一起探讨.

课堂实录

1. 提出问题

问题1：如图1，如何将这两个面积都是1的小正方形拼成一个面积较大的正方形？

教室里气氛异常活跃，学生在动手操作后，有了以下成果展示.

生1：可拼成图2.

生2：还可拼成图3.

生3：还可拼成图4.

师：那你们拼出的图形是正方形吗？

生4：根据正方形定义的描述，再结合全等三角形的知识，可以得出图2、图3、图4都是正方形.

设计说明：此处将概念的背景展现出来，自然产生新概念，有力推进探究活动，同时，通过操作探究，培养了学生的动手操作能力和发散性思维，以及学生的探究意识，提升了数学核心素养，这也是教学的一大亮点.

2. 深入探究

问题2：那拼出来的大正方形的边长又是多少？为什么？

生5：由于大正方形的面积是2，设边长为a，则a2=2.

问题3：a到底有多大？

生6：比1大，比2小.

师：如何得出的？

生7：当a=1时，S=1;当a=2时，S=4. 而S=2，所以a在1和2之间.

师：非常精彩的思路，那是否可以做出更加精确的估计呢？（学生展开讨论，但依然无果）

师：那我们一起来算一算，当a=1.4和a=1.5时S的值，可以得出什么结论？

生8：因为1.42=1.96，1.52=2.25，所以1.4

师：那是否可以精确到小数点后的两位、三位、四位呢？（学生利用计算器展开探索，并得出如表1所示的探究过程）

问题4：还可以继续探究吗？

生：可以.

师：a是有限小数吗？（学生继续思考）

生9：经过观察，我认为a好像是有限小数. （其他学生表示不一定）

师：那a到底是什么样的小数？刚才我们已经知道了有理数的概念，知道了有理数都能表示成（m、n为整数，且n≠0）的形式，下面的数都是有理数，我们不妨把下面这些数表示成小数形式：3，，，，. （学生经过计算，得出3=3.0，=0.8，=0.55555……，=0.177777……，=0.1818181818……）

师：判断一下上面这些数是什么小数？

生10：3，是有限小数，，，是无限循环小数.

问题5：由此你认为有理数是什么样的小数？

生11：有理数可以用有限小数或无限循环小数表示，反之，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.

师：那a2=2中a是什么小数？（学生犹豫了一下，之后有学生很快给出答案“无限不循环小数”）

3. 形成概念

师：无限不循环小数即为无理数. 除了刚才探究的a，如0.010010001……和圆周率π=3.14159265……同样也是无限不循环小数，它们均为无理数.

生12：为什么是无限不循环小数呢？

师：目前我们所学的知识还没有办法进行证明，但是老师可以先给大家讲个故事. 毕达哥拉斯是古希臘伟大的数学家，他证明了许多重要的定理. 公元前500年，毕达哥拉斯学派的一位弟子希帕索斯发现了一个惊人的事实，如果正方形的边长为1，则对角线的长度不是一个有理数，这与毕达哥拉斯学派“万物皆为数”（有理数）的哲理大相径庭. 希帕索斯的发现首次揭示了有理数系的缺陷，引发了数学史上的第一次数学危机，希帕索斯也因此被沉入大海. 1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机. （观看视频：无理数的由来）

设计说明 通过本环节的探究，以教师的引导为源泉，在师生合作和生生交流的过程中，依据有理数与无理数的对比，使得学生对无理数的理解逐步深入，从而真正意义上感知到数域的扩充，为无理数概念的形成奠定坚实的基础. 同时，通过视频让学生了解数学发展史，感受数学发展历程中所经历的波折.

教学感悟

1. 认真贯彻理解数学，确立合适的教学目标

理解数学，自然是从理解教材谈起，正确理解编者的意图，掌握教材的编排体系，了解学生认知结构与教材的关联等，从而确立合适的教学目标[1].

本节课是有理数与无理数的概念教学，引导学生了解数域的扩充，是研究有理数的运算、二次根式、实数等知识的基础. 本课的教学难点是“用有理数估计一个无理数的大致范围”，体验“无限不循环小数”的含义，对于“有多大”这个问题，是学生十分关注的具有挑战性的问题，需要教师引起足够重视. 对于无理数这一概念，我们不能期望通过一节课就使学生形成深刻的认识，在后面相关知识的学习中，学生对无理数的了解将会越来越深刻. 本节课我们要立足于重难点进行有效的教学设计，让学生学有所得.

2. 努力做到理解学生，设计合理的探究途径

理解学生，就需要充分关注具体学情，了解学生的认知特点、知识基础和学习方式等. 只有明晰这些问题，才能真正在教学的过程中做到有的放矢，进而发挥学生在课堂教学中的主体地位. 教师需要理解新知与学生已有知识经验间的联系，需要理解新知与学生已有认知结构之间的距离，从而设计出合理而有效的探究途径. 授课前，笔者自然对本班的学生做了充分的了解. 为了充分调动学生的学习积极性，教师多次鼓励小组合作探究，激活学生的探究意识，以低起点、小跨度、高立意的问题引发学生的深度思考和探究[2].

很多时候，一些教师追求教学内容的完整性，却忽视了学生的需求，这是不正确的. 面对学生的质疑和困惑时，教师更需要有所作为，牢牢把握教学活动中产生的闪光点，适时引导，从而使课堂教学变得更灵动. 本课中，针对“a是什么数”，教师引导学生通过计算器计算出结果的方法进行推导还是不够谨慎，从而使得后面学生产生困惑“为什么a是无限不循环小数”. 这里需要利用分式的性質，用反证法来证明，但无论是分式还是反证法，学生都还没有学习过，所以无法从根本上解决这一问题. 笔者经过思考，课前预设到了学生对无理数a的认知可能会出现困难，因此设计了教学视频，将无理数的故事讲给学生听，让他们了解数学的发展史，初步感知无理数与有理数本质上的区别，进而解决认知上的困惑.

因此，我们不仅需要理解教材中所呈现的数学知识，还需把握学生在习得概念时出现的困惑，并及时引导，让新知的学习留下思维的烙印，从而实现数学素养的发展[3].

3. 真正执行理解教学，设计真实、合情的情境

理解教学，就是从教学规律出发，选择适当的教学组织方式，及时调控教学过程，使学生在问题解决的过程中思维变得流畅，获得较好的活动体验，培养思维能力. 当然，数学教学的过程就是数学探究的过程，而设计真实、合情的问题情境是探究和学习的前提. 本节课的教学中，教师以“正方形的问题”导入，学生经过操作和思考给出了图2、图3、图4，呈现了数学探究的过程. 而新的问题又出现了：图2、图3、图4是正方形吗？教师在这里自然地抛出这个问题，合理展示了无理数的探究背景，从而使得本课的知识结构得以自然发展，使得探究活动有力推进，进而引领学生学会有条理地思考.

总之，对于数学课而言，理解数学，自然是从理解教材谈起，确立合适的教学目标;理解学生，就需要充分关注具体学情，设计合理而有效的探究途径;理解教学，就是从教学规律出发，设计真实、合情的情境，从而指引学生走向知识的数学本质，发展学生的数学素养.

参考文献：

[1] 徐淮源. 基于教材理解下的高中数学概念教学设计——以“三角函数的周期性”为例[J]. 教育研究与评论（中学教育教学），2010（02）.

[2] 袁永春. 注重知识形成过程的初中数学教学案例研究[J]. 中学数学，2019（02）.

[3] 夏炳文. 强化“三个理解” 打造活力课堂——以一节试卷讲评课为例[J]. 中国数学教育，2016（10）.