基于数学经验课堂背景下深度学习的评价
——兼评《钉子板上的多边形》一课教学

文|杨国华（特级教师）

数学经验课堂的“学法五动”特质，我曾在本刊2020年第9 期中翔实介绍过，它旨在引导教师关注学生在数学学习中的动手操作、动眼观察、动脑思考、动口说理与动耳倾听。这样的引领要求，无疑使一线教师能真正让学生经历知识的发生、发展过程，引发学生深度学习。就数学学科深度学习而言，总体来说，其过程能够让学生掌握数学学习的内容，培养批判性思维，以及解决复杂问题、合作和有效沟通的能力，真正发展学生的自主学习与探究的能力，即学会如何去学习。故此，我们在江苏省第十三期（2019年度）教研课题“基于‘数学经验课堂’背景下深度学习的教学实践研究”的研究引领下，对深度学习的评价进行了专项研讨，现结合课例谈谈我们的实践思考。

一、立德树人是应有要义

数学课堂如何做到立德树人呢？事实上，在我们研究的视域内，立德树人一直是关注重点。通过数学课的学习，要让学生树立一种实事求是的科学探究精神、不畏艰难的品质，并适时进行爱国主义教育。在课例（二）中，王老师结合《钉子板上的多边形》这一学习内容，巧妙将建党一百周年的相关内容镶嵌在引课环节中，不仅增添了学生对数学探究的浓厚兴趣，在视觉上让学生享受到了数学的图形美，学生更是在教师语言的描述中油然而生爱国之情。我们知道，没有大胆的猜测就没有伟大的发现，但我们也应该明白仅有猜测而没有坚忍不拔的探究精神可能也就是一种空想。孙老师的课堂中，当学生猜想钉子板上的多边形面积可能与边上的钉子数、形内的钉子数都有关系时，学生的思维闸门完全被打开，他们想到复杂的问题一般要从简单问题想起，即从形内有1 枚钉子研究起……就在这样的一种互动研究过程中，学生学会了合作、学会了多角度思考问题解决的方法，更养成了问题不解决绝对不罢休的可贵品质。

两节课中，教师与学生、学生与学生之间均是在平等对话中不断将思维推向深入的，而这样的一种民主氛围正是培养学生具有大胸怀、大视野、大格局的最佳举措。没有课堂的民主，就没有社会的民主；没有家国情怀的培育之意识，我们的下一代何以担当中华民族的脊梁，我想这确确实实应当成为全体数学教师将之作为立德树人的共识。

二、参与程度是重要指征

教材安排《钉子板上的多边形》这一探究实践活动，价值远不是得出规律，更重在规律探索过程与方法的经历和习得，激活探究活动经验，积累问题解决经验，提升思维活动经验。引导学生完整经历“观察分析—提出猜想—举例验证—得出结论”的过程，让出合作分享的平台，让出质疑问难的空间，让出独立思考的机会，让出探索学习的过程，让出相互评价的权利。数学经验课堂背景下的深度学习，教师更应关注学生在学习过程中的参与程度，我们要评价学生有没有真正参与到数学学习的过程中。

首先，学生应有参与小组合作学习、自主探究的机会。教师要给予学生足够的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的过程。课例（一）中，当孙老师与学生共同讨论出一般的研究方向后，教师以作业探究纸的引导方式，让学生在小组内尝试探究，形成结构、运用结构、巧用推理并逐步得出一般性的结论。王老师的课堂亦是运用《学习单》的形式，让学生在组内合作、比较归纳，让思维不断从无序到有序、从模糊到清晰。尤其是“分组合作，拓展规律”时，学生进行自我分工，自主提供探究的思路……这些过程，无疑都是让学生真正经历自主探究的过程，尽管学生的探究过程并不是十分顺畅，但我们认为这就是一种真实的思维发展经历、可看得见的学生成长过程。

其次，深度学习的课堂，我们要求有90%以上的学生能在课堂中有表达自己想法和见解的机会。在两位教师的课堂教学实践中，我们能清晰感受到师生、生生之间的一种“谈话式”交流入脑入心，学生的思维在交流中不断被打开，似一股清泉静静流淌在教学时空的每一个节点。如孙老师在引导学生发现规律时，通过启发性谈话，学生的思路逐步厘清：边上的钉子数相等，面积不一定相等；形内的钉子数相等，面积也不一定相等，进而激发了学生进一步的探究欲。我们知道，学生能将自己的内部思维用语言清晰表达时，其实他的思维层次已经在提升。

最后，深度学习的课堂还应该将“讲台”让给学生，即要让学生有到台前表达自己思路（思考）的机会。教育的最终目的是将自然人培养成社会人，这其中能够在众人面前自信而大方表达自己的思想与见解，是教育过程中评价“经验课堂·深度学习”的重要指标。在数学课堂中，教师已树立了强烈的意识并付诸行动：每一节课，教师都会将“讲台”让给学生，请他们到台前来讲解自己的思路、见解或困惑等。可能有人会说，学生站在座位上回答问题与到台前来讲述自己的思路有区别吗？这一点，各位应当形成共识：学生到讲台前来表述自己的思考过程，不仅是回答问题，更多的还有胆识、气度的培养，即育人的思考。就提供的两节课例而言，我们在施教过程中反复看到有学生到台前落落大方表达自己思维。简而言之，让学生在他人尤其是在众人面前能够大胆且有逻辑的表达，亦应成为数学教育所追求的目标。

三、批判性思维是必然追求

所谓批判性思维就是在数学学习的过程中让学生学会批判性、分析性和创造性地思考。学生知道如何寻找、评估和综合信息来构建数学观点（或论点），为复杂问题设计自己的解决方案。通俗地说，在数学教学过程中要逐渐提高学生的元认知水平，让学生的创新意识与创新思维不断得到提升。数学学习过程中，我们要不断让学生养成“能反思知识获得与问题解决路径的优劣”“能反思支撑问题解决的数学知识、思想与模型是什么？”“能对自己在数学学习中的优势和需要改进的地方进行反思”等。

探究钉子板上多边形的面积的过程其实是一个较为复杂的过程，在两节课例中，学生在教师的引导下都不约而同想到“难的问题不能解决”时，可以从“简单的问题”想起，即化繁为简的思想。从这个角度进行评价，学生已经学会结构化思考相关问题，从形内没有钉子与形内有钉子，进而从形内钉子数较少的开始探究起。这样的一种结构化思考方式对于学生来说并非一次之功，而是经验不断积累提升并继而成为学生的一种内在思维方式。前面我们已经说过，学生探究钉子板上多边形的面积的过程并不是一帆风顺的，而是在探究的过程中不断修正自己的思考并逐步优化。两节课例中，当学生在探究形内多枚钉子时，均采用了让学生进行类比推理的方式教学，这其实在某种程度上也是让学生学会优化自己的思维，在数学学习过程中很多时候并不能穷其尽，它需要经历类比推理、不完全归纳的过程。为了发展学生的批判性思维，让学生在多种学习资源的比较中学会辨析，逐渐优化思维是又一种教学方式。在课例（二）的“推动内驱，完善规律”环节，王老师将学生研究的所有资源一起展现在媒体上，学生在形内钉子数不同情况资源的比较后，于不同规律的背后发现了规律的共性，当钉子板内部有a 枚钉子时，可以用S=n÷2+a-1 这样的字母通式来表达规律。事实上，我们在平时的教学中特别关注学生学习资源的收集，如将学生探究资源进行适当分类，将同质与异质资源结构化呈现，学生就更能在资源的展示、比较中自主完善思维。

学会反思是批判性思维的重要表征方式之一。在课例（一）中，孙老师在教学行将结束时，特地设置了一个自我反思、自主评价的教学流程。学生就在这样的元认知过程中思维得到不断完善，更认识到该如何有效地参与数学学习的过程。

总之，两节课例从深度学习的视角进行评价，学生均已理解并掌握了求钉子板上多边形面积的一般方法。在探究的过程中，遇到的问题对于学生来说尽管是复杂的，但在教师的有效引导下，学生通过合作、交流，彼此之间的思维碰撞是深刻的，学生自主探究与学习的能力明显提升。