数形结合思想在初中数学教学中的应用

纪华香

（山东省威海市环翠区第十中学 山东威海 264200）

素质教育的出发点是让学生更全面、和谐、持续的发展，这要求教师在教学时更注重方法和策略。随着素质教育的推行，我国也逐渐把教育重点从应试教育转变成为素质教育，在这期间考试的重点也不再考学生基础知识，而是变成了基本能力，合理的利用数形结合，也能够更好地体现这一根本思想。

一、数形结合的内涵

“数”和“形”都是数学中经常出现的两个概念，他们既是对立的又是统一的。数形结合可以让复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。在教学过程当中，人们越来越发现数形结合可以培养和发展学生的空间观念和数感，不仅可以培养形象思维，还可以培养抽象思维，这两种思维的交叉使用和多种思维的相互促进可以让学生学得更加清楚。数形结合完美地将代数和几何的形象直接相互结合，相互利用，这也是解决数学难点的一个很重要方法。数形结合在其他的领域也发挥着非常突出的作用，数学知识是枯燥抽象的数形结合，可以生动形象地将数学的抽象转变成为形象，让学生学得更清楚，只要掌握好数形结合的方法，那么教学就会实现质的飞跃，让学生学起来更省力[1]。

在教学过程当中，该怎么样让学生利用数形结合方式来解决问题呢？方法有以下几点：第一，让学生在解不等式及一些关于代数模型时使用数形结合。第二，出现关于方程式和函数时，让学生用函数图像的方式解决。第三，出现与函数相关的代数和几何问题时。第四，运用图像的形式处理信息的应用性问题。数形结合在初中数学里面有着很重要的作用，要想让数形结合发挥最大的问题，解决数学问题，就必须找出数与形之间的关键，让数和形相辅相成，相互配合合二为一。在数学学科如果能够利用数形结合的话，那数学学科里面所有的科目都会变得非常简单，这样一来也会激发学生学习的兴趣，促进学生更加主动地学习知识。

二、数形结合思想的重要性

（一）让代数与几何问题更加形象

几何本身是立体的，而代数又是抽象的，如果把两者结合起来扬长避短更能打破局限，促进数学的发展。数和形都是数学里面最基本的东西，数是指数字，形是指图像，如果能将这两者结合在一起，那就能化抽象为形象揭示很多数学的本质。[2]直角坐标系的建立可以将代数和几何图形连接在一起，为解决很多事情都提供了思路，也有事半功倍的效果，所以数形结合的重点就是“以形助数”。

（二）使复杂问题简单化

数形结合的本质就是将抽象的数字变为直观的图形，让抽象变得具体起来，在解决数学问题时，想到它的形状，从而刺激思维找到解决的思路。或者在看图形时，将它转换为数的性质解决几何上的难题，实现抽象和具体的相互转化让困难变得容易，让抽象变得更加直观。在初中的学习阶段，数比较常见的是实数、代数式、函数和不等式，而形比较常见的是直角形、三角形、四边形、多边形、勾股定理等。函数的使用是初中数学的重点内容。在函数与平面图形的对应，建立一次函数y=kx+b（k≠0）中k、b的值与图像的相互对应关系，即k＞0、b＞0或k＞0、b0或k0的解集是x＞-3。

三、数形结合思想在初中数学教学中的应用策略

（一）在代数中应用数形结合

在数学的学习过程里面，代数的部分是比较枯燥无味的，如果能用数形结合的方式会加强学生学习的记忆，数形结合重视渗透和揭示基本数学思想的方法，加强数学和图形之间的联系。代数方法的一般性解题过程机械化，可操作性强，便于掌握，因此数形结合的思想是数学中的重要方法，运用好数形结合，能够激发学生学习的兴趣，促进学生的全面发展，也有利于推广数学知识的应用。在数与代数的教学过程中，应该抓住数和数轴上相对应点的关系，有序实数和平面坐标点上相对应的关系，从数形结合的角度去想，借助数轴处理好数和代数之间的关系以及分类。教师要将这些知识有系统地进行区分，采用符合新课标理念的教法，在把课堂素材准备充分的情况下，让学生们亲自实验探索体验解决问题的乐趣，养成学生们主动运用数学知识的习惯，从而激发他们学习的动力[3]。

例如，在学习《一元二次方程的解》时，ax2+bx+c=0（a≠0）。先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c，将二次项系数化为1：x2+b/ax=-c/a，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，方程左边成为一个完全平方式。这是一元二次方程求解的基本过程，过程较为繁琐，且容易出现失误。如果利用数形结合的方式会更为直观。教师可以先让学生自己好好思考，让学生们认真思考、分类、对比、提出疑问，然后用数形结合的方式帮助同学们解答疑惑，让学生们在观察过程当中发现规律，让学生们知道两个代数之间还可能有几何的背景，感受到数学的魅力。在数与代数的教学当中，教师应该更加注重引入数形结合的方式，让学生们看到数字就想到图形，再由图形转换为数字的思路，这样可以让学生对数和代数理解得更深刻。可以做到有问题时，由数转换为形，或者从形转变为数，这种数形相结合的方式可以让同学们积极动脑。

（二）在几何图形中应用数形结合

新课本当中对几何内容作出了很大的调整，减少了以演绎推理为主的定理证明，降低了论证过程当中的证明难度。教师应该调整自身掌握好数学方法，在整个教学过程当中起到重要地位。对于数形结合，教师也要善于利用身边的素材，从数字到形态，揭示其中的本质。

例如，在学习《等腰三角形的轴对称性》的有关定理时，教师可以让学生自己画一个等腰三角形ABC中画出角A的角平分线AD，将三角形ABC剪下，沿着AD对折，这样学生就可以清晰地认识到两边重合，让学生体会两个三角形全等的性质，从而真正做到灵活运用。

（三）在有理数中应用数形结合

有理数也是初中学习数学中非常重要的内容，我们只要知道任意一个有理数，都可以在数轴上将它表示出来，所以我们在教学有理数时可以利用数轴和数字进行转换，利用数形结合的思想去解决问题，通过数轴显示，快速进行大小的比较，更能直观地让学生们观察到有理数的绝对值和相反值等概念[4]。假设c大于0，d小于0，并且 d的绝对值小于c的绝对值，请比较c、-c、d、-d的大小，这种比较大小的题目，仅凭推测是很难得得到结果的，如果我们在做这道题的时候实现数形相结合，在数轴上将这些数标注出来，凡是在数轴右边的数都大于左边的数，然后再逐一进行对比，答案就出来了。在学习和生活当中，我们可以经常利用数形结合的方法解决有理数的加减以及应用题等问题。

比如有一个小女孩，她先是沿着数轴的方向开始往前走，一开始她的位置正好是数轴中心0的位置，紧接着他向右边走了5米，又向左边走了7米，请问现在这个小女孩现在在什么位置？这道题通过数形结合的方式能够快速地得出答案，所以只要我们合理的利用数形结合，就能让复杂的问题变得简单。

（四）在应用题中应用数形结合

应用题不光能够验证学生对于基本知识了解的多少，更是让学生学会综合运用解决问题的重要部分。从考试的方向来看，应用题所占的分数是比较重的，所以怎样学好应用题也是初中教学一直以来的重点。我们在做应用题时，一般都会采用数形结合的方式。回忆之前我们学习的过程当中很容易发现，其实我们在学习关于走路问题的时候，通常会在纸上不自觉地画出相应的图形来帮助我们得到答案，其实这就是最初数形结合的原型。当学生们开始进入初中学习应用题之后，就会发现初中的应用题其实跟小学的应用题还是不一样的，已经变得复杂了，所以在初中好好利用数形结合的方式来解决应用题，已经是一个非常重要的环节了。

例如，甲、乙两人相距300千米，现在甲乙两人开车同时出发，如果他们现在都是用一样的速度前进，那么甲一小时行驶了60公里，乙一小时行驶了70公里，那他们需要多长时间才能相遇？这样的题目只要将路线画出来，题目就非常容易了。在数学的教学过程当中，一定要注意数形结合的方式，在很多题目上，这种方式真的很有必要，有些时候我们可以给数字赋予一些新的含义，也可以给图形赋予一些新的含义，这样可以让数字辅助于形状，形状又辅助数字，有效地解决学习上的困难。

三、结束语

由此可见，数形结合在教学当中还是有着非常重要的意义，它可以将抽象的文字变得具体化，利用图形结合的方式，也能够帮助同学发散思维，激发学习的兴趣，同学们经过长期的训练，也可以在实际解题的过程当中主动去利用数形结合的方法，那在教学方面肯定也会引起质的提高，提升教学质量的同时，也提高了学生自我的满足感。这对于教学来说也是非常重要的一点，教师也可以利用这种思想完成教学计划，在实行数形结合的过程当中，教师一定要充分充当引导者的角色，让同学们更好地利用数形结合打开他们学习的新方法。