基于核心素养的结构不良问题教学探究
——以“解三角形问题”为例

◎张梦婷

(福建省福清第三中学，福建 福州 350315)

随着新课改的推进，高考内容改革从“考知识”“考能力”转向“考素养”，从“解决题目”转向“解决问题”.2020年，高考试卷中第一次出现了结构不良的题目.这种题目本身增加了学习过程的情境性，且在学习过程中产生的学习挑战不仅出现在解题过程中，还包含对问题的思考，对学生的素养要求不断提高.因此，教师在针对数学教学模式进行改革时，不能局限于教会学生用公式解决问题，更重要的是应该创造合适的情境环境，让学生体验问题解决的过程，感悟数学知识的本质，达到融会贯通的目的，促进核心素养的形成.本文笔者以“解三角形问题”为例进行了结构不良问题的教学探究.

一、结构不良问题对教与学带来的挑战

对于算子、初始状态、目标状态这三个方面至少有一项不能确定的题目，便可以将其称为结构不良问题.在以往的数学题目中，很少出现结构不良的题目，没有缺少推理运算的各种条件，因此学生解决这类问题只需根据自己已经拥有的知识经验做出合适选择，然后按照解题的步骤得到准确的答案即可.然而结构不良问题中条件缺失或冗余会让学生手足无措，大部分学生通过猜想去选择条件，思考方式仍然是单向思考，并没有真正去分析题目.相比较而言，结构不良的问题对学生的数学逻辑推理能力、解决问题能力有了更高的要求.

(一)结构不良问题对传统课堂的挑战

在传统的数学课堂中，学生遇到的都是结构良好的问题，老师所教授的知识也通常是经过简化之后的结构性知识，这样一来，学生解题过程中涉及的问题通常仅需要对所学知识及相关概念进行应用即可解决.学生的学习其实本质上就是知识的获得，假如学生很少接触结构不良的问题，那么他们吸收的知识只能变成惰性知识.

在教学中，教师要改变教学常态，不再单纯地进行知识讲解和习题练习，而要关注学生的思维方式.因此，教师在做教学设计的时候不仅要考虑教授的内容，更要考虑用多种形式将问题呈现给学生，让学生由浅入深地体验不同的考查方式，从而提高学生解决问题的能力.

(二)结构不良问题对学生的挑战

1.结构不良问题的解决需要学生不断对题目条件进行深度分析、合情推理，还需要学生在解题过程中不断进行自我反思，弄清题目问题、已知条件和解题思路之间的关系，然后从中快速地选择合适的条件或者构造合适的条件进行条件补充，从而解决问题.

2.结构不良问题的解决不是公式性的解题模式，它对学生灵活应用公式、公理的要求更高，有利于使学生构建完善的知识框架.同时，在解题过程中，学生需要运用学过的知识、结合已有的经验判断解题方法，这充分体现了逻辑推理能力的重要性.

二、结构不良问题习题课教学初探

笔者在高三数学一轮复习中设计了解三角形结构不良问题的专题课，希望通过课堂训练，使学生对基础知识有更扎实的掌握，同时提升学生对于问题的思考和解决能力，从而提升数学能力.

(一)激活知识网络，解决条件冗余的结构不良问题

解决条件冗余的结构不良问题需要对题目中给出的条件进行分析，推导出矛盾的条件，从而选择正确的条件解决问题.这就需要学生对知识有整体的把握，能够敏感地感知条件之间的关系，从而对条件进行深度分析，再根据推导出来的结果进行反思比较，得出正确的解题思路.因此，构建知识网络框架能够提高学生解决条件冗余的结构不良问题的能力.

(1)这三个条件中有两个是正确的，请选出正确的条件，并说明理由；

(2)求边长c.

思路寻找：(在问题情境下，教师通过问题串的模式进行教学)

问题1：题目中已知的条件可以推出什么？

问题2：接下来该怎么判断呢？

问题3：从③出发，可以推出什么条件，能否确定①②哪个条件正确？

【设计意图】选择这道题作为课堂的开始，是让学生由浅入深地进行问题解决，并通过解决条件冗余的问题构建解三角形的知识框架.本题让学生感受到此类条件冗余的题型可以通过直观感知寻找错误的条件，为巩固训练奠定了基础，也提高了学生的思辨能力、数学运算能力.

巩固训练1：已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个：

(1)选出正确的三个条件，并说明理由；

(2)求△ABC的面积.

思路探求：

问题1：认真观察四个条件，最容易发现哪几个条件相互矛盾？

大角对大边，由条件①可知A为钝角，由条件③④可知a

问题2：由②正确，能否排除掉错误的条件？

第(2)小题由学生自主完成，并拍照展示.

问题3：总结如何判断满足条件的三角形是否存在？

生1：三角形的内角和是否会超过180°.

生2：三角形的边角关系是否满足大角对大边.

生3：三角形的边长之间是否满足两边之和大于第三边(通常我们检验两小边的和是否超过最大边).

教师总结：解三角形本质上就是“知三求三”，只要已知其中的三个条件，利用正余弦定理就可以将三角形求解出来，遇到判断是否存在三角形的问题，即使求出边角关系也需要检验是否满足三角形的基本要求，还要特别关注是否与题目所给的已知条件矛盾.

【设计意图】这道题除了考查三角形的相关性质，还考查了余弦函数单调性的应用.笔者希望通过这道题能够更好地构建学生的知识框架，让学生对解三角形的方法有更加全面的认识，从而培养学生的思辨思维能力，为后面攻克条件缺失的结构不良问题打下坚实的基础.

(二)突出学生主体，攻克条件缺失的结构不良问题

条件缺失的结构不良问题增加了题目条件的选择性，对学生灵活应用公式解决问题的能力、快速选择合适的解题策略的能力有更高的要求.因此，教师在课堂中要突出学生的主体地位，让学生自己去感知不同条件对于解题思路的影响，提高学生快速选择合适条件的能力.

思路探求：

问题1：题目中已知的条件可以推出什么？

处理方式：教师让学生自主选择一个条件进行填充，判断是否存在这样的三角形.

选择条件③，

问题2：比较这三种方案，你有什么感受？

生1：如果能够直接判断三角形不存在，那就可以减少很多麻烦，不需要那么多的计算，但是要选到合适的条件还是有点难.

生2：老师刚才说解三角形就是知三求三，如果我知道三角形的三个关于边的式子，用三个方程就可以解出三个变量，其实解三角形的问题就是解方程组的过程，但是这种方法要求我们把条件化成边，比如条件①和条件③.

教师总结：本题其实选择哪个条件并没有什么优劣，在考试中只要找到适合自己、能够快速判断的条件就是好的条件，可以抓住三条边长的关系列方程组求解，也可以直接寻找角度关系，寻找边角的关系.但是重要的是对于是否存在的问题一定要反复审查已知条件和推出来的条件之间有没有矛盾之处，即使求出最后的结果，也要检验三角形的存在性.

【设计意图】 这道高考题能让学生感知条件缺失结构不良问题的处理方式，以学生为主体，引导其对题目给出的已知条件进行严谨分析，推出三角形中的已知元素和相关式子，然后审查自己的解题步骤，找到最合适的缺失条件进行补充，通过自主探究、自我分析、自我总结快速锁定最适合自己的解题方案.

问题1：本题已知两个边长关系，可以补充什么条件进行解三角形？

可以再寻找一个边长关系，选择条件①，用正弦定理转换成边长关系a2-b2=c2-bc，三个未知量三个方程，用解方程的方式可解出所有的边长.

问题2： 除了寻找边长关系，还能怎么处理？

教师总结：遇到两边的问题，若能再添加一个边长条件就可以联立方程组解出边长关系，如果能够添加其夹角就可以利用余弦定理找到另一个边长关系，也能达到解决问题的目的.

【设计意图】通过巩固训练巩固条件缺失结构不良问题的处理方式，让学生直观感知条件缺失和条件冗余问题的不同，并且通过巩固训练中的条件转化形式，让学生感受到平时接触的条件很多时候都是利用正余弦定理进行包装变形的，同时为下面的环节进行铺垫，让学生对自己填写的条件有个方向，懂得把握本质进行“包装”.

(三)拓展思维广度，举例开放的结构不良问题

本环节对巩固题进行改造，让学生对题目进行填充，开放学生的思维，让学生从出题者的角度感知条件从无到有的过程，在一定程度上降低了学生对结构不良问题的畏难情绪，让学生在面对问题的时候可以更加从容.当然，学生通过逆向的思维方式，能够更好地解决条件冗余或者条件缺失的结构不良问题，锻炼学生逻辑思维能力和解题分析能力.

思路探求：

问题1：可以如何进行补充？

生1：比如b=2c，直接联立方程解三角形.

生2：可以把条件包装一下，变成sinB=2sinC.

生3：可以同乘以sinA，sinAsinB=2sinAsinC，变形可以得到asinB=2csinA.

生6：可以修改条件①，变为(sinA+sinB)(sinA-sinB)=(sinC-sinB)sinC.

生8：可以变成2cosA=1，再进一步变形可以变成2ccosA=c，再进行调整可以得到2ccosA=acosB+bcosA.

……

问题2：其实本质上就是从哪些角度进行补充？

角度一：补充边长的条件进行定量分析.

引导学生形成方程的意识，解三角形本质上就是求出三角形的三条边长，三个边长相当于三个未知量，因此只需要构造三个式子即可解决问题.

角度二：补充角度的条件进行定性分析.

补充角度信息，可以通过正弦定理进行边角转换，也可以通过余弦定理转化成边长间的联系.

教师总结：其实很多时候我们看到的条件就是边角关系的“包装”，“包装”的手段就是正弦定理和余弦定理，所以要善于拆开“包装”找到本质的关系，但是重点还是要关注解三角形的本质就是“知三求三”，找到三个条件后通过转化解决问题.

【设计意图】例3的开放题有助于学生打破常规进行思考，学着从出题人的角度抓住解题的本质，让学生通过独自探索并进行合作解惑的过程，来达到从模仿到创造的过程，不仅理解了知识，掌握了技能，而且能够从出题者的角度出发考虑出题者的思路，这对于学生思考问题和解决问题能力的提高有非常大的帮助，更有助于学生数学学科核心素养的提高.

三、教学反思

1.立意思想，夯实基础

一轮复习中，教师一般会重视知识的总结和题型的归纳，而结构不良问题由于题型的特殊性会使得题目比较灵活，有时候学生会因为反复训练而形成定式思维，限制了思维的发展，因此，教师在教学过程中不要单纯地进行题型方法的归纳，更需要的是进行思想渗透，让学生能够在思想引领下触类旁通.在教学过程中，教师要帮助学生构建知识网络框架，给学生搭建知识拓展应用的平台，进一步培养学生举一反三的能力，使其更好地运用所学的知识.

2.学生参与，改变视角

数学学习如果只是讲授知识，学生就容易忘记，也不容易变通.因此，教师在教学过程中要关注学生课堂的参与度，让学生经历探索发现的过程，不再单纯模仿，在课堂最后，要让学生参与题目设置和变式，转变学生的视角，从一个命题者的角度去认识三角形边角条件的变化规律，帮助学生更好地解决此类问题.

总之，结构不良问题以解三角形问题为载体相对来说比较容易，学生比较容易抓到规律进行探究，要解决解三角形的问题，就要抓住解三角形的本质，就是创设三个独立的条件，且至少要有一个关于边的条件.综上所述，教师通过提高学生思考和解决问题的能力，能让学生自己提出问题，并且能够找到解决问题的途径，从而培养学生的发散思维能力.在课堂中，教师要尝试探究性教学，引导学生以小组为单位，在探究过程中积极交流合作，通过思维的碰撞拓展学生思维的广度，促进核心素养的培养.