例析运用切线不等式求解一类导数压轴题

江西省上饶中学 (334000) 张 勇

点评：利用切线不等式ln(x+1)≤x，直接将一个不可求积的式子转化为一个可求和的等比数列，题目难度一下子就降下来了.除了直接运用以外还可能会对这两个切线不等式进行适当的简单变形.

例4 (2017年全国新课标Ⅱ卷文)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)略;(2)当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.

图1

解：易得f(x)在x=0处的切线方程为y=x+1，又当x≥0时，f′(x)=(-x2-2x+1)ex，f″(x)=(-x2-4x-1)ex<0，所以f(x)为上凸函数，显然f(x)≤x+1，要使f(x)≤ax+1在x≥0时成立，则显然a≥1.

图2

下面证明:当x∈(-1,1)时，f(x)<2e(x+1).

图3

点评：如图3，此题的x1,x2,m三个变量之间的关系不是很明显，很难用直接的消元法转化为只含有一个变量的函数问题来求解.本题的关键是将其中一个零点x1进行放缩，将其用y=m与函数在x=-1处的切线交点的横坐标来取代x1，从而起到化简消元的作用，将题目转化为只含有变量x2的一个不等式.此题与以上例题的本质并无区别，都是利用切线不等式，只不过这个是横向使用.下面我们再来看一个双向放缩的例子.

解：(1)易得a=b=1，过程略.

图4

点评：如图4，本题的难点依旧在于如何利用x1,x2,m的关系进行消元，转化为含有一个变量的函数问题.此题的关键在于将x1和x2都进行放缩，用y=m与两条切线的交点取代x1和x2.本题与例5属于同一类，都是切线不等式的横向运用.