基于SOLO分类法谈初中数学复习课教学

范强华

[摘  要] 复习课教学是初中数学教学的重要组成部分. 复习课教学立足于完善和优化学生的数学知识结构，进一步提升学生的认知水平，发展学生的数学思维，提高学生数学核心素养. 文章基于SOLO分类理论，探究初中数学复习课教学的有效策略.

[关键词] SOLO分类理论;初中数学;复习课教学;思维导图

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生数学思考，鼓励学生的创造性思维;要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法[1]. 面对“课标”的要求，进行复习课教学的教师却有很多新的体会，一不小心就会把复习课上成简单的知识重复、習题开会. 另一方面，学生对复习课的兴致也不高，平时掌握得好的学生觉得索然无味，平时掌握得不扎实的学生觉得不如用这个时间去刷一张试卷.

初中数学复习课教学的现状分析

1. 重视知识结构，忽视认知结构

教师在复习课上往往会帮助学生完善知识结构上的浓墨重笔，而对于知识的内在关联性以及知识形成、发展过程中的逻辑关系等认知教学安排较少，导致学生在遇到具体问题时不会思考或不能及时有效地分析，形成了“老师讲的都懂，拿到题目就是不会”的怪异局面.

2. 强调解题技巧，缺少思维培养

解题教学是复习课的重要环节. 由于初中数学知识的基础性、中考兼顾升学与毕业两项功能，所以部分教师采用题海战术是可以提高一定分数的. 但学习是长久的事，分数的提高并不意味着数学思维的提升，只有数学思维的发展才能引领学生真正的进步，才有利于学生下一阶段的学习.

3. 学生被动学习，课堂缺少生成

大多关于复习的公开课上教师教学环节流畅，学生基本能完成练习，教学各项任务顺利完成，一切尽在掌握. 但这样的课堂真的都有效吗？尽在掌握说明学生尽在教师设定的框架内，没有突破，所以教学只是预设，学习缺少生成. 学生处于被动学习之中，增加的是做题的速度与准确率，数学素养没有真正提升. 教师教的只是预设，熟悉的是剧本，缺失思维碰撞的火花，教学相长并没真正发生.

SOLO分类理论

1. SOLO分类理论简介

SOLO分类理论的基本思想源自瑞士著名儿童心理学家皮亚杰（Jean Piaget，1896—1980）的认知发展阶段理论. 皮亚杰把人的认知发展分为感知运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶段四个阶段[2]. 皮亚杰认为儿童的出生成长过程中思维认知的发展是具有阶段性的，不同年龄阶段的儿童在认知水平上有本质的差别，即当儿童发展到高层次的思维方式水平就会改变低层次的思维方式而改用高层次的思维方式. 就数学来说，情况和这不完全一致，学生往往是在新的思维方式出现后，旧的思维方式仍然存在. 此外，儿童的心理发展在不同的学科中有不同水平的表现，如在数学学科中，学生可能处于形式运算阶段，而在物理学科中却仍然停留在中级具体运算阶段. 即使同一学科的不同知识模块上也有不同水平的表现，儿童的心理发展也具有反复性. 例如，一名儿童的代数水平已经到达形式运算阶段，但经过一段时间后，又会倒退到具体运算阶段等. 为了弥补皮亚杰的“发生认识论”上存在的问题，1982年澳大利亚学者比格斯（Biggs）和柯林斯（Collis）在《评价学习的质量》一书中提出SOLO分类法（Structure of the Observed Learning Outcome），详见表1[3].

2. SOLO分类理论的应用

20世纪90年代，比格斯和柯林斯分别在澳大利亚和我国香港地区，对多个中小学学科同时做了大量的应用研究. 柯林斯在数学学科开展了基于SOLO分类理论的教学实践，用SOLO分类理论设计学习任务，研究发现该理论有助教师对学生进行个性化诊断教学和分层级教学，学生的数学能力和思维能力得到了更好的发展和提升[4]. 冯翠典及高凌飚认为SOLO分类法是一种理论，而不仅是简单的试题编制的工具，未来研究的重点可以放在讨论学生在不同年级的认知发展状况上，以及同一年级中对不同课程内容的认知要求上[5].

初中数学复习课教学探究

1. 巧用思维导图，完善知识结构与认知结构

（1）为什么用思维导图？

首先，学情需要. 在复习课开始之前，对于要复习的知识大部分学生在知识结构上可能只是一些孤立或碎片化的点，这主要源于两方面原因：新授课时学生本身的知识结构就没有构建完善;时间的推移或新知的学习对旧知的后摄抑制. 这时，学生的认知水平主要处于SOLO分类法中的单一结构水平或多元结构水平，缺乏关联整合. 例如，学生对于实数的记忆，可能只有自然数、整数、负数、有理数、实数等形成一个个节点，以及几个相关的题目.

其次，认知需要. 布鲁纳指出获得的知识如果没有完美的结构把它联在一起，那是一种多半会被遗忘的知识. 一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命[6]. 对某个数学知识的理解并不是基于该知识本身的，而是通过其他相关的知识来实现理解的. 如果与该知识有关的认知结构越完善，那么对于该知识的理解就越好. 数学认知结构具有动态性，数学学习的过程也就是数学认知结构不断发展的过程.

再次，数学思维方式需要. 当学生进行数学思考时，他们就是对短时记忆中的某个或某些数学对象进行操作，而操作的方式就是数学思维方式. 克鲁捷斯基（Krutetskii）在研究的基础上，根据学生如何处理数学信息，将个体分成三类即语言表达型、视觉型和综合型[7]. 法国数学家阿达玛的研究表明绝大多数数学家的数学心理表现都是视觉表象[8].

综上，思维导图是图形中包含语言的操作符合学生的数学认知结构构建规律，可以有效关联学生知识结构中孤立、碎片的节点，学生在构造思维导图的过程中需要整合信息，抽象、归纳出一般化的规律和原理，能够拓展知识本身的意义，每张思维导图都具有一定的创新意识. 这正是SOLO分类法关联结构水平和拓展抽象结构水平的学习，即常说的深层学习水平.

（2）如何用思维导图？

第一，学生提前自主完成构图. 在复习课之前自主完成构图，这是学生借助认知结构自主构建、优化知识结构的过程，也是一个创造的过程. 过程中学生把自己在大脑中所知所思的东西提取出来再整合关联，最终以图文形式展现出来，需给足学生时间，课下提前准备最好.

第二，教师要跟踪反馈. 每份思维导图就是每位学生知识结构和认知结构的可视化，是教师掌握学情的最好素材，教师能明确学生当前认知处于SOLO分类法中的哪类水平，潜在水平又是什么. 不正确或不完善的知识结构和认知结构都会影响新知识的理解，教师跟踪反馈有助学生避免或减少此类情况的发生.

2. 因果互执，多重表征分析典例

解题是数学学习的基本活动，具有重要的教学价值，解题教学也是数学复习课教学的重要环节. 解题的本质是运用一定的、已知的数学方法在认知结构的条件和结论之间建立联系. 当然，要建立这样的联系未必是容易的，这属于SOLO分类法中后两种水平.

（1）因果互执.

由结论执果索因和由条件执因索果是解题时常用的两种剖析方法，由此演化出分析法和综合法两种常见解答格式. 若是学生做题，任选其一即可，但教师品题建议二者皆用，因果互执. 执因索果，由条件出发分析可能得出的结论，会构建丰富的执因索果关联结构体系，同理构建执果索因关联结构体系. 两大体系的公共线路便是在条件和结论之间建立联系，公共线路的多少对应本题解法种类，多条公共线路中的公共路段便是本题求解的关键步骤或一般规律、通法所在. 两大体系中通过公共线路的其他路径便是变式、拓展提升的来源.

（2）多重表征.

前文提到学生的数学认知方式分为语言表达型、视觉型和综合型三类，所以学生对于数学对象表征的理解也对应为三种. 用单个的数学表征往往又无法完整地刻画所要表示的数学对象，对于不是这种思维方式的学生更是灾难性的，所以导致学生听不懂的极端情况的出现，这主要是学生对这种表征方式不能识别. 例如，对于函数概念的教学就易出现这种情况，有的学生对于文字语言完全没反应，大脑一片空白，在讲解表格、图像、解析式表征之后，学生的理解就会好很多. 因而，在数学教学中，能够用多重表征来刻画数学对象是非常重要的，多一重表征，多一批优秀的学生. 这里所谓的多重表征就是用多种形式的表示来刻画某个数学对象. 多重表征的作用就是使得学生能够多方面、多角度地理解某个对象，单个的表征能够刻画数学对象的某个方面，而多重的表征就能够相当完整地刻画该对象. 这个过程中相当于学生对同一数学对象采取不同的认知方式而构建了不同的知识结构，完善的知识结构就会增加与已有知识结构的关联和整合，从而把新知纳入个人更大的数学知识结构体系之中. 解题时就会有多条线路来提取、操作该数学对象，从而解决问题，提取的线路越多解法就越多，其实根子还是数学对象的多重表征.

3. 体验教学，深层自学

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系;要重视直观，处理好直观与抽象的关系;要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系. 教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程[1].

物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）偶然发现了一个简单的学习方法，能更深刻地理解正在学习的知识. 这种方法叫作“费曼技巧”，主要包括如下几步：第一步，查漏. 拿出一个笔记本，把你正在学习的知识列在上面，然后开始从头到尾地解释它们，好像你正在教授一个小孩子. 第二步，补缺. 在讲解过程中，你已经找到了自身知识体系中的缺陷，专门弥补这些不足，重新找到答案，然后重复步骤一. 如此反复这样做，直到能顺利完成步骤一;第三步，组织与简化. 现在应该构建一个完整清晰的知识体系，甚至能让几岁的小孩来理解它，尝试把它简单化，然后大声朗读出来——这将帮助你发现任何不确定、不可靠的地方. 第四步，传授. 把知识传授给别人，能不能教好别人，这是对知识理解的终极考验[9].

基于以上两个方面，复习课教学建议大胆设计学生体验教学的环节，一个个小老师真正教的不是别人，而正是他自己. 学生在准备这个环节时就是“费曼技巧”大显身手之时，体验教学环节中学生是学习的主体，最大化调动其学习的积极性，会整合内容相关的信息，运用数学思维在大脑中对数学对象进行反复关联、抽象、表征、操作，实现真正的深度学习，而且还是自主建构式，主动提升他们的数学核心素养.

小结、反思与展望

总之，数学理解是数学复习课教学的核心，在理解的基础之上构建数学知识体系和认知体系才是有意义的，才能进一步提升学生的数学核心素养. 数学理解是数学思维方式对数学对象操作的结果，借助SOLO分类理论可以判断学生的认知水平层次，从而有针对性地设计教学. 同时，SOLO分类理论也指明了学生认知的潜在水平是什么，目标水平如何，让教学目标更加明确、可操作. 当然，本文主要还只是基于笔者个人实践基础之上的理论分析，还需要大量实践来进一步检验和完善，企盼各位专家学者进一步的批评与指正.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]皮亚杰. 皮亚杰教育著选[M]. 卢濬选译. 北京：人民教育出版社，2015.

[3]杨碧君，王迪. 从知识评价走向能力评价——SOLO分类评价法在学生数学能力评价中的应用[J]. 课程与教学，2015（08）.

[4]Biggs J B，Colis K F.Multimodal learning and the quality of intelligent behavior In H.Rowe（ED.），Intelligence： Reconceptualization and Measurement[M]. New Jersey：Laurence Erlbaum Associates. 1991.

[5]冯翠典，高凌飚. 现状与反思：SOLO分类法国内应用研究十年[J]. 教育测量与评价，2009（11）.

[6]布魯纳. 教育过程[M]. 邵瑞珍译. 北京：文化教育出版社，1982.

[7]克鲁捷茨基. 中小学生数学能力心理学[M]. 赵裕春等译. 北京：教育科学出版社，1984.

[8]赵元中. 注重表象  促进生成[J]. 广西教育，2005（31）.

[9]刘晨，李姝佳. 费曼学习技巧及其在教育教学中的应用探讨[J]. 教育现代化，2019（86）.