例谈高中数学习题课的深度教学

浙江省安吉县孝丰高级中学 (313301) 汪本旺

1.深度教学的涵义

哈尔莫斯说：“学习数学的唯一方法是做数学”．适度的解题是学好数学的必不可少的教学环节，因此，教师应该选择启发性的好题，创设合适的教学情境，提出合理的教学问题，引发学生思考与交流，形成和发展学生的素养过程．同时在追求发展学生核心素养背景下，明确问题，实施深度教学，引导深度学习．

深度教学不是指无限增加知识难度和知识量，是克服对知识的表层学习、表面学习和表演学习，以及对知识的简单占有和机械训练的局限性，基于知识的内在结构，通过对知识完整深刻的处理，引导学生从符号学习走向学科思想和意义系统的理解和掌握，并导向学科素养的教学．它要求学习者深度理解知识内涵，主动建构个性化的知识系统和意义系统，并有效迁移运用于解决真实情镜中的问题，追求在获得知识意义、建立学科思想、发展学科能力、丰富学科经验的基础上养成学科核心素养[1]．

如何在习题课课堂中落实深度教学呢？本文以“阿波罗尼斯圆”这节习题课为例，谈谈如何在习题课课堂中去落实的深度教学．

2.深度教学的习题课案例分析

2.1引例点拨

师：很好！解答过程有问题吗？

师：生2，你能解决此问题吗？

师：非常漂亮！同学们还有其他的方法吗？

师：掌声鼓励下！本题方法较多，生3的方法尤为简洁，将三角问题转化为解析几何问题，进而快速解决.

设计意图：通过引例让学生初步感受点P满足PA=k·PB的轨迹方程，从而引出阿氏圆概念.

2.2 追本溯源

波利亚先生说过：“有些题目的解答就像魔术师帽子里的兔子，不知道从哪里冒出来的，这些想法是如何想到的？揭示了这类问题的本质，我们就能站在更高位置来看待这个问题，问题就迎刃而解.”

事实上，这类问题来源是人教版必修二P124,B3和人教版必修二P144,B2：

2.(人教版必修二P144,B2)已知点M与两个定点M1，M2距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形(考虑m=1和m≠1两种情形).

教师给出阿波罗尼斯圆定义：

师：我们如何求出点P的轨迹方程？我们求轨迹方程的一般步骤是什么呢 ？

生4：建系、设点、分析动点满足的条件、带入化简、最后验证．

师：生4，你是如何建系求出点P的轨迹方程？

图1

设计意图：教材是复习备考的依据，脱离了教材，数学复习就像无源之水，而复习参考资料则是教材的补充，复习资料是为了帮助学生把握教材的重难点，把所学知识体系构建框架，提高分析和解决问题的能力．以教材为依据，能够让学生明确本节课知识重点和难点，教师依据教材，结合考纲要求和复习资料，能够精心的编写讲义，同时能够起到整合归类，查漏补缺的作用．

2.3 思维萌芽

题型一已知两个定点A、B和比值λ，求方程.

已知A(-1,0),B(2,0)，动点P满足PB=2PA,求点P的轨迹方程．

学生独立思考完成，最后一起给出答案：(x+2)2+y2=4．

题型二已知两个定点A、B和方程，求比值λ.

已知A(-1,0),B(2,0)，动点P在圆(x+2)2+y2=4上运动，问是否存在λ使得PB=λPA(λ≠1)．

生5：λ=2.

师：很好！你如何处理的.

生5：由上一题直接知道答案.

师：非常聪明，如何不借助于上一题，同学们觉得又如何处理.

题型三已知一个定点A、方程和比值λ，求另一个定点.

已知A(-1,0)，圆(x+2)2+y2=4上运动，问是否存在点B使得对圆上任意一点P总有PB=2PA．

生7：不妨取P(0,0),由PB=2PA得B(2,0).

师：这种做法可行吗？它能满足对圆上任意的点P都成立吗？

生8：可行的，由题型二我们知道它能满足对圆上任意的点P都成立.

设计意图：研究发现，数据分析是数学中的重要内容，在数学教学中，教师可以引导学生从大量的数据分析中得出明确的定义，这样得出的概念理解具有可信度，学生不仅容易理解而且不容易忘记，也能较容易地将概念应用到不同的情境中.

2.4 能力提升

师：你是怎么知道点E的具体位置呢？

生9：其实很简单，当点P运动到线段BC与圆的交点处，记为点F，则FC=2,所以EF=1,BE=1.

师：很好！其本质考查了阿氏圆的四个核心要素相互转化，即已知一个定点、方程和比值λ，求另一个定点.

图2 图3

学生独立思考，然后提出了两种处理方法：

到底选择哪种处理方法呢？还是两种都可以？

设计意图：本例考查阿氏圆四个核心要素的相互转化，意在让学生体会当一成不变的模仿无法解决新问题时，该如何思考、如何变通、如何作出适合新问题的调整，发散学生的思维，培养学生的创新能力.

2.5 揭露本质

师：回到图1，同学们可以分别计算OB、OP、OA的长度，你们发现什么？

师：也就是说，阿氏圆中隐藏着一个很重大的秘密：△OPB∽△OAP.因此，我们可以利用相似三角形线段之比去处理系数不相等问题.

图4 图5

设计意图：通过变式的设计，让学生对阿氏圆的理解不在停留在知识表面，而是有更加深刻的理解，即阿氏圆隐藏着相似三角形.我们可以利用相似三角形线段之比去处理系数不相等问题.

2.6 陌上花开

师：通过刚才的学习，同学们能否解决这道向量题呢？它蕴含的本质是什么呢？

同学们思考片刻后，大部分同学得到如下解答：

师：那么接下来如何转化呢？

师：为什么不采取CE=2CB？

图6 图7 图8

设计意图：通过解决开篇提出的问题，首尾呼应.培养学生数学直觉，提升数形几何，探索论证能力，升华知识技能进一步举一反三.

2.7 小结归纳

师：你能总结下我们本节课主要解决哪类问题？

生12：我们可以解决形如：PC+k·PD最值问题.

师：很好！那么它的结构特点是什么？我们解题策略是什么？

生13：动点的轨迹是圆，常常采用构造相似.

师：利用阿氏圆解决PC+k·PD最小值的一般步骤有哪些？

3.高中数学习题课深度教学的反思

3.1 有利于发展学生的高阶思维

在习题课的深度教学中，学生在面对问题时，能把原来的知识和技能进行组合，以形成解决当前问题的一种整体的技能，或者对原来的技能进行修正，以解决目前的问题．学生通过对问题的观察，不断检验上述技能是否能解决，不断地修正假设．如果已有的知识和技能并不能解决问题，就会对新的方法提出假设并进行尝试．如果成功，学生会考虑是否有类似的例子可以拓展，并发展新的理论．从认知学理论看，学生这种活动就是一种由各种认知技能与行为组成的复杂的心理过程，包括关联、抽象、理解、推理、分析、综合等.这就涉及到学生的高阶思维能力．

3.2 有利于培养学生的核心素养

在习题课的深度教学中，透过问题情境的改变，培养学生的数学思考、推理、交流、分析和判断等关键能力．学生在认识数学、探索数学乃至创造数学的过程中，能建立起积极的学习态度，正确的价值观，实现用数学的眼光看待现实世界，用数学的语言表达现实世界，用数学的思维分析现实世界，最终培养学生的核心素养．