一道条件最值问题的多视角求解

重庆市彭水第一中学 (402460) 程凤娟

条件最值问题是初等数学的一个难点问题，对于能够转化为一元函数的最值，利用导数，有比较完善的求解方法；而对于三元函数的条件最值问题，一般方法是拉格朗日乘数法或通过已知条件消元转化为二元函数的最值问题．但这两种方法并不适合中学生．那么在初等数学知识范围内，如何求解三元函数的条件最值问题呢?下面通过2021摩尔多瓦奥林匹克试题的求解，对这一问题作一探究：

为表述方便先给出两个引理，由三元幂平均不等式，有：

另一方面，由柯西不等式可得：

引理2 设ak,bk∈R+(k=1,2,…,n)，则

视角1利用柯西不等式的变式

最值问题和不等式问题有紧密的联系，利用不等式取等的条件，可将最值问题的求解转化为不等式问题．观察所求问题的结构，直接应用或通过适当变式后再利用利用引理1及引理2有：

视角2利用均值不等式

除利用基本不等式外，还可凑配适当的项利用三元均值不等式有：

视角3切线法

切线法是基于曲线与曲线上一点的切线之间的关系给出的，曲线在切线的上方或下方，可通过相同横坐标下的纵坐标的大小关系给出判定，如果曲线y=f(x)在其切线：y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)的上方，则有f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x-x0)；反之，则有f(x)≤f(x0)+f′(x0)(x-x0)．

由于在x>0时(5x+3)(3x-1)2≥0，变式即得(1)式，从而(1)成立．